擷尋常之材 筑高考之路

馮平

摘 要：曲線與方程是解析幾何中不容忽視的重要內容，它為研究曲線的性質提供了重要的前提，在高考中也常有涉及，經常在解析幾何題目的第一問中考查. 如何求動點的軌跡方程是其重中之重，學習時需要掌握常用的求解方法. 本文根據曲線與方程的含義要點，結合例題淺談求軌跡方程的常用方法，旨在啟發學生善于揭示問題的內部規律及知識之間的相互關系，總結和歸納求軌跡方程的常用方法，提高學生的解題能力、優化學生的解題思路.

關鍵詞：曲線與方程；軌跡方程；解題

曲線與方程是解析幾何中不容忽視的重要內容，它為研究曲線的性質提供了重要的前提，教材中的二次曲線的性質都是在先解決方程的基礎上研究的，同時在高考中也常有涉及，經常在解析幾何題目的第一問中考查. 如何求動點的軌跡方程是其重中之重，學習時需要掌握常用的求解方法，下面根據曲線與方程的含義要點，結合例題淺談求軌跡方程的常用方法.

曲線與方程的含義

一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看作適合某種條件下的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數解建立了如下的關系：

（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上. 那么，這個方程叫曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

要點剖析：

（1）“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”，說明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外（純粹性）.

（2）“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”說明符合條件的點都在曲線上而毫無遺漏（完備性）.

求軌跡方程的常用方法

1. 直接法

當動點滿足的條件是一些關系式時，可直接將關系式坐標化，而得出軌跡方程，這種求解方法叫作直接法，即曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關系，則只需直接把這種關系“翻譯”成關于動點的坐標方程. 經化簡所得同解的最簡方程，即為所求軌跡方程.其一般步驟為：建系——設點——列式——代換——化簡——檢驗，關鍵步驟在于對式子的化簡，最后的檢驗通常省略.

例1 已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求P的軌跡方程.

解：設點P的坐標是（x，y），則+3-x=4，

（1）當x≤3時，方程變為+3-x=4，化簡，得y2=4x；

（2）當x>3時，方程變為+x-3=4，化簡，得y2=-12（x-4），

故所求的點P的軌跡方程是y2=4x，0≤x≤3，

評注：本題要注意對點P橫坐標的討論，注意化簡過程是否保持方程的同解（若化簡過程破壞了保持方程的同解性，要注意補上遺漏的點或要挖去多余的點）；檢查以方程的解為坐標的點是否在曲線上，否則將混有假軌跡，破壞了軌跡的純粹性，對此應為重視. “軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程（包括范圍）.

2. 定義法

當動點滿足的條件滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義時，則可根據該曲線的定義建立軌跡方程，這種求解方法叫作定義法.把握有關曲線定義的實質是求解的關鍵.

例2 如圖1，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得PM=PN. 試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程.

解：如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則兩圓心分別為O1（-2，0），O2（2，0）. 設P（x，y），則PN2=（x-2）2+y2-1，PM2=O1P2-O1M2=（x+2）2

這就是動點P的軌跡方程.

評注：動圓圓心軌跡問題中①動圓與兩外離定圓均外切（含相交）；②動圓過定點且與定圓外切；③動圓過定點且與定直線相切；④動圓與兩定圓一個外切，一個內切；⑤動圓過定點且與定圓相切，通常要考慮圓錐曲線定義的應用.

3. 參數法

當動點P（x，y）的坐標x，y之間的直接關系不易或無法找到，也沒有相關點可用時，可考慮x，y用一個或幾個參數來表示，如x=f（t），

y=g（t）消去參數t得軌跡方程，此法稱為參數法. 這是求軌跡方程的一種非常重要的方法. 運用此法時應注意合理選用參數，如斜率k、角θ、時間t等，然后將x，y用參數表示出來，應明確參數的取值范圍，確保軌跡的純粹性和完備性.

例3 已知線段BB′=4，直線l垂直平分BB′，交BB′于點O，在屬于l并且以O為起點的同一射線上取兩點P，P′，使OP·OP′=9，求直線BP與直線B′P′的交點M的軌跡方程.

因此點M的軌跡是長軸長為6、短軸長為4的橢圓（除B，B′）.

評注：參數法是選修中的重要考查內容之一，因此在軌跡方程中要給予足夠的重視. 在本題中影響動點P的因素很多，比如直線BP的斜率、動點P的坐標等，本題也可選擇BP的斜率作為參數.

4. 轉移代入法

設點M是已知曲線F（x，y）=0上的動點，點P因點M的運動而運動（即點P是點M的相關點），求點P的軌跡方程.

①設點M的坐標為M（x0，y0），則F（x0，y0）=0；

②設點P的坐標為P（x，y）；

③因為“點P隨點M的運動而運動”，可以求得：x0=f（x，y），y0=g（x，y）；

④把x0=f（x，y），y0=g（x，y）代入F（x0，y0）=0，即得所求點P的軌跡方程.

例4 已知點P1（x0，y0）為雙曲線-=1（b為正常數）上任一點，F2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于P2，求線段P1P2的中點P的軌跡的方程.

以上是求動點軌跡方程的常用方法，如果動點的運動和角度有明顯的關系，還可考慮用復數法或極坐標法求軌跡方程. 但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變量的取值范圍. 在平時教學中，啟發學生善于揭示問題的內部規律及知識之間的相互關系，總結和歸納求軌跡方程的常用方法，對提高學生的解題能力、優化學生的解題思路將很有幫助.