用圓錐曲線的統(tǒng)一方程解題

許正川

摘 要：關(guān)于橢圓、雙曲線、拋物線的有關(guān)問(wèn)題，往往都是利用它們各自的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行探究，所得結(jié)果也往往彼此不同，好似互不關(guān)聯(lián). 利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，建立一個(gè)統(tǒng)一方程便能克服上述困難.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；統(tǒng)一方程；解題；探究

關(guān)于橢圓、雙曲線、拋物線的有關(guān)問(wèn)題，往往都是利用它們各自的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行探究，所得結(jié)果也往往彼此不同，好似互不關(guān)聯(lián).而進(jìn)行計(jì)算或論證時(shí)，也比較繁雜冗長(zhǎng)，有時(shí)要用難以想到的技巧，增加了解這類問(wèn)題的難度. 如果我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，建立一個(gè)統(tǒng)一方程，以此為工具，有時(shí)可較好地克服上述困難，也較易看出它們有關(guān)結(jié)論的關(guān)聯(lián)，從而加深我們對(duì)圓錐曲線本質(zhì)的理解.

若圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F，與其相對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線為l，離心率為e，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F且與l垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的方程為x+p=0（p>0），圓錐曲線C上任一點(diǎn)M（x，y），M至l之距為d，則由圓錐曲線的定義，有=e，即=e，

整理得（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0. （1）

當(dāng)e≠1時(shí)，此圓錐曲線的兩軸方程為x=，y=0，中心O′

當(dāng)e=1時(shí)，圓錐曲線有一條軸，y=0.

下面舉數(shù)例加以說(shuō)明.

例1 （2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)（全國(guó)新課程）卷第20題的推廣）

已知直線l不過(guò)圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0（e≠1）中心O′，也不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，求證：直線O′M與直線l的斜率之積為e2-1，是一定值.

證明：由題意，直線l的斜率存在，且不為0，可設(shè)其方程為y=kx+b（k≠0），代入C的方程（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0，

例2 （2015年全國(guó)高考福建數(shù)學(xué)（文科）卷第19題的推廣）F為圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，G（-p，0），求證：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

證明：欲證結(jié)論成立，即欲證F至GA之距d1與F至GB之距d2相等.

直線GA的方程為y=（x+p），即y1x-（x1+p）y+py1=0，

例4 （2014年全國(guó)高考廣東數(shù)學(xué)（理科）卷第20題的推廣）

若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0外部一點(diǎn)，且過(guò)P點(diǎn)作圓錐曲線C的兩條切線相互垂直，求P點(diǎn)軌跡方程，并判斷是何種曲線.

解：設(shè)過(guò)P（x0，y0）的切線的斜率存在且不為0，則可設(shè)其方程為y=kx+（y0-kx0），代入圓錐曲線方程（1），整理得（1-e2+k2）x2-2[pe2-k·（y0-kx0）]x+（y0-kx0）2-pe2=0.

由題意有[pe2-k·（y0-kx0）]2-（1-e2+k2）·[（y0-kx0）2-p2e2]=0，

+y=，p點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，其中當(dāng)e=時(shí)，是點(diǎn)圓；e>時(shí)，是虛圓.

評(píng)注：此題結(jié)果表明，當(dāng)圓錐曲線C是一橢圓時(shí)，P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓；當(dāng)C是一拋物線時(shí)，P點(diǎn)軌跡是一條直線，這條直線恰為拋物線的準(zhǔn)線；當(dāng)C是一雙曲線，e<時(shí)，P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，e=時(shí)，P點(diǎn)軌跡是一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)恰為雙曲線的中心，e>時(shí)，P點(diǎn)軌跡不存在.

例5 （《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問(wèn)題2087的推廣）

過(guò)圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作圓錐曲線任一切線的垂線，求垂足的軌跡是何種曲線.

解：設(shè)圓錐曲線的方程為（1），垂足（x0，y0），則仿例4也可得，[2pe2x0+（e2-1）x+p2e2]k2+2[（1-e2）x0y0-pe2y0]k+[（e2-1）y+p2e2]=0.

因?yàn)閳A錐曲線（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的一個(gè)焦點(diǎn)（0，0），故由題意=-，k=-，代入上述方程，整理得（e2-1）（x+y）2+2pe2x0（x+y）+p2e2（x+y）=0，

顯然x+y>0，故有（e2-1）（x+y）+2pe2x0+p2e2=0.

當(dāng)圓錐曲線切線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，此方程也成立.

垂足的軌跡是一個(gè)圓.

評(píng)注：本題特例橢圓時(shí)中解答，通過(guò)聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算量不小；然后計(jì)算x2+y2，又要用代數(shù)恒等變形的技巧，均不及此種解法簡(jiǎn)單明快，且一箭三雕，同時(shí)解決了橢圓、雙曲線、拋物線的垂直切線的交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.

例6 過(guò)圓錐曲線C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的焦點(diǎn)F的直線l1交圓錐曲線于A、B的兩點(diǎn)，交定直線l2：x=x0于P點(diǎn)，設(shè)=λ1，=λ2，則λ1+λ2=-2

為定值.

證明：顯然，F(xiàn)（0，0），故可設(shè)l1的方程為y=kx，代入圓錐曲線C的方程

評(píng)注：若l2為焦點(diǎn)F相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，則λ1+λ2=0；若l2的方程為x=-，則λ1+λ2=-1；若l2為橢圓的短軸或雙曲線的虛軸，則λ1+λ2=.

例7 過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）作圓錐曲線（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的兩條弦AB、CD，使這兩條弦的斜率之積為常數(shù)λ，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N，則

證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+（y0-kx0），代入方程（1），整理得，