對一道圓錐曲線試題的研究與引申

周躍佳

摘 要：2015年高考全國Ⅱ卷理科第20題是一個關于橢圓的定值問題. 本文通過對該題第一問的解答，抽象出一個橢圓的一般命題，并將其推廣到雙曲線中去.

關鍵詞：橢圓；雙曲線；定值

x 提出問題

（2015年全國Ⅱ卷理科第20題）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）若l過點

問題的解答

解：（Ⅰ）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0. 所以xM==-，

yM=kxM+b=. 于是直線OM的斜率kOM==-，即kOM·k=-9. 所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

（Ⅱ）略.

結論的推廣

引理1：已知橢圓C：+=1（a>b>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為-.

證明：設直線l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

將y=kx+m代入+=1得：（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，所以xM==，yM=kxM+m=. 所以kOM==-，故kOM·k=-.

推論1：已知橢圓C：+=1（a>b>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為-.

證明：（由對稱性知，kOM·k=-）

設直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），

結論的類比

引理2：已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為.

證明：設直線l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

將y=kx+m代入-=1得：（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=.

推論2：已知雙曲線C：-=1，（a>0，b>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為.

證明：（由對稱性知，kOM·k=）

設直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

將：y=kx+m代入-=1得：（b2k2-a2）x2+2b2kmx+b2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=.