充分利用教材認識數(shù)學歸納法

徐永紅

摘 要：數(shù)學歸納法是一種特殊的推理論證的方法，準確把握其本質(zhì)，是正確應用該法的先決條件.

關(guān)鍵詞：歸納奠基；歸納推理；問題

數(shù)學歸納法的本質(zhì)是遞推，其形式是固定的兩步：（1）歸納奠基；（2）歸納推理，用它證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題時：

（1）n取第一個值n0（n0∈N*）時命題成立；

（2）假設n=k（k≥n0k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

若兩個步驟完成，則命題由n=n0成立，就有n=n0+1也成立；n=n0+1成立，就有n=n0+2也成立；n=n0+2成立，就有n=n0+3也成立；…… 連續(xù)遞推，形象地可看成引發(fā)了一個連鎖反應（類似于多米諾骨牌倒下的過程）. 但在應用數(shù)學歸納法時，特別是初學者對其本質(zhì)把握不準的情況下，會出問題，以下就此談幾點看法.

奠基必須有

問題1：用數(shù)學歸納法證明

即當n=k+1時等式成立.

數(shù)學歸納法第（1）步的證明一般都比較簡單，一些初學者覺得它可有可無，與第（2）步的證明無關(guān).上述證明就無第（1）步而直接證明第（2）步，但顯然當n=1時等式不成立（該命題為假命題）. 其實數(shù)學歸納法第（2）步中的“假設n=k時命題成立”要以第（1）步為依托，即證明了第（1）步中“n=n0時命題成立”，第（2）步的“假設n=k時命題成立”中的“k”至少有“n0”為保證（奠基），所以第（1）步必須證明，因此上述數(shù)學歸納法的應用錯誤.

[?] 奠基必須實

問題2：用數(shù)學歸納法證明：n2<2n（n∈N*）（現(xiàn)行人教版4-5P50例1改編）.

證明：（1）當n=1時，有12<21，不等式成立.

至此，從形式上看完成第（1）步的證明，但顯然當n=2，3，4時不等式不成立（該命題是假命題）. 其實使“不等式 n2<2n成立的正整數(shù)n為1或5或大于5”，這里若用數(shù)學歸納法證明時，第（1）步中的“n0”應為“5”，才能為第（2）步中的“k”提供首個正確的保證值. 而上述問題2證明第（1）步，這一奠基則是虛而不實.

遞推必須存在

問題3：已知數(shù)列，，，…，，…，Sn為其前n項的和，用數(shù)學歸納法證明Sn=（現(xiàn)行人教版2-2P94例2改編）.

證明：（1）當n=1時，左邊=S1=，右邊=，等式成立.

（2）假設n=k（k∈N*）時等式成立，即Sk=，

那么即當n=k+1時等式也成立.

數(shù)學歸納法的第（2）步中n=k+1的情形必須由“假設n=k時命題成立”所產(chǎn)生結(jié)論參與推出，這樣才能夠形成從n=k到n=k+1的遞推關(guān)系. 該問題的證明雖然推出了n=k+1時等式成立，但它與n=k無關(guān)，因此這個數(shù)學歸納法的應用是無效的.

遞推必須有力

問題4：用數(shù)學歸納法證明：如果n（n∈N*）個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n（現(xiàn)行人教版4-5P52例4）.

證明：（1）當n=1時，有a1=1，命題成立.

（2）假設n=k（k∈N*）時命題成立，即k個正整數(shù)的乘積a1a2…ak=1，則

那么

當n=k+1時，由k+1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…akak+1=1，可知它們中至少有一個數(shù)大于或等于1，不妨設ak+1≥1，則

所以當n=k+1時不等式也成立.

該證明的第（2）步看似“假設n=k時命題成立，證明了當n=k+1 時命題也成立”，其實這一推理的條件是不充分的，因為a1，a2，…，ak，ak+1中a1，a2，…，ak的乘積不一定等于1，所以這里遞推的“力度”不夠，這一失誤導致數(shù)學歸納法的應用前功盡棄（正確解答見教材4-5）.

綜上所述，數(shù)學歸納法的兩個步驟相輔相成，其中第（1）步是遞推的基礎；第（2）步是遞推的依據(jù)，只有準確把握，才能夠正確和充分地應用數(shù)學歸納法，否則可能導致該法應用失敗.