研究課本例題編寫意圖，提升課堂教學水平

施莉莉

摘 要：數(shù)學例題是連接數(shù)學理論與數(shù)學實踐的橋梁，學生通過例題來建構數(shù)學知識、感受數(shù)學應用，因此課本的例題在編寫時具有示范性、承啟性、探究性和發(fā)展性，教師在課堂教學時，要能夠恰當?shù)赝诰虺鲞@些例題的編寫意圖，講全、講深、講透，提高課堂教學效率.

關鍵詞：例題；編寫意圖；課堂教學；蘇教版教材

例題是“用來說明某一定律或定理，或在運用某一學科或學科分支的定律時充當練習的題.” 可見，例題是教科書概念、命題和定理與習題之間的橋梁與紐帶，例題教學的成功與失敗直接關系到學生對數(shù)學知識的建構、對解題方法的掌握. 因此，我們數(shù)學教師在備課時研究揣摩教科書例題的編寫意圖，全面領會編寫者的理念，這樣才能在課堂教學時，把例題講全、講深、講透，全面發(fā)揮例題的功能，提高教學效益.

鞏固型例題，要發(fā)揮解題的示范性

課本上例題的最主要功能是鞏固本節(jié)所學的數(shù)學理論知識和方法，例題的編寫不是隨意的，編者在選擇時經(jīng)歷了反復的推敲，因此有著極強的示范性和典型性. 教師在教學中，要注意發(fā)揮典型例題示范性，做到易題詳講、小題大講，這樣做的目的一是教師思維模式示范，二是解題格式的示范，三是解題反思與優(yōu)化的示范.

案例1 （必修4，1.2.3 三角函數(shù)誘導公式，例4）

首先，應向學生示范分析問題的過程，這個分析的過程正好是教師思維的過程.老師拿到題是怎么想的？肯定是先觀察，發(fā)現(xiàn)75°+α和15°-α之和是90°特殊角，這樣正好可以利用“誘導公式五”，把所求的cos（15°-α）轉化成sin（75°+α）解決.

其次，向學生示范解題的過程，由于學生對角的取值范圍易忽視，因此教師要特別注意，對角取值范圍的書寫，教師省略一個步驟，學生就可能省去數(shù)個步驟.

由-180°<α<-90°，得-105°<75°+α<-15°，則sin（75°+α）<0.又cos（75°+α）=，所以cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）=-= -=-.

再次，向學生展示解題后，如何反思與優(yōu)化解題過程，這是提高解題水平的關鍵一環(huán). 本題的解決依賴于觀察，看到所求三角函數(shù)值的角與已知三角函數(shù)值的角之和為90°，如果觀察不出來怎么辦？抑或更為復雜的關系怎么解決？這里要提煉，要向學生講述反思的過程. 觀察的實質是把“75°+α”看成整體，看成整體是換元的思想，因此可以設75°+α=β，即α=β-75°，所求的三角函數(shù)的角15°-α=15°-（β-75°）=90°-β，于是原題就轉化成已知cosβ，求cos（90°-β），應該說，換元法更具備一般性.

通過這樣的“三個示范”，學生不僅鞏固了新學的誘導公式，而且學會了思考、學會了表達，也掌握了解決這類問題的一般方法. 真正體現(xiàn)減少訓練、提高效率的作用. 這個案例也告訴我們，每講一道例題都應當問一問為什么要講它？它“范”在哪里？“例”在何方？學生從中能夠學到什么？

承啟型例題，要展現(xiàn)知識的系統(tǒng)性

由于數(shù)學知識是一個有機的整體，后續(xù)的知識往往是前面知識的延續(xù)的發(fā)展，因此課本上的例題有時還起到“承上啟下”的作用，它既是已經(jīng)學習知識的應用，也是將來學習知識的緣起，因此教師在教學時要能夠洞察到這類例題的作用，這樣不僅可以使課堂教學順利過渡，也可以強化學生對知識系統(tǒng)性的認識，建立起完整的知識結構，而不是一堆離散的知識點.

案例2 （必修1，2.1.1 函數(shù)的概念和圖象，例5）

在第2.1.1開頭的問題第一個問題中，如果把人口數(shù)y（百萬）看作是年份x的函數(shù)，試根據(jù)下表，畫出這個函數(shù)的圖象.

經(jīng)過仔細研究發(fā)現(xiàn)，這個例題編寫的目的至少有三個：第一它是本節(jié)開頭的背景問題，是引入函數(shù)概念的主要問題之一，讓學生體會函數(shù)兩個量之間的對應關系，在后面第3.4.2節(jié)函數(shù)模型及其應用學習中還將深入討論；第二該問題在第2.1.2節(jié)中，用來說明列表法也能表示函數(shù)，并且函數(shù)圖象可以是離散的點，這與以前學生所見的大多數(shù)函數(shù)圖象稍有不同，這有助于更新學生的認識觀念；第三，這個問題，還為接下來函數(shù)單調(diào)性的學習做好鋪墊.

由此可見，一個普通的例題，不僅是概念背景問題的延續(xù)，也是繼續(xù)學習的基礎，貫穿了函數(shù)的概念、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示和函數(shù)的應用. 如果教師在教學中把該例題跳過了，勢必造成教學上的不連續(xù)，甚至學生對知識連續(xù)性的認識不到位. 這樣的案例在教材中還有很多，再如第1.2節(jié)的例2：

下列各組的3個集合中，哪兩個集合之間具有包含關系？

粗看可能平淡無奇，有的老師可能認為不夠好，另選其他例題，事實上本例的每一組3個集合中，A，B這兩個集合沒有公共元素，且它們的元素合在一起，恰好是集合S的全部元素，這個思考為學生感受和理解補集、全集的概念奠定基礎，也為從集合運算的角度理解補集做鋪墊.

像這樣的例題的編寫意圖，需要教師仔細揣摩才能發(fā)現(xiàn)，這需要教師加以研究，盡可能地發(fā)揮集體的智慧，在集體討論的基礎上相互啟發(fā)，才能集思廣益，發(fā)現(xiàn)編者用意.

結論型例題，要展示問題的探究性

課本上還有很多例題本身就是一個常用的結論，甚至在以前老版本的教科書中是作為定理或者公式給出的，在新課標教材中，只是為了降低學習的難度和減輕學生的負擔才淡化成例題的.如定比分點公式（見必修4，平面向量坐標運算例4）在老的人教版教材中是作為公式出現(xiàn)的，現(xiàn)在蘇教版中就作為一個例題. 對于這樣的問題，盡管結論本身，不能夠在解題中直接使用，但是教師也要能夠像其他概念、公式、定理一樣，舍得花時間，讓學生進行探究，弄清來龍去脈.

結論中當λ∈R且λ≠-1時，=是線段定比分點的向量公式，若改寫成=+，就是A，B，C三點共線的條件.

這里可以讓學生分三個層次進行探究活動：

（1）證明方法的探究：即如何從=λ向結論進發(fā)？

（2）逆命題的探究：一般地，若存在兩個實數(shù)s，t，且s+t=1，使得=s+t，則A，B，C三點共線.

（3）點C位于線段AB上與位于線段AB延長線上或線段BA延長線上，λ的取值有何不同？

（4）本例題在題干的表述上是有瑕疵的，請指出.

值得一提的是本例題的教育價值除了證明過程能夠鞏固加強“向量共線定理”、結論能夠為學生的探究性學習提供素材外，還有以下的價值：

（1）直線AB上任一點C都能夠用OA，OB來表示，有助于提出問題：“是否平面上任一點C都能用OA，OB來表示”，這為下一節(jié)平面向量基本定理學習激發(fā)學習動機；

（2）為下面“平面向量的坐標運算”中定比分點公式和中點公式推導打下基礎；

（3）可以類比到選修2-1中“三個向量共面”的充要條件.

結論性例題的一個教學誤區(qū)是讓學生死記結論，對于學生來說，他們要記憶的材料太多了，因此單純的記憶是行不通的，即使記住了，也不會應用. 這類例題是開展探究性教學的最佳材料，通過探究，學生掌握了結論的來龍去脈，不僅知道它是怎么產(chǎn)生的，也知道應用到何處去.

方法型例題，要重視思維的發(fā)展性

課本中的例題，除了知識性問題，還有方法性的問題.這類例題為師生提供了通解通法，展現(xiàn)了一般解決問題的思路，教師在教學時，要能夠通過這樣的問題讓學生學會數(shù)學的思考，程序化解決問題，培養(yǎng)學生理性思維能力.

本例題雖然是非常基礎的問題，但是這兩種解法，實際上是從兩個不同的角度解決了求切線方程的問題. 方法1是幾何法，利用了“直線與圓相切”等價于“圓心到直線距離等于半徑”這一特征，方法2是代數(shù)法，主要是從直線方程與圓的方程聯(lián)立后有兩相等根這一性質. 很多師生對課本第二種解法不夠重視，認為計算量大，過程煩瑣，就一跳而過，這是錯誤的. 盡管方法2計算煩瑣，但教學中更需要重視，因為解法2更具有一般性，為后面學習直線和其他曲線位置關系奠定基礎. 因此教師在方法類例題的講解中，應體現(xiàn)從具體到抽象，從特殊到一般的思維過程，以及歸納、總結的一般方法，這樣更加有利于學生思維的發(fā)展.

除了上面所述的類型例題外，還有應用型的例題，教學中應展現(xiàn)其科學性和人文性，讓學生體會到數(shù)學的科學價值和人文價值. 有的例題，還要綜合發(fā)揮其作用，如上面提到的案例3，除了展現(xiàn)其探究性，也要讓學生認識到知識的連續(xù)性與綜合性. 所以有人說“教師與其糊里糊涂地講一百例題，還不如清清楚楚地講清一道題”就是這個道理.