證明的作用和挑戰對數學教學的影響

吳道春

【摘要】上個世紀，人們重新審視數學的本質，出現了很多的關于證明的觀點，如：“證明是數學實踐的反映”，“證明是促進數學理解的一個極其重要的工具”，“證明可以用來交流數學理解”等.最近，證明在數學和數學教育中的作用受到了質疑，甚至有人預測，證明將消失.這種質疑來自數學內部、數學教育、社會價值和經驗科學的挑戰，對數學教學產生了重要影響.

【關鍵詞】證明作用；證明挑戰；數學教學

1證明的作用

證明在數學教育中的最重要的作用是認知建構和意義交流.然而，回顧20世紀五六十年代的“新數”運動，有一主流觀點：中等學校的數學課程要更好地反映數學，必須強調形式邏輯和嚴格證明，因為：（1）在現代數學理論中，關于數學證明，存在著一些公認的標準；（2）嚴格證明是現代數學實踐的特征.這兩個觀點都是錯誤的[1].首先，回顧關于數學的本質的一些主要論述，如：邏輯主義、形式主義、直覺主義和準經驗主義等，就會發現，關于證明在數學中的作用和數學證明的標準，存在不同的觀點；其次，審視數學實踐，在數學家的眼中，與“認知和意義”相比，“嚴格”居于第二位，只有當證明能夠促進真正的數學認知，它才合理和令人信服.

數學家接受一個新的數學定理，只有當定理滿足以下條件：（1）他們理解這個定理（包括定理中的概念、前提和意義），而且沒有跡象表明它是不正確的；（2）定理非常重要，對某個或幾個數學分支有意義，使他們有充分的理由對之進行詳細的研究和分析；（3）定理和公認的結果相一致；（3）定理的發現者是此領域的權威；（4）他們曾經遇到過關于此定理的令人信服的證明.在數學課堂上，教師們要傳授給學生關于證明本身的更重要的作用，即強調認知建構和意義交流而不僅是形式演繹.

2歷史的挑戰

2.1來自數學的挑戰

計算機對數學的發展起了巨大的推動作用，重新激起了數學家們對算法和離散方法的興趣，增強了對構造性證明的依賴，出現了一些新的證明方式，主要有三種：（1）使用計算機構造或論證一些非常長的證明，如“四色定理”的機器證明；（2）零知識證明；（3）全息證明.于是，一部分人聲稱“證明本身即將滅亡”.

其實，以上三種證明本質上仍然是分析（演繹）證明，從這個意義上講，它們還是傳統的證明.越來越多的數學家們似乎正超越分析（演繹）證明的邊界，轉而使用計算機實驗證實數學理論，如混沌理論和非線性動力系統.在美國明尼蘇達州的幾何研究中心，數學家們借助計算機，通過圖形展示來研究四維超級立方體和其它圖形或研究一些變化，如球體的旋轉和碰撞.這些探索本身和傳統的作為分析科學的數學并不矛盾，只是在從探索得出一般結論的時候，這些數學家們似乎回到經驗科學的方法.這個幾何研究中心創立了一個雜志《實驗數學》，極力提倡計算機的使用.

這些新發展給數學家們和哲學家們提出了一些新的問題：這些證明代表著未來的發展方向嗎？在數學中有一席之地嗎？我們能夠稱它們是證明嗎？數學家們應該接受那些很可能正確的數學命題嗎？如果不能，它們的地位又是怎樣的？實驗證明和演繹證明之間的關系如何定位？數學家們還在繼續討論這些問題，而這正反映了證明在數學中的作用的重要性.

即使關于以上問題有了一致的觀點，即使這個一致中仍有很大一部分存在分歧，數學家們都堅持證明的重要性.我們現在用新的證明方式做的一些事情，可能在將來不被認可，但證明本身仍是有活力的，借助技術的力量，數學家們創造了新的證明方法，甚至新的數學思維方式，但他們絕不會放棄證明的思想.

2.2來自數學教育的挑戰

2.21“新數”運動

在“新數”運動之前，證明教學局限于幾何，似乎是為了形式而教，而不是為了更深刻的數學認知，一些經典的證明沒得到重視.20世紀50年代后期，受到數學的巨大發展，特別是能將很多數學分支統一起來的集合論的新發展，新數運動的興起，數學教育界特別重視公理結構和證明并將它們引入數學課程，這使得證明教學遠遠超越了幾何的界限.這一改革目的就是要促進數學認知，遺憾的是，沒有達到預期的目標.自從“新數”運動失敗后，在全世界的學校數學課程中，任何形式的證明的地位都漸漸地下降.這主要歸因于課程改革和數學教育理論，數學教育家們對于證明的認識，而不是數學本身的創新.

2.22回到基礎

“回到基礎”的根基是行為主義學習理論，和布魯姆、加涅、奧蘇貝爾和沙利文等人的工作密切有關，嘗試給學生確定恰當的行為目標，促進“掌握學習”，這是一個有計劃的學習方式，重視一些非常特殊的技巧，如算術、算法和某些問題的一步一步的解題步驟，但忽視了證明和其它形式的論證.

2.23新興學習理論

在“回到基礎”之后，又出現了“發現教學”、“合作學習”、“問題解決學習”和“課堂交流”等新興學習理論，雖都沒有被普遍接受和推廣，但都對課程有過重要影響.雖然，它們都沒有特意反對證明教學，但它們確實轉移了對證明的重視.

2.24建構主義

20世紀90年代，最有影響的數學教育理論是“建構主義及其各種形式”，強調知識不能被傳授，必須以學生為中心，由學生自我建構.建構主義引入數學課堂，削弱了教師在課堂上的重要性，這對證明教學不利.建構主義提倡教師不要給出數學證明或在論證中扮演主動角色，只要給學生提供有限的幫助，讓學生自己論證，不用干預，教師扮演著“調節者”的角色或者說“中立角色”.這種“中立角色”是有問題的，我們希望培養學生探究問題和進行論證的能力，這需要教師進行引導和對學生的不同的判斷加以確認和評價，促進他們協調認知、分享知識和方法.研究證明，教師在幫助學生理解“為什么需要證明”，“怎樣證明”和“證明是否正確”的過程中的作用至關重要，期望學生重新發現復雜的或創造性的證明方法是不現實、不高效的，故意回避教師的幫助，似乎不明智，學生需要教師的積極的介入.

2.25拉卡托斯的影響

匈牙利數學哲學家拉卡托斯認為數學的本質是擬經驗的，數學理論是可猜測的、可證偽的，他的觀點使得許多數學教育者認為應該將形式化的數學從課堂上消除，鼓勵學生進行探索性的分析證明.美國數學教師協會在數學教學專業標準中發起倡議，提倡學生間的課堂交流，削弱了教師的作用，削弱了形式證明的地位.

很顯然，上述觀點和做法是錯誤的，教師的作用上文已闡述，而形式證明對判斷和發展數學理論很重要.雖然有的數學理論是不可被證明或可證偽的，但這只是豐富多彩的數學體系的一個局部，如果數學課程只局限于這一局部，就不能更好地反映數學實踐.事實上，形式證明也可以為公認的理論和定義提供反例，例如，德國著名數學家哥德爾的不完全性定理證明，如果不使用復雜的符號和形式邏輯系統，他就不能創造這些證明.

2.3社會價值的影響

社會價值發展的取向之一是認為真理是社會建構的，不屈服于權威.傳統的、歐幾里德式的證明被拉卡托斯等人認為是權威主義數學的核心，以建立一個權威的、可靠的、無可辯駁的數學體系為目標；在數學教育領域，證明特別是嚴格的證明，被看成是由權威機構掌握的控制機制，幫助他們將預先確定好的、可靠的知識體強加于學生.

事實并非如此，證明是一種透明的辯論，推理的依據和原則都是清晰的，經得起推敲的，這才是證明的本質.我們應當傳遞給學生這樣的信息：（1）可以自己推理，不需要屈服于權威；（2）任何一個被證明了的數學理論都是相對的，不是絕對的，其正確性依賴于其假定的數學理論和推理原則，但證明可以增強數學的可靠性.因此，在課堂上，證明的使用實際上是反權威的.有人認為，證明要求學生接受權威的推理的原則，不符合社會價值的主流，這又把爭論推到了一個新的、元數學的水平.那些質疑證明的作用的人，徘徊在反抗理性的邊緣，希望他們不要質疑推理的原則，否則非常令人憂心.

有人認為課堂上的證明，特別是嚴格的證明，容易使學生覺得“數學是先驗科學”，與“數學是社會建構的”相違背.其實，證明是為了尋求與當前公認的理論相容的理由，并不要求將數學看成是先驗的.證明的嚴格是一個度的問題，在數學實踐中，遵循實用主義原則，如果一個不嚴格的理論在問題解決中是有價值的，接受它就是一個很理性的選擇，只有當數學家們意識到憑借當前的理論還不足以解決迫在眉睫的問題時，他們才會開始擔心嚴格的缺陷.

總的來說，沒有證據表明證明及其嚴格性與當前的社會價值相沖突.

2.4數學證明和經驗科學

數學中的真理和經驗科學中的真理不同，經驗科學中的真理主要是通過日常生活中的操作建立的，數學中的真理具有經驗的維度，但最終要通過證明建立.如，對于“三角形的內角和是180度”，通過測量知道一個三角形的內角和接近180度，但要確信對所有的三角形是需要證明.這在柏拉圖和歐幾里德時代很自然，但在實驗和測量被認為是科學的方法論的基礎的時代，這不如人意.為了解釋，應當告知學生“他們所畫的圖形與幾何定理中的圖形本質上是不同的，前者是經驗的實體，而后者是理想的實體”.

關于數學的本質，一直有兩個流派，理性主義和經驗主義.數學語言的使用對兩者的區分很關鍵，一種是柏拉圖-歐幾里德語言，在描述真理、證明和直覺時使用，是一種理性主義的語言，體現了絕對確定性，盡管它有不盡人意的地方，但在交流中很有效且方便；另一種是口頭語言，包括建模、應用、解釋、數學化等，這一語言的產生基于數學理論本質上是某種現象域的模型，其確定性依賴于模型的內部原理[2].愛因斯坦認為“指向現實的數學定理是不確定的，確定的數學定理不是指向現實的”，我們也要讓學生明白.

對證明在數學化的經驗理論中的作用有兩種理解.一種是靜態的，將經驗理論看作原理和測量的網絡，原理是關于測量的描述，其正確性不是絕對的，由證明而增強，由證明建立起來的演繹關系而聯接在一起，當原理通過證明變成理論的一部分，它的檢驗和證實不僅通過直接的測量，還要通過證實了理論中的其它原理的測量，這將具有更高的確定性；一種是動態的，強調證明在經驗理論的不同的發展階段的作用不同，在理論產生的初期，證明主要是用來檢驗它的可靠性，合理性或有用性，后來證明的作用發生了改變，將源自假設的理論變成被證明了的定理，納入公認的知識體系.

教學必須反映證明的這些不同的作用，不需要在每種情形下都討論全面，應該采納弗來登塔爾的“局部組織”的觀點，將整體分解為各個部分，各個擊破，證明有時把源自假設的理論變成定理，有時用來解釋一個假設，有時可以解釋或推廣定理，有時可以發現新的定理，有時可能涉及經驗維度.

3數學課堂上的證明

學術性數學和課堂數學教學不同，數學家們可以只關注數學的復雜性，而在課堂教學中，對每個新的數學課題，教師必須解釋清楚證明和數學應用之間的復雜關系，他們必須以不同的水平處理證明教學，但這是很難達到的，因為教師必須找到將證明和它的應用聯系起來的例子，而這在學術性數學中常常是沒有這樣的例子的.教師必須高水平地處理認識論的復雜性，數學教育面臨著科學的和哲學的挑戰.

從長遠來看，我們期望課堂中的證明在某種程度上反映證明的所有作用，包括證實，解釋，系統化，發現新的結果，交流，建構經驗理論，探索定義的含義或假設的重要性，將一個眾所周知的事實并入一個新的框架以一個新的視角觀察它等，但這些作用和數學學習的聯系程度各不一樣，所以在教學中它們當然不應被賦予同等的權重[3].

課堂上最好的證明是有助于認知建構和意義交流的證明，不僅要知道它是正確的，還要知道為什么.因此，教師必須選擇在形式上適宜特定的年級水平的教學方式和背景，可以是一個計算，一個直觀的演示，一個有指導的并遵守一定的辯論原則的討論，一個非形式化的證明或一個嚴格的證明，在不失完整性的前提下，可以暫時忽略證明的某些方面.

教師必須關注和區分論證性的證明和解釋性的證明，以更好地適用教學的需要.論證性證明可以證明定理的正確性，常缺乏解釋意義；解釋性的證明和定理中的對象或結構的特征性的性質相聯系，學生從中可以很明顯地看出定理的結果依賴于這些性質，如果在證明中的一個地方，以一個不同的對象做替換，這個定理就不成立了，學生還可以觀察定理是怎樣隨著對象的改變而改變的.

數學的發展的根本目的不是為了“定義——定理——證明”的形式化的演繹，而是怎樣發展人們對數學的認知，怎樣使得人們更清晰、更有效地理解數學.需要指出的是，強調認知的重要性并不是在某種程度上否定形式演繹，事實上經得起推敲的細致的、形式化的演繹證明對數學的發展是很重要的，是數學發展的重要方式和形式.總的來說，證明既不是數學科學的核心，又不是可以消失的，一個致力于反映證明在數學中的作用的數學課堂甚至數學課程，必須將證明展現成是對數學的認知建構和意義交流的必不可少的重要工具.

參考文獻

[1]Alan J. Bishop， M.A. Clements， Christine Keitel.（2003）.Second International Handbook of Mathematics Education.

[2]張乃達.數學證明和理性精神——也談數學證明的教學價值[J].中學數學，2003（2）：23-27.

[3]史寧中，郭民.中學數學證明的教育價值[J].課程·教材·教法，2007（7）：11-18.