挖掘思想方法 培養思維能力

毛增福

【摘要】數學思想方法，相對于數學知識而言，它的呈現是隱蔽的，是學生難以獨立地從教材的字里行間直接獲取的，它隱含于數學知識與教學活動中。本文就初三平面幾何“圓周角”一節的教學談些這方面的作法與體會。

【關鍵詞】數學思想方法 教學活動 圓周角

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）09-0140-01

一、運動變化、引出定義，培養學生的運動變化觀和建立數學概念的能力

圓周角和圓心角都是與圓有關的角，用運動變化觀，它們是同一運動條件下的兩個不同的運動狀態。由于事物間的因果關系、本質特征最容易從運動中顯示出來，如何把靜止的問題變成動態的問題，讓學生受到一次運動觀的熏陶，筆者作了如下設計：

演示如下：在橡皮筋AB上任取一點C，將這點運動到圓內，圓外、圓心、圓上……

教師啟發引導：當角的頂點運動到圓內時，這角管它圓內角；運動到圓外時，這角叫做圓外角；運動到圓心時，已知它是圓心角，運動到圓上時，這是一種什么角？

由此通過運動變化的演示，引出圓周角的由來，并引導學生從運動變化的演示中觀察圓周角的特征，歸納出圓周角的定義，引出課題。

這種引入的過程，不僅使學生了解了概念產生的來龍去脈以及本質特征，還加深了對隱含概念本身的動靜辯證思想的理解和認識。

二、類比聯想、探討結論，培養觀察、分析、比較、歸納，猜想及探索能力

作為教材的課本一般都是直截了當給出發現的結果。圓周角定理也一樣，隱去了數學家們曲折的探索、分析和歸納等發現過程。作為教師，如何通過教學設計，引導學生參與知識的探討與發現活動，培養學生正確、科學的思維方式，運用基本的數學思想方法研究問題的能力，這是比數學知識更值得重視的問題。因具體的數學知識隨著時間的推移可能會遺忘，而這些數學思想方法學生將會終身受益。筆者引導學生自己發現圓周角定理的教學設計如下：

引導1 在圓心角的學習中，一條弧確定一個圓心角，對于圓周角，一條弧所對的圓周角有多少呢？

觀察教師演示：在自制模型中，演示■所對的圓周角有多少，讓頂點C在AC1B上運動，由于橡皮筋的彈性作用，不論C運動到什么位置，始終構成AB所對的一個圓周角。

引導2 上面的演示說明了一條弧所對的圓周角有無數多個，由于它們頂點的變化，這些角的形狀與位置也隨著變化，它們的大小是怎樣的關系呢？

觀察教師演示：先考察■所對的圓周角的關系，在模型中，任意固定■所對的某一個圓周角頂點C的位置，得到■所對的一個圓周角∠ACB，用硬紙板剪下與這角相等的角樣，然后不斷變化這頂點C的位置，分別用這角樣與各不同位置下的圓周角作比較。為防止認識的片面性，再考察另一段弧■所對的圓周角之間的大小關系，方法同上。

通過以上演示觀察，啟發學生得出猜想

1：同弧所對的圓周角相等

引導3 上面的猜想告訴我們：任意一弧所對的圓周角都等于同一度量，這個度量是多少呢？是由什么因素所決定的。

讓學生通過上面演示中剪下的■與■所對的兩個圓周角的硬紙板角樣的比較，分析概括得出：較大的弧所對的圓周角較大，較小的弧所對的圓周角較小。從而進一步得出圓周角的度數是由它所對的弧來決定的。

引導4 一條弧所對的圓周角的度數是由它所對的弧決定的，而這條弧的度數又與圓中什么角有直接的關系呢？

有學生脫口而出：尋找一條弧所對的圓周角與它所對的圓心角是什么關系。

引導5（結合觀察演示）一條弧所對的所有圓周角都是相等的，只須找到某一圓周角與這段弧所對的圓心角的關系就行了，在AB所對的所有圓周角中，頂點C運動到什么位置時的圓周角與圓心角∠AOB的關系最明顯呢？

通過觀察，學生不難發現：可以得出關系：

∠ACB=■∠AOB

繼而啟發學生歸納猜想

2：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

通過以上的引導，學生不僅發現了定理與推論的結論，更重要的是訓練了學生運用了觀察、比較、分析、歸納猜想等合理的思維方式參與了探求知識的全過程，學會了運用類比、化歸、由特殊到一般、變靜止為運動、從歸納到猜想等數學思想方法去研究認識問題。

三、分類轉化、證明猜想，培養學生思維的嚴謹性和靈活性

上面發現推出的結論還只是一種猜想，要證明本定理的正確性，這是本節課的教學難點。如何突破難點并抓住機會向學生滲透分類思想以及在證明過程中所涉及的轉化，設計如下步驟：

引導1 猜想2結論的發現是由圓周角在某種特殊位置中觀察得出的，猜想正確與否，要有證明。首先我們須分清何為特殊，何為一般？

在模型中演示圓周角的各種位置變化，在變化中觀察圓心與圓周角的各種位置特征，從而歸納出劃分的各種類型及分類的標準。

引導2 我們對一條弧所對的無數多個圓周角劃分了三種類型，因而須對三種情況分別進行證明。首先最特殊的往往是最容易的，所以第一種特殊情況是我們的突破口。在對其它兩種一般情況的證明中，是否想到了運用數學思想方法來解決呢？該選用怎樣的數學思想方法？

啟發學生運用轉化并指導如何創造轉化的條件，將一般的情況轉為第一種特殊的情況來解決。最后引導學生運用本定理回頭再考察猜想1的正確性，補充適當內容后作為本定理的一個推論。

四、概括提煉、鞏固小結，培養學生揭示學習規律、解決實際問題的能力

如何引導學生對本節學習與探求活動中及數學知識中涉及的數學思想方法加以提煉和概括，設計了如下討論題：

1.圓周角定理與推論給我們提供了怎樣的數量關系，突破這一表面現象，挖掘其實質，你能發現隱含其中的數學思想和方法是什么？

2.在探討與發現結論的活動中，我們都運用了哪些研究問題的思想和方法，回憶它們的發現過程，有何啟發？

3.今天的學習活動由“猜想”得出了定理與推論，可見猜想是獲得重大發現的重要途徑。我國著名數學家陳景潤為攻克“哥德巴赫猜想”獻出了畢生精力，留下終身遺憾，對此你有何感想？

在學生對上述問題討論的基礎上，講解課本中有關例題并配備四個達標訓練題（略）。

數學思想方法跟其他基礎知識的區別是掌握它是一個循序漸進的過程。需要我們教師真正意識到它是數學的精華，重視數學思想方法的教學，在平時的教學中，結合教材，教法有意識，有目的的逐步滲透與強化，使學生產生認識的飛躍，達到提高素質，培養能力之目的。