陳燕

摘 要： 自主互助學習型課堂重在構建一套契合我校數學教學現狀的、高效的、自主互助學習型的課堂教學模式.力求從教學模式上解決教育如何以學生為本，在進一步體現學生主體性、促進學生交流互助的基礎上幫助學生“學會學習”，從而為他們的終生發展奠定堅實的基礎.本文以《空間向量復習》為例，結合課題的指導思想和宗旨，進一步探索自主互助學習型課堂.

關鍵詞： 高中數學教學 自主互助 學習型課堂 空間向量

在復習空間向量的過程中，發現學生學會了用直線的方向向量和平面的法向量解決相關計算問題，碰到難一點的判斷題或非常規圖形就不會處理。至于問題的形成原因，我認為除了學生還沒習慣用向量解題之外，主要是學生對于空間向量中的一些定理沒有認識到位.結合自主互助學習型課堂模式，我設計了如下教學流程.

一、課前預習

先讓學生復習平面向量涉及的3個定理或推論：

已學的平面向量：

①平面向量共線定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.

②平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線的向量■，那么對于這一平面內的任一向量■，有且只有一對實數λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■.

③平面向量基本定理推論：設平面任意一點O，則P，A，B三點共線？圳■=x■+y■（其中x+y=1）.

二、課堂互動

教師與學生合作總結空間向量中的4個定理或推論.

新學的空間向量：

④空間向量共線定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.

⑤空間向量共面定理：如果兩個向量■，■不共線，那么向量■與向量■，■共面的充要條件是存在有序實數組（x，y），使得■=x■+y■.

⑥空間向量共面定理推論：設空間任意一點O和不共線三點A，B，C.

P，A，B，C四點共面？圳■=x■+y■+z■（其中x+y+z=1）.

⑦空間向量基本定理：如果三個向量■，■，■不共面，那么對空間任一向量■，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使■=x■+y■+z■.

這么多的定理及推論，靠死記硬背，能記住就不錯了，更談不上靈活運用了.

三、小組討論，自主互助

此時我要求學生進行小組討論，觀察兩組定理的聯系與區別，能否將定理的條數變少.學生在經過長時間的談論后總結出定理的條數可以減少.定理①④、定理②⑦類似.

四、教師點評

要求同學們只要記住兩個定理：

一是共線定理即定理①④，它們的內容和形式都是一樣的，很好記.

二是基本定理，分平面和空間，即定理②⑦.定理②中的系數之和為1，即λ■+λ■=1時，即為③，定理⑦中的系數之和為1即x+y+z=1時即為⑥，還有⑤，⑤=②.

這樣記不僅記住了定理，還知道了它們之間的聯系和區別，有了知識的生成過程和關聯，熟練掌握水到渠成.

五、及時鞏固

例1：已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）.

設M（x，y，z）是平面ABC內任一點，求x，y，z滿足的關系式.

解法一：

因為A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），所以■=（-2，-1，3），■=（1，-3，2），設平面ABC的法向量為■=（x，y，z），則■·■=-2x-y+3z=0■·■=x-3y+2z=0，解得x=y=z，不妨取z=1，則平面ABC的一個法向量為■=（1，1，1），而■=（x，y-2，z-3），所以■·■=x+y-2+z-3=0.所以x+y+z-5=0.

評注：解法一利用平面的法向量解題，計算簡單且容易理解.很多學生反映好像向量這邊學完了之后感覺都是計算方向向量和法向量，其實如果我們能夠對定理①～⑦有深刻理解就會有其他途徑解決該問題.

解法二：

因為A，B，C，M四點共面，所以■，■，■共面，因為■，■不共線，由共面向量定理可知■=λ■■+λ■■，即（x，y，z-3）=λ■（-2，-1，3）+λ■（1，-3，2），

所以x=-2λ■+λ■ ①y-2=-λ■-3λ■ ②z-3=3λ■+2λ■ ③，由①②解得λ■=-■λ■=■，代入③

可得z-3=-■+■，化簡可得x，y，z滿足的關系式為：

x+y+z-5=0.

解法三：

因為A，B，C，M四點共面，設O為空間中任意一點，則

■=λ■■+λ■■+λ■■，且λ■+λ■+λ■=1

即（x，y，z）=λ■（0，2，3）+λ■（-2，1，6）+λ■（1，-1，5）

所以x=-2λ■+λ■①y=2λ■+λ■-λ■②z=3λ■+6λ■+5λ■③，解得λ■=■λ■=■λ■=■，又λ■+λ■+λ■=1，

所以■+■+■=1，化簡可得x+y+z-5=0.

評注：解法二和解法三計算量稍大，但不需要計算平面的法向量，而且能加深對定理⑤⑥的理解，這兩種解法也是相當自然.從而得到了三種已知平面上不共線三點求平面方程的方法.

很多時候學生解題過于依賴坐標系中的方向向量和法向量，一旦題目坐標系難以建立或不好建系，往往就會因為不習慣導致解題失敗.

例2：如圖，在平行六面體ABCD-A■B■C■D■中，各棱長都相等，且∠BAD=90°，∠BAA■=∠DAA■=60°.求證：■是平面A■BD的法向量.

分析：本題即證直線AC⊥平面A■BD，易知AC⊥BD，只要在平面A■BD中找一條與BD相交且與AC垂直的直線即可，不妨選擇A■B.學生上來先建系，無論是以■為z軸還是在平面ABCD中作DC的垂線為z軸都是錯誤的.

證法一：

連接D■C、D■A，算出D■C、D■A、AC的長度用勾股定理證明AC⊥CD■

或記AC∩BD=O，連接A■O，連接A■O，A■C，用勾股定理證明AC⊥C■O

評注：兩種思路都需要作輔助線，學生短時間內思考有一定難度.

證法二：

∵■=■-■，■=■+■

∴■·■=■+■·■-■·■-AA■·■

不妨設棱長為1，則■·■=1+0-1×1×■-1×1×■=0

∴■⊥■，即AC⊥A■B.

評注：此種證法用空間向量基本定理證明，簡單易行，關鍵是要用對定理和選擇合適的基底，關于基底的選擇，建議選擇同起點的不共面向量，結合向量的運算都能解決.

本題若將∠BAD=90°改成∠BAD=60°，則會產生哪些新題型，留給讀者思考.

在日常的教學中，如果我們能夠適當減少習題的量，更多地注重概念的生成、理解，章節的復習、聯系；則不僅能減輕學生的學習負擔，而且能激發學生學習數學的興趣，達到事半功倍的效果.把課堂還給學生，激發學生的學習興趣，給他們充分的展示機會，幫助他們在自主學習和群學交流中理解知識、掌握技能、感悟數學細想，通過長期堅持，真正培養學生的數學素養，提高學生分析、解決問題的能力.