《高等數學》微分中值定理的說課設計

朱碧

摘 要： 微分中值定理作為微分學的核心概念之一，在高等數學中具有相當重要的地位和作用，是導數應用的理論基礎，對積分學的發展，具有承前啟后的重要作用.

關鍵詞： 微分中值定理 教材分析 教學策略 教學體會

引言

之前，我們引進了導數的概念，詳細討論了計算導數的方法.這樣一來，類似于求已知曲線上點的切線問題已獲完美解決.但如果想用導數這一工具分析、解決復雜一些的問題，那么，只知道怎樣計算導數是遠遠不夠的，還要以此為基礎，發展更多的工具.另外，我們注意到：函數與其導數是兩個不同的函數；導數只是反映函數在一點的局部特征；我們往往要了解函數在其定義域上的整體性態，需要在導數及函數間建立起聯系，搭起一座橋，這座“橋”就是微分中值定理.

1.教材分析

我講解的這門課程所使用的教材是由科學出版社出版的河南工業大學理學院數學系所編寫的《高等數學》（輕工類）（第二版）的上冊，這本教材的內容符合教學大綱的要求，體系結構清晰，例題豐富，語言通俗易懂，講解透徹，難度適中.《微分中值定理》這一小節分“羅爾定理”，“拉格朗日中值定理”，“柯西中值定理”三個部分展開，詳細講解第一、第二中值定理，需要一個課時的時間.

1.1教學重、難點

教學重點：微分中值定理的證明；微分中值定理的應用.

難點：輔助函數的構造；定理條件的驗證.

1.2學情分析

學生已較好地掌握了函數極限和函數的導數相關知識，正迫切地想知道導數到底有什么用，這種求知欲正好是學習本節內容的前提.另外，本班學生數學基礎較好（分層教學A班），思維比較活躍，對數學新內容的學習有相當大的興趣和積極性，這為本課的學習奠定了基礎.但是本節內容理論性強，抽象度高，內容思維量大，對類比歸納，抽象概括，聯系與轉化的思維能力有較高的要求，學生學習起來有一定難度.

1.3教學目標

根據上述教材分析，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，制定如下教學目標：對羅爾微分中值定理的第三個條件去掉得到拉格朗日中值定理進行推廣，啟發學生得出拉格朗日中值定理的結論，歸納構造輔助函數的方法，發展學生對數學問題的轉化能力，培養學生分析問題和解決問題的能力.

2.教學策略

2.1教法、學法

教學中遵循“學生為主體，教師為主導，知識為主線，發展思維為主旨”的“四主”原則.以恰當的問題為紐帶，給學生創造自主探究、合作交流的空間，啟發學生證明中值定理的思路.引導學生經歷數學知識再發現的過程，讓學生歸納總結得出微分中值定理構造輔助函數的方法.教學以板書為主，優點在于，學生注意力集中，能有效進行師生互動.

2.2教學流程及時間安排

2.2.1教學流程回顧羅爾中值定理→推廣到f（a）和f（b）沒有限制相等的一般情形→啟發拉格朗日中值定理的結論→構造輔助函數，轉化利用羅爾中值定理證明→歸納構造輔助函數的方法→體會拉格朗日中值定理的應用.

2.2.2時間安排及具體授課步驟

1.回顧和導入新課（3分鐘）；2.羅爾定理及其證明（10分鐘）；3.拉格朗日中值定理及其證明（10分鐘）；4.輔助函數的構造及其中值定理的應用（10分鐘）；5.典型例題分析和解答（10分鐘）；6.總結和作業（2分鐘）.

我們先講羅爾定理，然后根據它推出拉格朗日中值定理.

羅爾定理：設函數f（x）滿足：（1）在[a，b]上連續；（2）在（a，b）內可導；（3）f（a）=f（b），那么在（a，b）內至少存在一點ξ（a<ξ

證明：∵f（x）在[a，b]上連續，∴f（x）在[a，b]上必定取得最大值M和最小值m.

（1）M=m，說明f（x）=M為常值函數，∴f′（x）=0，（？坌x∈（a，b）），此時任取ξ∈（a，b），就有f′（ξ）=0.

（2）M≠m，∵f（a）=f（b），∴M和m至少有一個在（a，b）內取得，不妨假設M=f（ξ）（ξ∈（a，b）），由函數可導的條件和極限的保號性知：

注：①羅爾定理的條件是充分的，結論是定性的.②推廣：羅爾定理的第三個條件f（a）=f（b）一般很難保證，我們嘗試去掉這個條件，會有什么樣的結論產生呢？由此引出拉格朗日中值定理.

關于拉格朗日中值定理，我們采用的證明方法是找原函數：

3.教學體會

通過中值定理的教學，我深有體會.首先，微分中值定理學生掌握有三個難點：（1）定理的選擇；（2）輔助函數的構造；（3）條件的驗證.其次，上課時應該多采用歸納方法及讓學生理解解決問題所用的思考方法，以后學生才能做到舉一反三.最后，課堂上教師應該適當穿插人物的介紹，提高學生的學習興趣.課后要求學生復習并布置適當的作業，目的是加深對基本概念的理解，提高計算能力，進行邏輯推理的訓練.

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]慕運動，焦萬堂.高等數學（第二版）[M].北京：科學出版社，2014.6.