利用“剝層法”求復合函數的導數

張小玲

【關鍵詞】 數學教學；“剝層法”；復合函數；導數

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）13—0123—01

函數的導數問題在整個高中理科知識體系中占有十分重要的位置.從極限角度看函數的導數是函數增量與自變增量趨于零時的極限，從而是一類特殊的函數極限；從幾何角度看，函數的導數表示曲線切線的斜率；從物理的力學問題上看，路程函數的導數是速度，速度函數的導數是加速度.因此，學好導數至關重要.然而在實際教學中，筆者發現學生普遍認為復合函數的求導過程復雜，容易搞錯求導的順序與方向，容易丟項漏項等等，而這些問題反過來又加深了學生對于復合函數求導問題的畏懼心理。筆者結合多年教學中的經驗，經過思考和研究，設計了一套針對復合函數求導問題的整體教學方法——變量代換基礎上的“剝層法”，收到了教好的教學效果，現介紹如下.

一、復合函數概念的引出

對于函數y=f [φ（x）]，令u=φ（x）·若y=f（u）是中間變量u的函數，u=φ（x）是自變量x的函數，則函數y=f [φ（x）]是自變量x的復合函數.

二、對復合函數“代換剝層”

判斷復合函數的復合關系，進行分層的一般方法是：從外向里分析，最外層的主體函數結構是以基本函數為主要形式，各層的中間變量結構也都是基本函數關系，這樣層層分析，最里層應是關于自變量的基本函數或關于自變量的基本函數經過有限次四則運算而得到的函數.

例1 對復合函數y=sin5（1-）分層.

分析：可以設y=u5，u=sin（1-），但顯然此時u仍然是x的一個復合函數，因為我們最終是要對x求導，所以我們需要接著分層.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-.

例2 對復合函數y=分層.

解：令y=，u=1-v，v=3x.

“代換剝層”過程的總結：

1.對函數變量代換剝層后，我們得到了y、u、v等函數，這些函數的自變量都不一樣，所以求導時要特別注意對每個函數的求導分別是該函數對哪個自變量求導；

2.因為最終是要得到y對x的求導結果，所以分層過程結束后，最后一個分層函數必須是以x為自變量，且易于對x求導的簡單函數.

三、利用復合函數的求導法則對已分層函數“逐層求導，結果相乘”

首先應認識并理解復合函數的求導法則：一般地，復合函數y=f [φ（x）]對自變量x的導數y′x，等于已知函數對中間變量u=φ（x）的導數y′u，乘中間變量u對x的導數u′x，即y′x=y′u×u′x.這個公式符合鏈條法則，即y′x=y′u·u′v·v′x，以此類推.

對函數分層后，函數y對u求導的結果為y′u，這個過程相當于我們“剝開了”這個復合函數的第一層；接著，我們將函數u對v求導，即“剝開了”函數的第二層.這樣層層遞進，對每層函數的對應自變量求導，最終得到各個剝層后的函數的求導結果.將這些“剝下來”的各層導數全部相乘，我們將得到復合函數的求導結果.

下面我們在實例中講解這個方法的運用.所用復合函數為上面已經分好層的函數例1和例2.

例 對復合函數y=sin5（1-）求導.

分析：在例1中已經得到了該函數的三個分層函數，也知道了復合函數的求導公式y′x=y′u·u′v·v′x，接下來只需要分別求第一層：y′u，第二層：u′v，第三層：v′x，最后將結果相乘即可.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-，

∴ y′u=5u4 （第一層）

u′v=cosv （第二層）

v′x= （第三層）

∴ y′x=y′u·u′v·v′x

=5u4·cosv·=5·（sinv）4·cos（1-）·

=·sin4（1-）·cos（1-）

“逐層求導，結果相乘”過程的總結：

1.逐層求導中的每一步都要明確是對哪個變量求導，最好和例3和例4的計算過程一樣將求導函數和自變量以y′x，y′u、u′v、y′x這種形式表示出來；

2.在求出各層導數并運用y′x=y′u·u′v·y′x（復合函數求導公式）以后，要注意將所有中間變量重新換回x這個自變量，即需要進行一步“化掉未知”的過程，因為u、v等中間變量是我們為了計算方便而假設出來的，并不是題目中已知的，相當于“未知數”，答案中不能含有未知數，也就不能含有這些中間變量.

在上述講解的整個過程即是復合函數的剝層法，由簡單的四個步驟組成，即代換剝層，逐層求導，結果相乘，化簡未知.當然，復合函數的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不用再寫出函數的具體分層或者復合過程了.編輯：謝穎麗