如何在問題解決過程中獲得基本的數學思想

夏曉紅

【摘要】數學課堂教學不僅是傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生在學習知識的過程中獲得數學思想。新課標的教學目標把數學思考和問題解決作為兩個重要的方面，我們在教學中就應該重新深入地探索和實踐，讓學生在問題解決過程中不斷豐富數學思考，進而獲得基本的數學思想方法。

【關鍵詞】課堂教學 問題解決 數學思想方法 感悟和體會 應用

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0174-02

數學教學中有兩條線，一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想。就如新課程標準中指出“課程內容不僅包括數學的結論，也應包括數學結論的形成過程和數學思想方法。”可見，教師教給學生知識，是授人與“魚”，引導學生探索，教給學生獲得知識的方法，是授人以“漁”。數學課堂教學不僅應該傳授給學生數學知識，更重要的是培養學生在學習知識的過程中獲得數學思想。新課標的教學目標把數學思考和問題解決作為兩個重要的方面，我們在教學中就應該重新深入地探索和實踐，讓學生在問題解決過程中不斷豐富數學思考，進而獲得基本的數學思想方法。

一、教師要轉變觀念，關注數學思想方法的習得

以往，在教學中多強調“滲透”數學思想方法，可數學思想方法的教學，并不是將思想方法從外部注入到數學知識的教學中去，因為在整個教學過程中，分析推理、舊知遷移、歸納猜想、抽象概括等數學思想方法是與數學知識的發生發展和解決問題的過程密切聯系在一起的，因此，筆者認為數學思想方法是“孕含”在解決問題的過程中的，在教學中，教師要審時度勢，隨機應變，促進學生對思想方法的獲得，讓思想方法在問題解決中，從深藏不露到揭開廬山真面目而顯山露水。

一般來說，在低、中段教學中，以探究數學知識、解決數學問題為明線，以數學思想方法為暗線，但在運用知識、課堂小結、復習歸納時，要根據需要對思想方法進行提煉、歸納和概括；在高段教學中，應該明確一些基本的數學思想方法，甚至能用抽象的文字表述。如：在學習“圓”的知識時，就可以直接讓學生知道是用化歸的方法“化曲為直”推導圓的周長公式，用“化圓為方”推導圓的面積公式。

二、遵循學生的認知發展規律，感悟和體會思想方法

從心理學和教育學的觀點分析，不同年齡的學生有不同的思維特點，不同的智力水平和不同的思維個性，于此相匹配，小學階段數學知識的學習是一個由淺入深，由簡單到復雜，由易到難的過程，數學思想方法也不例外，在小學階段的形成過程有一個從未成形到半成形再到成熟的系統化過程。即：在低段教學中，常在具體感性的數學問題情境中感知數學思想方法；到了中段教學中，運用半具體半抽象的呈現方式，讓學生理解數學思想方法，會有意識地運用數學思想方法解決數學問題；在高段教學中，可以采用抽象的文字表述，讓學生能靈活運用思想方法解決問題。

這方面，新版教材就是一個明顯的例子，教材中以鮮明的版塊呈現解決問題的一般步驟：第一學段，知道了什么？——怎樣解答——解答正確嗎？第二學段，閱讀與理解——分析與解答——回顧與反思。雖然都是給學生提供了解決問題的一個模式，但對比這兩種文字敘述上的變化，更加明確了在“解決問題”中教師對培養學生的能力應該把握一個怎樣的度。即：低段讓學生直截了當找出相關的數學信息并提出問題，避免學生顧左右而言它的情況，同時，對呈現的問題情境從數學角度觀察、分析處理，提煉有用信息，并轉化為可以進行運算的數學符號，讓學生不知不覺中建立了數形結合等數學思想。到了高年級提供大量相關和不相關信息，要求學生有較強的篩選、提煉信息的能力，在引領學生有序地組織和實施解決問題的過程，先發現問題，接著分析、解決問題，最后對解答的結果和解決的思想方法進行檢驗和回顧反思，在分析和解答環節，呈現不同的思維水平、不同思考角度的問題解決方法，尊重不同學生的發展現實，體現方法的多樣性。

三、精心設計學生的數學活動，謀求數學思想方法的應用

小學數學教學的本質是發展學生解決問題的能力，而這一能力的發展離不開數學思想方法的構建，在教學中，教師要精心設計學生的數學活動，以使學生探究現實的問題，并最終提煉出基本的數學思想，教給學生舉一反三的方法。因此，數學教學應該是以數學知識為載體，師生共同努力，通過一系列的活動，發展學生的數學思想，形成一定的解決數學問題的策略和方法。

如，在教學“植樹問題”時，以數學思想方法的應用為主線，設計了幾個活動的環節：①出示題目：同學們在全長500米的小路的一邊植樹，每隔5米植一棵，一共需要多少棵樹？體驗500米的數據過大，轉化為10米或20米。②用畫圖解決問題，發現三種不同的情況，引導建立樹和間隔之間一一對應的關系，從而實現建模。③讓學生用植樹問題的數學模型解決“鋸木頭”、“公交站點”等生活中的問題。④最后，提出問題讓學生思考和總結：我們是怎樣研究植樹問題的？引導學生回顧在解決問題時用的“數形結合”、“化繁為簡”、“一一對應”、“數學模型”、“對比策略”。這樣，在一系列精心組織的活動中，探索的過程就深深地留在學生的心里，學生不僅積累了豐富的數學活動經驗，而且數學的思想方法也就在不知不覺中形成了，成為他們今后解決問題的重要策略。

四、培養學生思維的深刻性，提高靈活應用方法的能力

數學教學中，如果教師只單純傳遞知識，會導致學生學習過程單薄，內在發展性不強，因此，要讓學生在學習知識的過程中不斷總結，逐步領悟和獲得數學思想，提升學生的問題解決能力，進而培養學生的數學思維能力和數學素養。

如：在解決“雞兔同籠”問題時，首先引導學生把數字較大的問題轉化為數字較小的相同問題：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數有8個頭，從下面數有26只腳。雞和兔各有幾只？”，題目的變化，為問題的分析和思考帶來了方便，其中就是轉化的數學思想方法的體現。接著，引導學生猜想籠中的雞和兔各有幾只？對猜想的結果用列表的方法求證。先猜想，再求證，這是在解決問題中常用的思想方法，對猜想過程的有序列表教會了學生列舉的思想方法。此外，還用了假設的方法，假設籠子里都是雞，學生馬上就想到還可以假設籠子里都是兔。假設的思想方法為快捷解決問題提供了便利，更為培養學生的創新能力開辟了途徑。最后還引導學生用了列方程的代數方法，在已知和未知數之間建立一個等式，這種解決問題的思想方法可化難為易，特別是在解決比較復雜的數學問題時就更加體現它的直接、簡單。

從這個例題中可以看出，運用不同的數學思想方法就有了不同的思路，產生不同的解決問題的過程，但最終都能達到相同的結果。這種對同一數學問題多角度的審視而引發的一題多解，可以培養學生思維的發散性、靈活性；同時，教師還應組織引導學生對各種解法的簡捷性進行反思評估，不斷優化思維品質，可以培養學生思維的嚴謹性、批判性。這樣，在解決問題的過程中，讓學生不斷經歷對數學思想方法應用的“模仿——初步應用——自覺應用”過程，學生就能在用中逐步內化，獲得提升，實現數學思維的不斷發展。

總之，數學知識與技能是數學學習的基礎，而數學思想方法則是數學的靈魂和精髓。一堂有思想、有深度的數學課，往往能給學生留下永久的記憶，作為一個有思想的教師，要看到知識背后負載的方法，蘊含其中的思想，針對不同的內容，靈活設計教學，上有思想的數學課，引導學生在探索和解決問題中逐漸感受、理解和掌握各類數學知識中蘊含的基本的思想方法，并能用獲得的思想方法去解決新的問題。