高中數學排列組合推理的教學思考

陸效敬

【內容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進行排列，組合是指將取出的部分元素進行組合。排列組合與概率論關系密切，進行排列組合問題分析時，往往運用概率論的知識。排列組合是高中數學的一部分，對于學生們來說，也是學習比較難的一部分。為了幫助學生掌握好排列組合的學習，老師們要研究出適合學生學習的教學方案，讓學生們少走彎路。

【關鍵詞】高中數學 排列組合 教學思考

排列組合在高中數學中占有重要位置，也是高考的考點之一，用以了解學生的分析能力，閱讀能力以及數學建模能力。因此，學好排列組合對于學生們掌握好高中知識，順利通過高考，進入夢想大學顯得至關重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨特，要想準確掌握好這種思想，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學生們學習時往往會鉆入死胡同，這個時候，老師的指點和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學習中的基礎知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，當m=n時，叫做n個不同元素的一個全排列。

（2）組合的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

（3）排列與組合的區別：排列問題與元素之間的順序有緊密關系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關系。

2.排列組合中的兩個重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計數法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯系實際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運用在排列組合求解時的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進行求解。運用分部處理法就是將復雜問題進行簡化，劃分為簡單的小問題分部進行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個問題必須相鄰，處理這種問題時，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個大元素，然后再進行排列組合，此時需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價轉化法

在排列組合問題的解決過程中，有時候會遇到一些非常規的問題，這個時候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價轉化為常見排列組合問題時，解決會變得很容易。因此，等價轉化法常常作為解決非常規問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時雖然是分開介紹，但是遇到實際問題時，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個方法不是相互獨立的，是相輔相成的。遇到問題時要綜合各種方法，靈活運用。

三、典型例題分析

排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。

（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節目有5×4×3×2×1種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數較多的元素有相鄰情況。

四、結論

排列組合作為高中數學的一部分，頻繁出現在高考題目中，并且還作為高等數學有關分支的準備知識，因此學習好這部分內容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨特，常用方法有轉化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準確掌握排列組合解決方法，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時也需要老師們的熱心指導和無私幫助。

【參考文獻】

[1] 北京師范學院數學系編寫組. 中學數學辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數學教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數學課程標準研制組. 普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱?？h八灘中學）

【內容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進行排列，組合是指將取出的部分元素進行組合。排列組合與概率論關系密切，進行排列組合問題分析時，往往運用概率論的知識。排列組合是高中數學的一部分，對于學生們來說，也是學習比較難的一部分。為了幫助學生掌握好排列組合的學習，老師們要研究出適合學生學習的教學方案，讓學生們少走彎路。

【關鍵詞】高中數學 排列組合 教學思考

排列組合在高中數學中占有重要位置，也是高考的考點之一，用以了解學生的分析能力，閱讀能力以及數學建模能力。因此，學好排列組合對于學生們掌握好高中知識，順利通過高考，進入夢想大學顯得至關重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨特，要想準確掌握好這種思想，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學生們學習時往往會鉆入死胡同，這個時候，老師的指點和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學習中的基礎知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，當m=n時，叫做n個不同元素的一個全排列。

（2）組合的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

（3）排列與組合的區別：排列問題與元素之間的順序有緊密關系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關系。

2.排列組合中的兩個重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計數法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯系實際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運用在排列組合求解時的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進行求解。運用分部處理法就是將復雜問題進行簡化，劃分為簡單的小問題分部進行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個問題必須相鄰，處理這種問題時，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個大元素，然后再進行排列組合，此時需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價轉化法

在排列組合問題的解決過程中，有時候會遇到一些非常規的問題，這個時候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價轉化為常見排列組合問題時，解決會變得很容易。因此，等價轉化法常常作為解決非常規問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時雖然是分開介紹，但是遇到實際問題時，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個方法不是相互獨立的，是相輔相成的。遇到問題時要綜合各種方法，靈活運用。

三、典型例題分析

排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。

（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節目有5×4×3×2×1種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數較多的元素有相鄰情況。

四、結論

排列組合作為高中數學的一部分，頻繁出現在高考題目中，并且還作為高等數學有關分支的準備知識，因此學習好這部分內容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨特，常用方法有轉化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準確掌握排列組合解決方法，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時也需要老師們的熱心指導和無私幫助。

【參考文獻】

[1] 北京師范學院數學系編寫組. 中學數學辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數學教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數學課程標準研制組. 普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘中學）

【內容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進行排列，組合是指將取出的部分元素進行組合。排列組合與概率論關系密切，進行排列組合問題分析時，往往運用概率論的知識。排列組合是高中數學的一部分，對于學生們來說，也是學習比較難的一部分。為了幫助學生掌握好排列組合的學習，老師們要研究出適合學生學習的教學方案，讓學生們少走彎路。

【關鍵詞】高中數學 排列組合 教學思考

排列組合在高中數學中占有重要位置，也是高考的考點之一，用以了解學生的分析能力，閱讀能力以及數學建模能力。因此，學好排列組合對于學生們掌握好高中知識，順利通過高考，進入夢想大學顯得至關重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨特，要想準確掌握好這種思想，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學生們學習時往往會鉆入死胡同，這個時候，老師的指點和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學習中的基礎知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，當m=n時，叫做n個不同元素的一個全排列。

（2）組合的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

（3）排列與組合的區別：排列問題與元素之間的順序有緊密關系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關系。

2.排列組合中的兩個重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計數法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯系實際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運用在排列組合求解時的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進行求解。運用分部處理法就是將復雜問題進行簡化，劃分為簡單的小問題分部進行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個問題必須相鄰，處理這種問題時，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個大元素，然后再進行排列組合，此時需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價轉化法

在排列組合問題的解決過程中，有時候會遇到一些非常規的問題，這個時候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價轉化為常見排列組合問題時，解決會變得很容易。因此，等價轉化法常常作為解決非常規問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時雖然是分開介紹，但是遇到實際問題時，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個方法不是相互獨立的，是相輔相成的。遇到問題時要綜合各種方法，靈活運用。

三、典型例題分析

排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。

（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節目有5×4×3×2×1種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數較多的元素有相鄰情況。

四、結論

排列組合作為高中數學的一部分，頻繁出現在高考題目中，并且還作為高等數學有關分支的準備知識，因此學習好這部分內容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨特，常用方法有轉化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準確掌握排列組合解決方法，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時也需要老師們的熱心指導和無私幫助。

【參考文獻】

[1] 北京師范學院數學系編寫組. 中學數學辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數學教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數學課程標準研制組. 普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱?？h八灘中學）