分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用探究

袁紹建

【摘要】 數(shù)學學科非常重視對不同解題思想的運用，根據(jù)不同題目的類型與特點，采用最佳且最適合的解題方法，是數(shù)學思想運用在解題技巧中的最佳方式. 分類討論是初中數(shù)學中應用非常廣泛的數(shù)學解題策略，在實際教學過程中分類討論思想的應用對于幫助學生掌握數(shù)學知識的規(guī)律，對于提升學生的概括能力和條理性具有重要意義. 本文結合實際案例來具體探討分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用.

【關鍵詞】 分類討論思想；初中數(shù)學；解題；運用

數(shù)學思想是人們對現(xiàn)實世界的數(shù)量關系、空間形式、模式結構的意識反映，是思維活動的結果. 它能幫助人們系統(tǒng)化地學習知識、掌握結構，提供最佳解決問題的策略，諸如數(shù)形結合思想、化歸思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想，等等. 分類討論思想，指的就是在解決一個問題的過程中，采取單一的某種方法是無法解決的，而是需要把問題加以劃分，形成若干個可以用不同方式去處理的小問題，再逐個將小問題解決之后，最終實現(xiàn)解決問題的目的.

一、分類討論思想在初中數(shù)學解題中的重要作用

分類討論思想從本質上講其實是一種邏輯劃分的思維方式，體現(xiàn)在教學中則表現(xiàn)為“化整為零”逐一對問題進行擊破，然后再實現(xiàn)積零為整的教學方式. 分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想，更是一種重要的解題策略，它不僅體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也揭示著數(shù)學對象之間的內在規(guī)律，有助于學生總結和歸納數(shù)學知識. 更重要的是，在面對諸多數(shù)學問題時，科學有效、合理有序的分類討論，不僅有利于提高學生數(shù)學解題的能力，增加學生解題成功的概率，從而達到調動學生學習數(shù)學知識的熱情與積極性的目的；也有利于提高學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，使學生真正認識到數(shù)學學科的無限魅力，從而在促進初中數(shù)學教學優(yōu)化與升級的同時，高效推進教育改革的完美轉型.

二、分類討論思想需要堅持的原則

在應用分類討論思想進行解題的過程中學生和教師必須要堅持以下兩個原則：一是同一性與相稱性原則. 針對分類討論思想的應用首先是要明確對象，只有在明確對象的前提下才能進行科學討論. 在實際解題過程中不需要對全部對象進行分類，分類過程中標準也應該保持一致. 分類標準一致，才能保證對象分類的科學性. 例如在對三角形進行分類的過程中如果同時應用角和邊這兩個分類標準就會導致三角形分類的不科學. 應用兩種標準分出的類別將會存在交集. 二是在實際教學過程中還應該堅持互斥性與多層次性原則. 互斥性原則主要指的是分出來的各個子項應該是相互排斥的，兩個子項之間應該是沒有交集的. 層次性原則主要指的是在實際解題過程中有可能會出現(xiàn)多次分類的現(xiàn)象，出現(xiàn)這種現(xiàn)象之后就需要堅持層次性原則. 所謂層次性原則主要指的是應用二分法把具有層次性的互相矛盾的概念進行逐層分類，通過這樣的方式可以有效提升分類的科學性.

三、分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用

明確分類討論思想的具體應用，培養(yǎng)學生的分類討論意識，需要做好以下幾點：第一，認真閱讀題目，了解題目考查的范圍，這是正確解答數(shù)學題目的關鍵. 初中生在解答數(shù)學題的過程中普遍存在學習態(tài)度較為馬虎或對自身較為有把握的題目考慮不周的情況，這是造成數(shù)學解試題失分的主要原因. 初中生只有認真閱讀數(shù)學題目，才能在明確題目考查的范圍的基礎上作出正確的解答. 第二，規(guī)范解題的格式. 雖然數(shù)學題目較為注重解題的結果，將解題的格式放在次要位置，但是數(shù)學解題也有其既定的格式，若格式不正確，不僅會造成數(shù)學試卷小幅度的失分，長此以往也會影響學生學習態(tài)度的端正. 因此，學生在解答數(shù)學題的過程中應規(guī)范解題的格式，將分類討論的格式貫穿于數(shù)學解題的始終. 本文將結合實際案例來具體探討分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用.

1. 分類討論思想在函數(shù)中的應用

函數(shù)教學中出現(xiàn)分類討論的題型較多，有關于一次函數(shù)，有關于反比例函數(shù)的，還有綜合性較強的二次函數(shù)，它們大多是由一元二次方程的性質演變而來，教者要引導學生分清情況進行說明.

例1 求函數(shù)y=（k - 1）x2 - kx + 1與x軸的交點坐標.

分析 本題條件是不唯一的，問題中沒有說明是什么函數(shù)，要分兩種情況：一次函數(shù)或二次函數(shù)進行討論.

解 ① 當k = 1時，此函數(shù)是一次函數(shù)y = -x + 1，與x軸的交點坐標為（1，0）；② 當此函數(shù)為二次函數(shù)時，k ≠ 1，△=（-k）2 - 4（k - 1） = （k - 2）2. 而二次函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)與△的符號有關，因此要分△ > 0、△ = 0兩種情況分析：若△ > 0，即k ≠ 2時，有兩個交點（1，0）、■，0；若△ = 0，即k = 2時，有一個交點（1，0）.

例2 已知函數(shù)y = （m - 1）x2 + （m - 2）x - 1，其中m為實數(shù). 若函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，求m的值.

分析 本題應從函數(shù)的分類角度來探討，分成兩種情況，即m - 1 = 0與m - 1 ≠ 0，進而來求出m的值.

解 當m - 1 = 0即m = 1時，該函數(shù)為y = -x - 1，所以與x軸僅有一個交點（-1，0）；當m - 1 ≠ 0時，該函數(shù)則是一個二次函數(shù)，由△ = （m - 2）2 - 4（m - 1）（-1） = 0得m = 0. 因此，拋物線y = -x2 - 2x - 1的頂點為（-1，0），位于x軸上.綜上所得，當m = 0或m = 1時，函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點.

2. 分類討論思想在幾何中的應用

眾所周知，在判定直線與圓的位置關系時，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關系將其劃分為：直線與圓相離、相切、相交這三種位置關系. 這就是使用分類討論思想進行幾何知識教學最常見的例子. 再比如在求直角三角形邊長的時候，同樣可以利用到分類討論的思想. 舉例說明，在開展學 習的過程中，我們能夠看到這樣的一個例題：已知一個直角三角形的兩邊長為6和8，求第三邊的長. 筆者在授課過程中便會有意識地詢問學生：“已知直角三角形的兩條邊規(guī)定其是什么邊了么？是斜邊還是直角邊？”學生依照這一思路，就能夠有意識地進行分類解答問題. 若兩條邊都是直角邊，毫無疑問第三邊的長就是10；若8是斜邊，則6是一直角邊，那么第三邊的長是2■.

例3 如果半徑分別為6與4的兩圓相切，那么兩圓之間的圓心距為（ ）.

A. 10 B. 2 C. 5或1 D. 10或2

分析 兩圓相切一般分為兩種情況，即外切、內切. 如果兩圓為外切，那么兩圓之間的圓心距是10；如果兩圓為內切，那么兩圓之間的圓心距是2. 因此，本題的答案為（D）.

3. 分類討論思想在解方程中的應用

初中數(shù)學對學生而言，解方程普遍存在難度，因此對方程有關知識的學習是初中數(shù)學教學過程中的難點和重點，解方程的方法有很多，如消元法、替換法、降次法以及去分母法等. 由于方法比較多，學生在實際解題過程中容易經(jīng)常出現(xiàn)混淆的情況，而分類討論思想在解方程過程中尤為重要.

例4 解關于x，y的方程組mx - ny = mnx - my = n，其中m2 ≠ n2.

分析 可將兩個方程兩邊同乘以m和n，然后將兩式相減消去y. 因m和n是字母而不是數(shù)字，只有當m和n不等于零時，才可以消去y. 因為m、n是字母，所以需要對m、n的取值進行分類討論.

解 （1）當m ≠ 0，且n ≠ 0時，將原方程組化為m2x - mny = m2①，n2x - mny = n2②，由① - ②得（m2 - n2）x = m2 - n2. 又知m2 ≠ n2，所以可得x = 1. 將x = 1代入mx - ny = m求得y = 0，所以原方程的解為x = 1y = 0；（2）當m = 0，且n ≠ 0時，原方程組化為-ny = 0nx = n，解得x = 1y = 0；（3）當n = 0，且m ≠ 0時，原方程組化為mx = m-my = 0，解得x = 1y = 0.

所以原方程的解為x = 1y = 0.

數(shù)學分類討論思想是配合初中數(shù)學知識點教學的思維方式之一，既是對學生有針對性地理解數(shù)學題目中的實際考核要點與難點的鍛煉，也是促進學生成功解決數(shù)學難題較為有效而方便的思考線路. 數(shù)學思想是具有很強的靈活性與連接性的，運用分類討論思想解決了一種類型的數(shù)學難題，若遇到類似的問題時，學生可以進行靈活的思想轉換；若遇到新的問題時，學生則可以鏈接相同的數(shù)學思想對問題進行驗證. 總的來說，分類討論思想不僅僅是一種數(shù)學思維方式，更是一種對數(shù)學的認知能力，有效地掌握這種思想的特點與應用方法，對學生綜合能力的提升與數(shù)學教學的優(yōu)化都是具有十分重要的意義.

【參考文獻】

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