基于現代教學理念下課堂教學“留白”藝術的觀察研究
——以高中數學《隨機事件的概率》和《割圓術》兩堂課為例

馬茂年，李 芳

（1．浙江省杭州第十四中學，浙江 杭州 310006；2．浙江省溫州中學，浙江 溫州 325014）

基于現代教學理念下課堂教學“留白”藝術的觀察研究
——以高中數學《隨機事件的概率》和《割圓術》兩堂課為例

馬茂年1，李 芳2

（1．浙江省杭州第十四中學，浙江 杭州 310006；2．浙江省溫州中學，浙江 溫州 325014）

教學中的“留白”，是教師用心靈在施教．著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“有經驗的教師往往只是微微打開一扇通向一望無際的知識原野的窗子．”教學“留白”設計并不是對于部分知識的舍棄，而是通過空白的設計去調動學生思維的主動性與積極性，通過自己的探索研究去獲得空白處的內容，從而達到對知識的掌握．以《隨機事件的概率》和《割圓術》兩堂課中不同教師課堂留白情況，通過對比分析運用課堂留白的誤區和合理運用留白的策略，為評價教師的課堂留白行為和合理處理課堂留白提供一些借鑒．調查中發現高中數學課堂教學中留白主要存在以下幾個問題：（1）課堂留白很少；（2）教師不知道如何合理運用課堂留白．結合分析的結果得到高中數學課堂中運用留白的策略：（1）要預設好留白時間；（2）在“主問題”上多花時間；（3）“主問題”留白要先作鋪墊；（4）好的問題是留白的前提；（5）注重在時間和內容上留白；（6）注重在評價和情感上留白．

課堂教學；觀察研究；課堂留白；藝術策略

1 問題提出

浙江省從2006年9月份開始進入教育課程改革，《全日制高中數學課程標準（實驗稿）》中明確提出“教學要以學生為主體”，要求在數學教學活動中學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上，教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會．這就要求教師在課堂中要充分發揮教師的引導作用，有意識地培養學生的思維能力，促進學生自主參與數學學習．

但是，在現有的高中數學課堂中，還是普遍存在教師講得很多、很透、很實，甚至滿堂灌的情況．這樣導致了留給學生想象的余地很少，激不起學生對已有知識的思考和對更新知識的渴求，從而扼殺了學生的想象力和創造力．目前，對于教師課堂提問的研究很多，但多是針對教師提問的有效性進行的．對于教師提問后的課堂留白時間的系統的研究很少．然而，課堂留白是教學中培養學生獨立思考的重要機會，是改變教師滿堂灌現象的一個很好的手段．因此，數學教學要從傳統的教法中走出來，改變數學等于枯燥的講授、乏味的練習、生硬的教科書等的冰冷印象，必須注重課堂中教師留給學生自主思考的時間，即課堂留白的處理．

目前，高中數學課堂中的留白主要存在以下幾個問題：

（1）課堂留白很少．

表現在教師還沒等學生回答，就搶著告之正確答案；還有的老師甚至根本沒有意識到要給學生思考的機會．教師的這些表現的原因主要有：① “趕進度”，怕教學內容無法按時完成，但教師“趕完進度”不代表學生跟上了進度；② 怕學生的錯誤解答或新奇的想法導致問題無法解決，主要的原因在于教師自身的數學素養不夠，對課堂中設置的問題沒有深入研究，只能應付課堂中的“預設”，無法有信心面對課堂中的“生成”．③ 急于展現自我的心理因素，經常在一堂精心準備的課里蘊藏著教師很多不錯的想法，但基于自我展現的心理而搶奪學生的話語和思維權[1]．

（2）不知道如何合理運用課堂留白．

有些老師已經意識到課堂上要留一些時間給學生思考，在提問以后要有一定的候答時間，但是由于經驗不足，往往達不到很好的效果．有些課堂雖然在表面上看留給了學生很大的思考空間，但對于簡單的問題，學生可能一下子就可以得到正確答案，留白時間過長不僅影響了課堂進度還會會讓學生失去興趣；另一方面，對于難度過大的問題，教師不加點撥，便留了大量時間讓學生獨立作答，這對學生思維發展也是沒有益處的，甚至會打擊學生學習數學的信心[2]．

因此，對于數學課堂留白的研究不僅在理論上而且在實踐上都是十分迫切的．

2 研究意義

新課改提出數學教育不能過分強調“三大能力”，應關注學生的一般能力，培養學生提出并解決實際問題的能力、數學思維的能力、創新能力和實踐能力．隨著改革的進一步推進，人們越來越意識到教學如何能做到“減負提效、培養能力”是這次改革成敗的關鍵[3]．要解決好“減負提效”這個問題，首要一點就是要解決課堂提問的有效性，這也是“課堂留白”的研究所要分析的問題．

研究者認為：

其一，課堂留白有助于激發學生的主體意識．教師為學生留下自由馳騁的“空白”，學生可以在教師精心留取的“空白”中充分認識到“自我”的價值，將自己投入到課堂學習中，極大地激發和提升學生的主體意識．

其二，課堂留白有助于觸發學生的學習內動力．人們新穎獨特的見解常出現在思維過程的后半段．教學留白的過程是學生積極思維的過程，容易激發學生思維的火花，容易激發學生自主探究學習的興趣，提高其發現問題、分析問題和解決問題的能力，有利于培養學生的創新意識、創新能力．

其三，課堂留白有助于學生形成各自的認知策略．同一問題，有的學生一看就知道正確的答案；有的學生要思考一段時間后找到正確的答案；還有一些學生百思不得其解．這就是認知策略的差異．在以傳統的教師講授為主的課堂教學模式中，學生只需被動地聽從教師的講解，很少主動地進行緊張的思考活動，有效的認知策略由于缺乏一定的訓練難以形成．而留白，它為幫助學生遵循聯想、組合、嘗試、調整這樣的思考過程，提供了時間的保證和實踐的可能．長此以往，便會使他們逐步形成各自的認知策略．

同時，課堂是學生學習的主陣地，學生的成長依賴的是每一堂課的積累，提高課堂教學效率是課程改革的重中之重．課堂留白則是提高課堂效率的一個重要策略．即便是用相同的教材、相同的教案，不同的課堂留白時間、留白時機等則會帶來迥異的課堂效果．對課堂留白策略的研究將對促進有效課堂教學有著十分積極的影響[4]．

課題主要研究的問題是：① 通過對大量的數學課的觀察，分析目前高中數學課堂教學中，課堂留白的現狀和所存在的問題．② 針對研究中發現的問題，提出課堂留白的對策，為改進教師的課堂留白行為，使課堂真正成為師生對話、交流與互動的平臺提供參考．

3 概念界定

3.1 留 白

留白，作為中國畫的一種表現手法．從繪畫的角度講，它是指在一般除主題、情節有關的必要點綴物或陪襯外，大多不畫背景，不要任何多余的東西，在畫面上留有較大的空白，是畫家在創作過程中為了更充分地表現主旨而精心留出的“空白”．這種空白，并非空而無物，而是相對于物象的實所呈現出的藝術的虛，它是一種空靈，一種虛中求實，一種虛與實的和諧統一．它形成了一種節奏的變化，以給讀者留有自由馳騁的余地，顯示出美的意境[5]．

3.2 課堂留白

課堂留白，是指教師于一定的時空中，針對某一目標，有意留出相當的時間和空間讓學生思考，向學生提供充分的從事數學活動的機會，讓學生自己去構建對數學的理解．

留白的課堂教學，為學生提供充分的自主活動、自我表現和自我發展的機會．教師主要是引導學生根據現有知識去探根溯源，讓學生在自主探究的過程中獲得知識、鞏固知識，更重要的是使學生學會如何獲得這些新知識[6]．

4 課堂留白實例分析

4.1 研究方法設計

4.1.1 研究個案的選擇

在選取個案時，考慮到可比性和典型性的問題，案例一被用來比較的兩節課是2012年溫州市優質課獲得第一名的教師（下面用A表示）和另一位參賽教師（下面用B表示）的課．課題都是“割圓術——圓周率π的近似求法”，這是人教版必修三的課后閱讀與思考內容．案例二被用來比較的兩節課是2011年浙江省優質課的第一名（下面用C表示）和另一名參賽教師（下面用D表示）的課．課題都是“隨機事件的概率”，這是人教版必修三的教學內容．選擇的4位教師都是參加浙江省優質課的地區級代表選手，也可以在一定程度上代表一個地區或者一個學校的教學水平．從而增加案例的典型性和可比性．

4.1.2 研究數據的搜集

反復觀看視頻，將視頻進行了多次整理．第一次整理：將整個教學過程用文本的形式記錄下來，著重記錄教學過程中學生和教師的對話、教學環節和師生活動；第二次整理：以表格的形式記錄教師提問時間、學生反饋的起止時間以及教師留白時間；第三次整理：在前兩次整理的基礎上，添加教學環節中的細節，包括教師的行為、學生的反應等．

4.1.3 數據的編碼

● 教師提問類型編碼

根據教師提問的指向性明確與否，將教師的提問分為A和B兩種類型，其中A代表有指向性，即學生能理解問題；B代表沒有指向性，即學生不能理解問題．

根據提問的作用和目的，根據崔允漷主編的《課堂觀察LICC模式》中的分類將教師的提問歸為A、B、C、D四種類型，其中A表示復習性提問，即復習鞏固提問；B表示啟發性提問，即教師預設的啟發性提問；C表示生成性提問，即由學生回答或反應引起的生成性提問；D表示評價性提問，即評價判斷性提問．

● 教師留白時間編碼

根據教師候答時間的長短，將留白時間分為A、B、C、D、E五種類型，其中A表示留白時間在3秒內，B表示4～10秒，C表示11～30秒，D表示31～60秒，E表示60秒以上．

● 學生回答類型編碼

研究中將學生的回答情況歸為A、B、C、D、E五種類型，A表示附和；B表示齊答都正確；C表示齊答不統一；D表示獨答；E表示無人回答．

4.2 實例分析

4.2.1 案例一：割圓術

（1）觀測點選擇說明．

① 課堂的引入：課堂的引入部分引導學生建立通過估算單位圓的面積來估計圓周率的近似值，建立整堂課的初步的思路框架．

② 為何在求解正六邊形面積后轉而求解正十二邊形面積：讓學生體會正十二邊形與正六邊形面積之間的遞推關系，由此得到計算正十二邊形比其他正多邊形更加有利．

③ 正2n邊形與正n邊形的邊長之間的遞推關系：正2n邊形與正n邊形的面積之間的遞推關系的本質是邊長之間的遞推關系．

④ 圓周率近似值上限的估計：如何利用類似上面的方法得到圓周率上限的估計．

類比容易想到的方法與劉徽的割圓術：讓學生體會劉徽的割圓術在減少計算量方面十分有效．

⑤ 初始值是否一定是正六邊形：既是課堂總結，又是課堂教學效果的檢驗，讓學生體會到割圓術的本質是利用了其中的遞推關系，而非正六邊形這個初始值．

（2）數據分析和結果．

① 從教師提問類型上看．

教師提問是數學課堂教學的有效方法，兩堂課教師均采用提問的方式展開教學．區別在于課堂提問的數量和提問類型．從兩堂課的統計結果來看，兩位教師的提問指向性都比較明確．教師的提問次數有較大差異，教師A在課堂中提問22次，而教師B提問40次．教師的提問類型也有一些差異（如圖1）．但從各種提問所占的比例上來看，“啟發性提問”都占了很大比例，分別為63.6%和75%；“復習性提問”所占比重相當；“生成性提問”在教師B的提問中所占比例為20%大致為教師A（13.6%）的1.5倍；“評價性提問”在兩位教師的提問中所占比例最少且B教師沒有“評價性提問”．

圖1 兩位教師提問類型分布圖

這兩堂課很大的不同在于重難點的突破方式：A教師采取問題串的形式，逐步遞進，引導學生探求加倍邊數的方法與遞推關系的發現；B教師采取完全讓學生閱讀課本自學．

這里著重以如何得到加倍正多邊形的方法與如何發現正2n邊形面積與正n邊形面積的遞推關系來收集留白數據．

首先通過對錄像時間點分析，獲得兩節課的兩個關鍵環節的時間分布（見表1）．

② 從關鍵性問題所占時間上來看．

然后綜合學生的理解來達到同樣的教學目的．

表1 關鍵性問題留白時間統計表（時間單位：秒）

通過表格發現兩節課對于本節課的重難點的突破所運用的時間分別為2 082秒和1 682秒，相差并非很大．

其次對關鍵兩個環節中兩節課的留白時間予以統計，分別為447秒和667秒，可見教師B在該環節上明顯比教師A留給了學生更多的思考時間．從留白時間所占比例來看（如圖2），教師B的留白時間占總時間的比例（21.5%）幾乎是教師A（39.7%）的兩倍．

圖2 留白時間占環節總時間分布圖

最后統計了兩節課課堂留白的總時間以及占整節課的比例，兩位教師的課堂留白時間分別為540秒和984秒，所占比例分別為20.8%和39.1%，可見教師B的留白比教師A明顯要多．但是從關鍵性問題留白時間所占總留白時間的比例（如圖3）來看，教師A所占比例（82.8%）明顯比教師B（67.8%）大．

③ 從學生回答類型看．

從統計結果（如圖4）上看，兩堂課中學生“獨答”的形式占了較大比重，說明教師在處理學生回答方式上差異不大，多采用個別回答的形式．而教師A的課堂中“齊答”（包括“齊答都統一”和“齊答不統一”）所占比例（31.8%）比教師B（20.0%)要大得多，說明教師A的課堂氣氛相對教師B的課堂氣氛活躍．另外，教師B的課堂中出現無人回答的比例達到了22.5%是教師A（9.1%）的兩倍多，這說明教師B的課堂中學生的思維并不活躍，甚至一度處于停滯狀態．

圖3 關鍵性問題占留白總時間分布圖

圖4 學生回答類型分布圖

④ 結論與啟示．

從課程錄像中可以發現，兩位教師在教學基本功上都十分扎實：教態自然得體，板書規范，表達清晰，語言簡練流暢、輕松幽默，親和力強，并會合理地運用肢體語言．提問的類型上差異不大，主要的教學差異就在于如何處理課堂留白與教師引導之間的矛盾．

統計結果顯示，教師A和教師B留給學生思考的比率分別為21%和40%，可見，教師B給予了大量的課堂留白時間，旨在培養學生自主思考發現問題的能力；而教師A的留白時間相對較少．從學生回答情況可以看出，一味多的留白，并不能真正達到培養學生思維能力的效果．雖然教師B給予學生較多的思考時間（即使在學生回答情況不佳時），但是由于學生的知識儲備與思維能力有限，在缺乏一定的引導下，學生很難做到自行發現問題，這導致課堂氣氛不活躍，學生思維停滯，被老師牽著鼻子走；而教師A雖然總體課堂留白時間相對較少，但是對于需要突破的教學重難點，都做好了一定的引導，設置了一系列的問題串，在關鍵性問題上給予了較多留白時間．教師A對于課堂留白的正確處理，才真正起到了活躍課堂氣氛，發展學生思維能力的作用．雖然也出現了極少的無人回答的情況，但教師都及時加以引導，使學生通過思考能夠自己獲得問題的解答．

所謂教師的引導，通常總是以問題的形式出現，好的問題指向性明確，難度適中，并帶有一定的啟發性，能夠使得學生更加容易找到正確的思路；質量不佳的問題指向性不明確，要么難度太低，沒有啟發性；要么難度太高，學生不知所措．課堂留白的目的是給予學生思考的時間，特別是有意義的思考時間——即學生遵循正確的思路，通過思考獲得某一階段的成果，然后再經過進一步的引導與思考獲得最終答案[7]．因此好的問題，是留白的前提，只有提出了高質量的具有引導性作用的問題，才能將學生引入正確的思路，從而才能讓學生在留白的時間中獲得成果；否則，在缺乏必要的引導時，許多學生一頭霧水，不知所措，那么即使教師留給再多的思考時間，對于學生也只是望洋興嘆罷了[8]．

4.2.2 案例二：隨機事件的概率

（1）觀測點選點說明．

① 隨機事件的概念的形成是本節第一個重點，如何讓學生形成概念中“在條件S下”這一前提是這個問題的難點；

② 為什么選正面和反面的可能性大小一樣？

③ 大家所得的試驗結果并不一致，這是為什么？

④ 為什么要把小組還有全部的數據加起來，這樣做的目的是什么？

⑤ 通過試驗發現什么現象？

⑥ 如何定義隨機事件的概率？

⑦ 頻率和概率的區別和聯系在哪里？

（2）數據分析與結論．

① 從教師提問類型上看．

從兩堂課的統計結果來看，兩位教師的提問指向性都比較明確．教師的提問次數差異不大，分別為54次和48次．教師的提問類型存在一些差異（如圖5）．但從各種提問所占的比例上來看，“復習性提問”在教師C的提問中所占比例為35.2%，占了較大比重，大致為教師D（22.9%）的1.5倍；“啟發性提問”在教師D的提問中所占比例為60.4%大致為教師C（38.8%）的1.5倍；“生成性提問”在教師C的提問中所占比例為25.9%大致為教師D（12.5%）的2倍；“評價性提問”在兩位教師的提問中所占比例最少且C教師沒有“評價性提問”．可見兩位教師都比較注重啟發性提問和復習性提問的運用，但教師D主要以啟發性提問為主，而少有生成性提問．

圖5 兩位教師提問類型分布圖

② 從關鍵性問題所占時間上來看．

兩節課的整體設計類似，主體環節都是從生活中的隨機事件引入→通過問題辨析完善概念→進而過渡到如何研究隨機事件的概率→接著通過硬幣試驗發現規律“隨著試驗次數的增加頻率穩定于概率”→最終得到隨機事件概率的定義，進而辨明概率與頻率的區別與聯系→提出小概率事件等概念→應用→總結．其中關鍵的問題有隨機事件的概念，隨機事件的概率的概念，概率和頻率的區別和聯系等．

首先通過對錄像時間點分析，獲得兩節課的幾個環節的時間分布（見表2）．

表2 隨機事件的概率課堂留白時間統計表（時間單位：秒）

通過表格發現兩節課整體的時間分布接近，隨機事件概念的講解課C用了227秒，課D用了218秒，在核心的研究隨機事件的概率的環節課C用了1 361秒，課D用了1 440秒．課C比課D多了一個應用環節227秒，課D比課C多了一個總結的環節67秒，在時間的銜接上課C顯得更為緊湊，師生交流時間相對多一點．

其次，對兩節課的留白時間予以統計，課C與課D分別為563秒和183秒，整整多出了380秒，在關鍵的研究隨機事件概率的環節中分別為362秒和121秒，可見教師C在該環節上明顯比教師D留給了學生更多的思考時間．從關鍵問題留白時間所占整體留白時間的比例來看（如圖6），教師C的關鍵性問題留白時間占總留白時間的比例（25.8%）幾乎是教師D（8.4%）的3倍．

圖6 關鍵性問題留白時間占留白總時間分布圖

通過分析，發現課C幾乎在每個環節課堂留白時間都要比課D要多，課C沒有進行常規的總結，而是用張景中院士的話收尾，課D則是讓學生總結．在整個師生交流的環節，課C的教師問題顯得更簡潔緊湊，給了學生更多的思考時間，課D的教師問題相對的顯得啰嗦，對于同一個知識點用幾個例子來提問，并且有些關鍵性的點都采用了自問自答的形式，課堂雖然聲音不斷，但是教師的聲音為主．

③ 從學生回答類型看．

從統計結果（圖7）上看，教師C的課堂中“獨答”所占比例（37.0%）比教師D（20.8%）要大得多，說明教師C相對教師D的對于學生的主體地位更加關注，學生的思維層次要求更高．另外，課D課堂中“齊答”（包括“齊答都統一”和“齊答不統一”）所占比例（68.9%）比教師C（44.0%)要大得多，從學生的表現感覺更多的是一種附和，并沒有真正做到以學生為本，而只是牽著學生走．

圖7 學生回答類型分布圖

④ 結論與啟示．

分析發現，課C教師和課D教師留給學生思考的比率分別為21%和5%，這反映出C教師對遷移性、復雜性和創造性問題等待的時間明顯較長，體現出具有高效地激活學生主體性和適度控制教學情境的能力．從課堂觀察中明顯發現課C教師在數學課堂上提問后，會做必要的時間等待，然后指定學生回答，有時學生還會主動舉手發言或提出更好的想法，課堂氣氛較活躍．相比之下，課D教師在課堂的控制上顯得耐心不足，等待時間稍微長一些，就急于提示，甚至替代學生回答，而且對學生回答缺乏必要的引導和反饋，有明顯的“強加”、“灌輸”的感覺，課堂氣氛較沉悶．

在所使用的教學任務上，兩位教師在課堂中采用的教學任務的類型上表現出不同的特點．經統計，課C教師約有563秒的時間用于學生的主體性活動，并且在每一個環節都有20%以上的占比時間，主要包括回答復雜性提問以及學生按教師要求動手操作、討論等有較長時間思考的自主活動；而課D教師僅有183秒，有些環節留白的時間5%不到（見表2）．這些數據較好地反映出兩位教師在教學任務的運用上存在明顯差異，課C教師與課D教師相比，傾向于使用探究型或解釋型的教學任務，教學中通過探究使學生參與到教學活動中，獲得數學活動的經驗，建構對知識的理解，其目的在于通過數學活動促進學生對知識的理解．而課D教師在記憶型和解釋型任務的設置方而明顯地高于課C教師，教學側重點在于對問題的剖析，教學目的主要是為了幫助學生加深對知識的記憶，或向學生提供知識的介理解釋，以期幫助學生在理解的基礎上對知識進行記憶．

對兩位教師數學課堂教學行為的比較分析表明：課C教師注重突出學生的主體活動，豐富學生的數學活動經驗；善于提出富有層次的、能激活學生思維深層參與的啟發性問題；靈活調控課堂教學，并做必要的時間等待是課C教師教學機智和教學智慧的體現．

5 課堂留白策略

強調課堂留白并不是局限于對留白時間長度的追求，還有許多內在的訴求．根據上述對課例的研究和分析，這一部分將針對在實踐課堂留白時存在的問題，提出正確處理課堂留白的對策．以期給教師有意識地運用留白以參考，真正起到“于無聲處聽驚雷”的效果，以更好地平衡教學中學生主體和教師主導的關系．

運用課堂留白應注意以下幾個方面：

5.1 要預設好留白時間

美國有位教育專家也說過，對學生的提問，在每個問題提出之后，至少要等待3秒鐘，這樣做有很多好處．這句話強調了課堂留白的重要性，也給出了課堂留白時間的參考數值．但是由于課堂的復雜性，課型、知識的難易程度以及學生對知識掌握水平等的不同，很難給出一個處理留白時間的定量結果．正由于對留白時間的長度的把握并不是胡子眉毛一把抓的事情，教師在備課的過程中應當針對課型、重難點、學生預期的反映等等因素預設好課堂留白的時間[9]．

通過研究發現，在概念的教學中適當地留出10—15秒的時間讓學生充分理解概念對于學生對概念的掌握是十分有效的；另外，在練習時根據練習的難易程度，給足學生15—60秒的思考時間是必要的；探究所需的留白時間就更長了，研究發現針對探究的問題留白的時間達到180秒以上的課，探究效果更為顯著，學生積極性和求知欲也更高……當然，在具體實踐中，留白時間是可以而且應當是靈活變通的，這也給教師提出了更高的要求．

5.2 在“主問題”上多花時間

所謂“主問題”就是教學中教師為了突破教學的重難點，更好地達到教學目標所提出的問題．經常出現這樣的課堂，教師過分追求留白，在每個問題提出后都給了學生一些時間去思考，而一堂課的時間是有限的，而且并不是每個問題都需要過多的思考，這樣的課堂留白時間雖長但沒有針對性，以致使教學失去連貫性，影響了教學的進度[10]．因此，課堂留白應注意留白時機的把握，用有限的時間達到最好的留白效果，不妨在“主問題”上多花時間，而不過分追求留白的長度在一些本不需要過多思考的問題上浪費時間．

研究者在一次麗水地區的研討活動中，就同一個課題——《數列的遞推公式》上了兩堂研討課，但兩次課的教學效果迥異．差異就在于，第二次授課時吸取了第一次的經驗，針對那堂課的教學目標和要求，在保證課程進度的前提下對一些次要問題的留白時間進行壓縮，在“主問題”上適當延長了留白的時間．給“足”學生對于“主問題”的思考時間，學生探究的目標和方向更明確了，學習效果和知識的把握也更加到位和準確．

5.3 “主問題”留白需先作鋪墊

學生的最近發展區在哪里？教師要尊重學生的差異性，像中醫號脈一樣，不斷“摸索”．既然主問題是重難點所在，對于學生學習來說必定存在一定的困難，教師若在直接拋出問題后，便留出了大量的時間讓學生自主探索，那樣雖然表面上在“主問題”上花了大量的時間，但事實上只是一些不必要的浪費，使課堂陷入冷場的尷尬境地[11]．因此，教師要充分了解學生，在學生知識出現空白或者思維陷入困境的時候，給予適當指導．教師可以針對“主問題”設計階梯狀的“問題串”作為鋪墊，再留時間讓學生思考．

比如在《平面》一課中，針對“平面”概念的學習，一位老師直接提出問題“同學們，你們知道什么是平面嗎？”另一位老師則是設計了7個分解問題：① 一個點朝兩頭無限運動，形成什么圖形？② 一條直線朝一個方向運動，形成什么圖形？③ 將鋼絲（作為直線）在空中平動了一圈，這樣形成什么了呢？④ 試舉出身體具有“平面”形象的事物．⑤ 你對平面的感受是什么？⑥ 在自然界中存在真正的平面嗎？⑦ 無限延展的平面如何表示？這兩位老師表面上對于“主問題”——“什么是平面”的留白時間相差不大，但課堂實踐效果表明后者“先作鋪墊”的設計，切住了學生的最近發展區，讓“主問題”的討論步步逼近，理解層層加深，這樣的留白處理顯得更加合理．

5.4 好的問題是留白的前提

課堂留白是為了提供學生更多的思考空間，培養學生的思維能力，但如果所提問題本身沒有價值，一味的留白也是無所裨益的．有些教師對“課堂留白”的實質理解不夠，認為只要留給學生思考的空間就能發揮留白的積極作用．殊不知，在教學活動中所提的問題沒有價值，探討便流于形式，留白的運用也只是空談罷了．因此要真正發揮留白的作用，提“好”的問題是前提．

比如《等差數列的前n項和》一課中，多數學生對于高斯用“首尾相加法”計算1到100的和的故事都已耳熟能詳，若還糾結于對1到100的和的求法的探究，是不利于對本節課的教學目標——讓學生學會用“倒序相加法”來求等差數列的前n項和的把握的．既然首尾相加簡單易行，還有學習“倒序相加法”的必要嗎？仔細理解分析后，可以發現：“首尾相加法”在項數為偶數的等差數列求和中較為方便，而“倒序相加法”對于項數的奇偶沒有要求．于是便有了一個“好”問題——探究求1+2+3+…+99的方法．在簡單敘述完高斯的故事后，留時間讓學生探究求1+2+3+…+99的方法，才能更好地突破重難點，使學生體會并把握“倒序相加法”的思想，達到教學目的．

5.5 注重在時間和內容上留白

首先，教師在向學生提出問題后“留白”．科學家克萊因曾極力提倡：留給學生自由活動的時空，他獲得的就不僅僅是一個問題的解決、一種方法的掌握，而是一個人從整體意義上對科學活動的領悟．從本質上說，這種“領悟”離不開積極意義的探究空間和時間．而不少教師在教學中，提問后就急著讓學生舉手發言，結果很少有學生能回答到點子上，究其原因，是學生缺乏思考時間．另外，問題闡釋后還要給學生“留白”．教師在課堂上張弛有度，讓人感覺有節奏，在分析一道題或一個小結內容完成后，應留點時間讓學生靜靜地想一想，梳理一下思路，記錄下重要的知識，看看來時的路，望望前方．這也是對學生思考問題、處理問題能力和良好學習習慣的培養．只有當學生真正悟到些什么時，教師的教學才是有效的．再者，若在課堂結尾處“留白”，彈好“終曲”，則會激發學生進一步探究的興趣，并獲得“言猶盡而意無窮”的效果．教師要舍得花一些時間讓學生進行反思自問：今天主要講了什么內容？知道了多少（整理內化）？還有哪些不懂的地方（確定補缺方向）？對教材中哪些地方還存在疑問（提高質疑能力）？這樣以“不全”求“全”，在有限中求無限，就為一堂好課的結尾注入濃郁的色彩和藝術的含蓄，給學生以想象和回味的空間[12]．

教師在課堂上處理重難點內容時，自己不直接詳細講解，而是精心設計問題讓學生自己去探究，合作學習，直到解決問題，這也可認為是教學的“留白”．蘇霍姆林斯基曾說過：“有經驗的教師往往只是微微打開一扇通向一望無際的知識原野的窗子．”教師在設計問題，制造懸念后留白，可以激發學生的學習興趣和強烈的求知欲，它具有含而不露、開而不達的特點，給學生們留下足夠的空白去思考、去探索，從而加深對知識的理解和掌握，起到“欲擒故縱”的教學效果．另外，當面對容量大、課時緊張的新課程時，教師要在把握主干知識的前提下對教材內容進行梳理整合，提高教學效益，這也是教學“留白”．

5.5 注重在評價和情感上留白

實行延遲性、暫時性的不評價，即把學生的自評與互評權還給學生．教師在有思考價值、有爭議的問題上，不要直截了當地對學生的回答做出“對”與“錯”的評判，而將評價的時間推遲，給其他學生發表意見的機會，給學生一個自由思考的空間，讓學生在和諧的氣氛中馳騁想象，暢所欲言，相互啟發．從而使學生獲得更多、更美好的創新靈感，使個性思維得到充分的發展．如果教師對學生在教學過程中所提出的新穎但不成熟的認識立即給出評定，常常會對學生的思維能力，尤其是發散思維能力產生抑制作用．所以，一堂課中對學生的信息反饋，并非一律都得“及時”評價，有時候“及時”評價反而會扼殺學生創新意識和創新能力的發展．把學生的自評與互評權還給學生，有時還會收到意想不到的效果．實踐證明，學生們在評價同學的同時，自己也會加深認識，甚至是對問題的理解上升一個層次，從而提高學生的比較和分析能力．同時，學生的思維能力和語言表達能力也能得到相應提高．而且，學生在互相評價時往往是站在同一個高度來看問題，這樣更直接，也更容易被學生所接受，自信心也就有了．當然伙伴的肯定更是激發了他們探索的欲望，點燃了他們智慧的火花[13]．

教師應盡可能地為自己的情感體驗留白，營造良好的氛圍，激發學生的學習情感，促使學生自己去體驗情感、積極探究，并在學生研討時起到穿針引線的作用，使問題的研究不斷深入，層層推進，直至達到研究目標．現代認知心理學的研究表明，認知與情感是緊密聯系的，作為非認知因素的情感在學習活動中主要起動力作用，承擔著學習的定向、維持和調節等任務．因此，關注學生的學習情感是非常必要的．而課堂學習是一個情感體驗的過程，在這個過程中，教師應該以富有情感的方式教，學生才會以富有情感的方式學，但教師的情感體驗不能代替學生的情感體驗，教師應留出自己情感體驗的空白．如在課堂的合作學習活動中，教師不必去指定合作小組的組長、發言人名單，而由學生自己去把握、去產生．

6 思考與展望

6.1 思 考

課程改革對數學課堂以及教師都提出了新的要求，課堂留白是課程改革的一個不容忽視的重要方面，因此，選擇這個角度進行了研究．

研究通過文獻梳理，分析了當前數學課堂中留白的研究進展，發現這方面的理論和實踐研究都非常欠缺．通過對數學課堂現狀的調查發現，教師在處理課堂留白時存在很大的問題．主要表現在：首先，許多教師還沒有很好地理解課程改革的理念，沒有變更傳統的教學模式，課堂留白很少，學生缺乏獨立思考的空間；其次，有的教師已經意識到課堂留白的重要性，但是無法正確處理課堂留白與教師引導的關系．

針對這些問題，課題通過大量的課堂觀察和實踐，著重分析了《隨機事件的概率》以及《割圓術》這兩堂課的4位教師的教師活動，重點記錄了教師提問、學生反饋以及教師的留白時間，并對教師的提問以及學生的回答情況進行了合理的分類．通過教師行為的對比以及數據的分析，得出了教師運用課堂留白時所存在問題的原因和較為合理的運用課堂留白手段，為如何評價教師的課堂留白行為提供了一些借鑒．在此基礎上，提出了合理運用課堂留白的策略：（1）要預設好留白時間；（2）在“主問題”上多花時間；（3）“主問題”留白要先作鋪墊；（4）好的問題是留白的前提．

6.2 展 望

研究雖然進行了大量的課堂觀察和視頻分析，得出了一些結論．但是由于時間和研究水平的限制，還有許多問題沒有解決：（1）在課堂中如何區分課堂留白的合理性，怎樣的課堂留白對學生是有益的；（2）如何提高教師運用課堂留白的能力；（3）針對不同的課，課堂留白時間多少比較適宜，留白的長度與課堂的質量存在怎樣的聯系；（4）進一步的后續跟蹤，用學生的評價來說明教師正確的課堂留白行為與學生學習的關系．

在新課程理念下，要用一種發展的眼光看待教學，在進行教學設計時，要適當“留白”，隨時調整，隨時補充．不要把學生限制在教師的教學設計中，要關注學生的情感體驗和創新品質，呵護師生交往互動過程中產生的智慧火花．這樣，就能處理好課堂上生成的問題．

希望“留白”給學生自我發展開辟一條道路．教學中的“留白”，表面上看是教師的“啟而不發”，是教師的教學藝術，實質上，是教師為學生的自我發展預留了一條寬闊的道路．教學的根本目的是促進學生的發展，而給學生的學習留下來空白，促成其主動學習，其效果是不言而喻的．

希望“留白”為學生自主探究留一片藍天．探究學習是自主學習的最高層次，在探究學習中，學生主動性的發揮，學生已有經驗的喚醒，學生搜集利用信息能力的應用等都有較高水平的發揮．引領學生自主探究的根本策略就是“引而不發，躍如也”，目標、情境、工具都為你準備妥當，就需要你自己去實踐．這種策略如同教學中的“留白”，沒有一點空白的教學是不會培養學生的探究精神和創造能力的．

希望“留白”為教學資源的生成留一個空間．課堂上的生成是師生的“即席創造”，是“無法預約的美麗”，是最寶貴的．教學中的“留白”正是“預約”這種“美麗”的捷徑．教師依據學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、積極性、注意力、學習方法與思維方式、合作能力與質量、發表的意見建議、可能提出的問題與爭論乃至錯誤的回答，等等，這些都是教學過程中的生成性資源，教師就會有意識地在某些地方或某些環節形成“留白”的方案，并預設好當生長點出現時應對的措施，從而給學生留下自主體會和悟解的空間，為課堂動態生成創造了條件[14]．

[1] 喻平，張英伯，曹一鳴．數學教學心理學[M]．北京：北京師范大學出版社，2010．

[2] 涂榮豹，寧連華，徐伯華，等．中學數學教學案例研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[3] 蔡親鵬，陳建花．數學教育學[M]．杭州：浙江大學出版社，2008．

[4] 曹一鳴．數學教學論[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[5] 必凱，鄭庭曜，孫偉，等．美國現代數學教育改革[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[6] 黃榮金，李業平，顧泠沅．數學課堂教學研究[M]．上海：上海教育出版社，2010．

[7] 鮑建生，周超，顧泠沅．數學教育研究基礎叢書?數學學習的心理基礎與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[8] 張厚粲，徐建平．現代心理與教育統計學[M]．北京：北京師范大學出版，2009．

[9] 崔允漷，吳江林，林榮湊，等．課堂觀察LICC模式課例集[M]．上海：華東師范大學出版社，2013．

[10] 葉立軍，李燕．基于錄像分析背景下的初中統計課堂教學提問研究[J]．數學教育學報，2011，20（5）：52-54．

[11] 白改平，韓龍淑．專家型—熟手型數學教師課堂提問能力的個案比較研究[J]．數學教育學報，2011，20（4）：16-19．

[12] 馬茂年．快樂教學 改善心育 領悟本質——從“教書匠”走向“名教師”[J]．中學教研（數學），2013，（7）：4-7．

[13] 陳月蘭．中日三角比內容比較——以上海教育出版社和數研出版社出版的教科書為例[J]．數學教育學報，2013，22（6）：60-61．

[14] 馬茂年，俞昕．課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例[J]．數學教育學報，2013，22（6）：83-84．

Research on the Art of “Blank Keeping” in Classroom Teaching Based on the Modern Teaching Theory——Taking Two High School Mathematical Classes “The Probability of Random Events” and “The Strategy of Cutting Circle” for Example

MA Mao-nian1, LI Fang2
(1. Zhejiang Hangzhou No. 14 High School, Zhejiang Hangzhou 310006, China; 2. Zhejiang Wenzhou High School, Zhejiang Wenzhou 325014, China)

The art of “blank keeping” in teaching requires teacher’s heart devoted. Suhomlinski famous Soviet educator said:“Experienced teachers are often only slightly open a window leads to the vast expanse of knowledge.” The design of “blank keeping” in teaching doesn’t abandon parts of the knowledge, while it can mobilize the students thinking initiative and enthusiasm. They will master knowledge through their own exploration and research. The author entered two classes---- “the probability of random events” and “the strategy of cutting circle” to study the two teachers’ behaviors on “blank keeping”. Compared the two teachers’ “blank keeping” strategies, this paper offers some advices on the evaluation of teachers’ “blank keeping” behavior in class and the reasonable treatment. The survey found several major problems of “blank keeping” strategy in high school mathematics teaching: (1) classroom blank rarely; (2) teachers do not know how to properly use the classroom blank. Combined analysis of the results, this paper obtained blank keeping strategies in high school mathematical classes: (1) To preset a good blank time; (2) to spend more time in the “main issue”; (3) get prepared for the blank of “main problem”; (4) good question is left blank on the premise; (5) focus on the timing and content of blank keeping; (6) focus on blank keeping on evaluation and emotion.

class teaching; observational study; blank keeping in class; arts strategy

G420

：A

：1004–9894（2015）02–0075–08

[責任編校：周學智]

2014–11–10

2011年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——教師課堂行為研究（11YJA880139）

馬茂年（1963—），男，浙江東陽人，特級教師，主要從事數學教育、教學，數學哲學與數學方法論、初等數學研究．