高中數學教科書中的數學史呈現研究

徐乃楠，孔凡哲，劉鵬飛，

（1．吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000；2．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130051）

高中數學教科書中的數學史呈現研究

徐乃楠1，孔凡哲2，劉鵬飛1，2

（1．吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000；2．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130051）

數學史進入高中數學課程、教科書已成為國內外數學教育的大勢所趨．數學教科書中的數學史編排與呈現問題，始終未能形成統一的結論．通過對國內三套高中必修數學教科書中數學史的內容類型、欄目分布、呈現形式、數學家和著作的比較研究，對教科書中數學史的內容選取、編排設計和呈現形式進行了探討，給出教科書編寫的若干建議．

高中數學；數學史；教科書；呈現

1 引 言

中國21世紀初開展的新一輪數學課程改革，在課標中重視了數學史的內容設置和數學文化的教學滲透．正如高中數學課程標準制定組組長張奠宙先生所言：“制定組明確提出了‘數學文化’的教學概念．顯然，數學史內容將是構成數學文化教學的重要組成部分．‘數學史選講’也列入了高中的數學選修課．這些進展促進了數學史與數學教育的結合．”[1]然而，作為重要載體的數學教科書中該如何設置和呈現數學史是數學教育工作者和研究者們需要認真研究和思考的問題．

當前各版本數學教科書按照課程標準的要求都重視了數學史內容的編排，但仍存在一些需要不斷改進的問題．對于這一點，張奠宙先生也曾批評道：“現在的中小學教科書中，數學史的內容比比皆是，已經遠遠超出了以往的水平．不過，大多數的介紹，往往是放一個數學家的頭像，然后介紹他的生平事跡就完了．如何提高數學史教學的品味，是一個亟待解決的問題．”[1]因此，教科書中的數學史內容該如何選取？選用何種編排方式？采取什么形式呈現等問題仍需深入研究．

2 高中數學教科書中數學史的比較分析

選取研究對當前中國使用較為廣泛的人教A版、北師版和蘇教版三套高中數學必修教科書中的數學史呈現開展分析和比較研究．

2.1 內容類型

三套教科書中數學史內容類型都以重要數學內容知識或概念的發展史介紹為主體，兼有數學家介紹、名人名言等內容類型（見圖1）．各版本也有各自重視的內容類型，人教A版內容知識或概念的發展史最多．蘇教版重視名人名言的使用，人教A版則一個未見．北師版重視數學應用的歷史．作為內容類型呈現較好的一個案例，北師版必修5“海倫公式與秦九韶三斜求積公式”，既有內容歷史，又有數學家簡介和名人名言，這種綜合呈現的內容類型更有助于學生的理解和掌握．

圖1 三套高中必修數學教科書中數學史內容類型比較圖

2.2 欄目分布

北師版主要集中在閱讀類欄目和正文中，尤其是閱讀欄目在三套當中數量最多．三套教科書閱讀類欄目設置有所差別，人教A版和蘇教版相對固定，分別叫“閱讀與思考”和“閱讀”．而北師版閱讀類欄目有“閱讀材料、閱讀理解和小資料”3種欄目，不夠統一．

另外，人教A版和北師版更加重視數學史在正文及旁注中的分布和滲透，而蘇教版在正文當中少見數學史．蘇教版名人名言欄目的比重較大、特色鮮明，在習題中也布置了一些數學史（見圖2）．

圖2 三套高中必修數學教科書中數學史欄目分布比較圖

2.3 呈現形式

三套教科書中數學史的呈現形式都是以純文字呈現為主，其次數量最多的是文字輔以圖片的呈現方式，也就是圖文并茂（見圖3）．

需要指出的是北師版注意了閱讀材料中數學史的文獻來源問題，而人教A版和蘇教版帶有文獻的都是在“實習作業”中出現的，是為了滿足布置學生開展數學史調查的實習作業需要而列出的．

作為綜合呈現方式一個比較典型的案例，北師版必修4第一章三角函數的章末閱讀材料“數學與音樂”中綜合采用了文字、圖片、文獻3種呈現方式，既能圖文并茂說明問題，又提供了文獻來源，為學生進一步學習提供拓展資源．

圖3 三套高中必修數學教科書中數學史呈現形式比較圖

2.4 數學家和著作

三套高中必修數學教科書中數學史呈現中所涉及的數學家和著作以蘇教版數量最多、人教版其次、北師版最少．三套高中必修數學教科書中涉及的數學家都以中國數學家提到的人次為最多，其次較多的是德、法、英、意大利等國家的數學家（見圖4）．

從中可以看出各版本教科書均重視中國數學家對數學的貢獻，在數學史中滲透人文教育和愛國主義教育．各個版本中都是德、法、英、意大利等國家提及的數學家人次最多，也說明歐洲大陸數學家對數學發展的貢獻，因為高中知識涉及的主要是近代數學，16—20世紀歐洲大陸的數學家奠定了近代數學的基礎．

圖4 三套高中必修數學教科書中提及數學家和著作比較

3 高中數學教科書中數學史編排的思考

鐘啟泉先生曾指出：“立足于現代課程觀的教科書的作用有兩種基本觀點，即注重文化授受的觀點和注重文化創造的觀點，它強調學習者問題意識的形成，關注主體學習態度、能力以及對話、合作、表達等社會態度及能力的形成．”[2]因此，數學史作為數學文化被授受和文化再創造最終需要通過教科書來體現，但數學史的內容如何選擇、編排和呈現仍是需要我們不斷思考的問題．

3.1 對內容選取的思考

高中數學教科書中數學史內容的選取，最基本的選取原則自然是選與高中數學知識密切相關的，有助于學生學習和教師教學的那些內容．但在這一原則基礎上仍有諸如“安排數學家個人的內容多一些，還是一個專題內容在多個世紀和時代的整個發展史多一些，還是一些文明中的整體數學文化多一些，橫向的多一些還是縱向的多一些”等問題，需要在教科書編寫時慎重考慮．

首先，既要重視偉大數學家個人，又要重視其所在的文化環境，因為閱讀一個人的史料比追蹤一個文明容易的多．當然，個人學說與文化學說不是單純的笛卡兒二元對立方式．有一種時間角度的調和方式主張，在一個較短的時期內（如不到500年）個人是重要的，在一個較長的時期內（如超過500年）則重要的不再是個人而是文化．

美國心理學家和哲學家詹姆斯（Jаmеs）提出了一個很有吸引力的中間觀點，他在“偉大人物和他們的環境”中寫道：“團體沒有個人的刺激將會停滯不前，而個人的刺激沒有團體的共鳴將會銷聲匿跡．”沿著這一思路數學家戴維斯和赫什提出一個問題，沿著詹姆斯這段引文提供的線索來寫數學史是可能的嗎？他認為很難說做得到[3]．

但他們的想法卻給編寫教科書中數學史內容提供了一定的思路和借鑒，既要重視天才數學家在某個數學知識點、重大數學問題解決和創造過程中的思想，又要充分考慮他所處團體、社會環境以及他所處文化和文明的時代精神．也就是說，在教科書中繪就的這副巨幅數學史畫卷的經線中也需要個人的緯線，就如良好的布匹需要縱橫交錯的線來組織一樣．

其次，要重視數學史內容選取時的中西文化問題．數學在不同文化體系中的地位不同，西方文化中數學從古希臘開始就有較高的地位，西方文明史上的哲學家也都大多是數學家，數學對誕生于西方的近代科學影響巨大．數學史的研究表明，是潛在的數學價值觀在文化傳統中的習慣勢力促進了西方文化的發展．這一點上，中國古代數學從來沒能做到，中國古代數學在文化傳統中地位不高，經世致用的實用主義文化價值觀念至今猶存[4]．

因此，在選取數學史內容的時候要兼顧中西，學習和體會西方數學的理性精神，欣賞中國古代數學曾經取得的輝煌成就．在避免“文化中心主義”的同時，也要避免“民族沙文主義”．張奠宙先生曾通過一個數學史知識小測驗來說明這件事，我們總會在一些歷史上有潛在的自豪感，張先生指出“趕超是進行歷史教育的基點，而不能只是躺在歷史先進的包袱上自豪”[1]．也就是說既不能妄自菲薄，也不能敝帚自珍．中國的學者們經常為傳統文化中數學神位的不當放置而懊悔不已，但歷史就是歷史，它不容假設也不接受懺悔．歷史告誡我們，再造歷史殿堂時一定要刻意精心的放置數學史，不要漫無目的的隨手放置數學[5]．

也就是說，要以多元文化的視角來取舍高中數學教科書中的數學史內容，正如費孝通先生所言：“各美其美、美人之美、美美與共、世界大同．”雖然高中教科書編制主張獨特性，文化碰撞也很難實現大同，但“各美其美、美人之美、美美與共”應是我們秉持的客觀態度．一方面要把握好“自美”的尺幅．既要選取那些能夠介紹中國古代數學輝煌歷史的內容素材，以激發學生的愛國主義精神．弘揚中國傳統文化遺產，樹立民族自尊心．另一方面，也不能老讓教師和學生總是在“我們的數學是天下第一”的感覺之中，而無視在真正實力上的差距和不足．

同時，要兼顧介紹中國少數民族的數學史，消除狹隘的漢族為主體的歷史偏見，學會欣賞各少數民族豐富多彩的數學文化，而這也是國際上民族數學的潮流．要從多元文化的視角挖掘數學史中的素材，以顯性與隱性相結合的方法在教科書中展現數學的文化多元性[6]．

3.2 對編排方式的思考

奧蘇貝爾指出，在學校條件下，學生的學習應當是有意義的，而不是機械的．教師向學生傳授整體、系統的學科知識，學生主要是通過有意義接受方式獲取這些知識……教學中影響學生知識結構的因素很多，但沒有比教材的編寫和組織更重要的因素了[7]．

對于教科書編排方式數學史家主張歷史順序，堅信歷史發生原理在學生學習過程中的重要作用．而純粹數學家主張邏輯順序，追求數學的完整和嚴謹．著名數學教育家弗賴登塔爾曾說：“數學家喜歡把他們的學科用一種組織得很好的狀態來表示，教科書經常被看作是依據他們的組織的級別來編排的，這是不足為奇的．”[8]但是，邏輯嚴謹式數學知識編排，帶來的必然是抽象形式化的結構，帶給學生的也是晦澀難懂的學習感受．

所以數學史要想更好地融入數學教科書，必須要思考在教科書中的編排設計方式．楊豫輝等人在研究小學數學史呈現時提出4種設計模式：習題內容引出數學史、學習內容引出數學史、數學史引出學習內容和閱讀材料式數學史[9]．事實上習題內容引出和學習內容引出并無本質區別．

汪曉勤教授曾提出5種教材中運用數學史的方式（見表1）[10]．顯然，點綴式更大程度上是與呈現形式有關的，復制式和順應式區別度不大，復制式與重構式區別度也不大．筆者以為這5種方式更適合用來討論與數學史教學方式有關的問題，而不是教科書的編排方式．

表1 汪曉勤教授提出的教材中運用數學史的5種方式

羅新兵提出數學史融入教材可分為顯性融入和隱性融入兩種方式[11]．顯性的又分為由數學知識引出數學史和由數學史引出數學知識兩種設計模式．顯性課程和隱性課程是課程類別，數學史長期以來基本上處于隱性的位置，尤其是作為背景性的隱性課程．

綜合上述學者的研究，研究者以為不能從現有的教科書中歸類總結出合適的編排方式，而應當從課程組織和教材組織的理論基礎入手，要基于課程理論從宏觀課程組織和微觀教材組織兩個層面，去思考數學史在教科書中的編排問題．

首先，從理論上來講，教科書編排首先要考慮的是宏觀課程組織．主要是指直線式和螺旋式的問題，這個問題既適用于一般教科書內容的設計，同樣適用于數學史內容的設計．例如，從變量發展、函數概念發展史、對數指數發展史、三角函數發展史這樣一個數學史知識編排上就要綜合考慮螺旋式設計問題，而不能相互獨立、各自為政組織呈現，宏觀的螺旋式編排對于學生深刻理解函數這部分數學知識及其歷史非常重要，有一個逐級螺旋上升的過程．

其次，從實踐上來講，才是考慮微觀教材組織問題．當然，在這一點上也要基于課程組織的基本理論去設計．美國著名的課程專家泰勒（Tylеr）曾指出：就課程組織而言，主要分為兩部分，即垂直關系（vеrtiсаl rеlаtiоnshiр）和水平關系（hоrizоntаl rеlаtiоnshiр）[12]．這兩種關系也稱為“縱”和“橫”的關系，阿姆斯特朗（Armstrоng）認為以下4種方法是常用的[13]．

（1）以年份的先后次序組織——即以課程內容的發生時間的先后順序來組織，這種組織方式最適合歷史內容的安排．在這種方式中還有一種方法是從過去梳理到現在來編排，另一種是以現在追溯到過去來組織．

（2）主題內容的組織——即選取課程內容中重要的主題問題獨立開展教材組織，這些主題可能有關聯也可能無關聯，有的彼此之間也要遵循時間的先后次序，有的無先后次序．對于數學史來講這種組織方式主要是獨立閱讀材料的組織問題．

（3）從部分到總體的組織——內容的編排從簡單到復雜、由淺入深．例如，俄羅斯數學教育家巴什瑪科夫編寫的《代數與數學分析初步》就是從變量符號的發展史逐步滲透到函數概念的發展史，進而上升到對數指數的發展史[14]．

（4）從整體到部分的組織——先介紹內容的總體外觀，先有個整體的概略認識，然后再逐漸步入細節．巴什瑪科夫的《代數與數學分析初步》在很多章節的導言欄目就是先給出宏觀的總結概述，然后才慢慢滲透、深入、最后在章末對話欄目進行提升．

最后，一些細節性的教材組織要素也是需要在教科書中數學史編寫設計時需要注意的問題．教學認知理論認為，認知歷程和狀態可增進學習時的可理解性，所以要考慮如下的4點[6]：

（1）擁有先備知識：學習者學習之前已在長期記憶中積累貯存了部分甚至大量的數學史知識．（2）注意外來訊息：學習者經由改變注意量的大小能影響外來訊息到達工作記憶的總量，學習者經由改變注意的選擇性能夠影響外來訊息到達工作記憶的形式．（3）建立內在聯結：學習者能將工作記憶中的訊息進行重新組織，使訊息具有一致性．例如，學習者圍繞某個主題將學習材料加以組織．（4）建立外在聯結：學習者能將貯存在長期記憶的有關知識轉移至工作記憶，然后將新舊知識加以統整，內化為自身的知識并能夠用自己的語言把訊息表示出來．

邁爾（Маyеr）考慮到上述4點因素，提出3個非常重要的教材組織要素：先行組織者、標示和附加問題．先行組織者有助于增進外在聯結的建立以及先備知識之擁有．通常是在學習內容前有一段簡短的說明．憑借這樣的前導結構體，學習者較易掌握學習內容，且能強化學習保留．先行組織者分為說明式的和比較式的兩類．

例如，俄羅斯數學家巴什瑪科夫主編的《代數與數學分析初步》教科書中專門在知識內容前設置的“序言導讀”（Вводная беседа）欄目，有的是對這一種數學知識發展史的前導式說明，有的則是不同數學家在處理同一問題時的比較式歷史分析[15]，這些數學史的先行組織對學生更好地學習這部分內容是非常有益的．建議高中數學教科書數學史編寫也要重視先行組織問題．

“標示”則能促進內在聯結的建立，“標示”的技巧在于在教科書中安置一些非內容的文字，用以強調教科書結構和組織．標示雖然沒有實質性的訊息提供給學生，但卻可以使結構顯得更加清晰，有利于學生把訊息加以組織．標示的例子很多，如標題、節要、編碼、加強效果，等等，或者單獨設置一個欄目作為標示．例如，在與學生和教師的訪談中，當問及“你用的教科書中分布在書中的哪些部分啊？”學生和教師幾乎脫口而出的就是章末的“閱讀材料”，這說明在學生和教師記憶中這種標示訊息已經形成一個固定的觀念架構．

附于教科書的“附加問題”也扮演著非常重要的角色，能夠幫助學生對閱讀材料更加注意，將注意力集中在某些特定形式的訊息，以及能夠幫助建立內在以及外在聯結．例如，俄羅斯高中人文取向數學教科書中的閱讀材料介紹，并不滿足與當前學習內容知識的數學史介紹，而是在此基礎上提供了“更難得材料和困難的材料”作為附加的數學史，有些甚至與標準課程毫無關系、難度也非常高，從抽象代數到拓撲學內容都有．當然，這部分內容是純粹是選學的．一般來說，教科書中的這種材料被分解成3個層次：“必須的材料”是為了滿足所有學生學習用的；“更難的材料”也是提供給所有學生的；“困難的材料”可能連教師都不在課堂上討論，僅僅是提供給學生獨立學習（研究）使用的[16]．但這些附加問題對于刺激學生獲得特定的訊息，促進學生的進一步學習有非常大的幫助，俄羅斯教科書中數學史的這種編排值得中國教育工作者思考和借鑒．

3.3 對呈現形式的思考

教科書呈現從總體上、理論上和本質上來講，就是“文字敘述”和“可視化呈現”兩種基本形式．有些學者把除了文字呈現外的可視化呈現，又再細分為圖片、圖文、圖形、頭像、圖表是毫無實際意義的．

文字敘述和可視化呈現二者各有優劣、互為補充，文字的描述能夠確切的闡明數學史內容的基本內涵，但當設計的知識內容較為復雜、發展歷程較為漫長且涉及到不同文化的時候，單純的文字模式可能使讀者（教師、學生）無法由文字線性式敘述建構非線性式復雜網絡．而可視化呈現方式則能較為直觀的表達非線性知識構架，彌補了單純文字敘述模式的不足．

已有的研究表明教科書中的圖表（照片、圖畫、圖表、圖形、線條畫、漫畫、流程圖等可視化呈現）對學生的學習確有正面的影響．教科書中的圖表能加強學生學習的趣味性，并可影響學生的情緒和觀感．能夠有效的導引學生，使其對教科書產生興趣或喚起注意力，同樣能改善學習者的理解和記憶力，促使其更好理解教科書學習內容[17]．

教科書中的圖表主要有裝飾性、表征性、組織性、理解性和轉換性5種不同的功能[18]，裝飾性功能雖然能增加教科書對學生的吸引力，但學者研究表明單純裝飾性圖表無助于學習，而轉換性功能對加強學習最為有效．所以教科書中相對孤立的關于數學家的背景圖片根本無益于學生知識的學習，只是獲得了感官上的刺激而已．

因此，建議高中數學教科書中的數學史編寫要注重文字敘述與圖表的關聯性，重視數學史所表述的事件，人物和概念等元素組織性，并重視加強理解性功能，最終轉換成學生的深入理解和心像記憶．而不是單純的圖片呈現或簡單的文字敘述，這樣的數學史呈現無助于學生的學習．

總之，數學史進入數學課程、教科書已成為國內外數學教育的大勢所趨．數學家、數學教育研究者和一線教師都認識到了數學史在數學課程中的重要價值．然而，在國內外長期開展的數學史融入教科書的研究中，始終未能形成相對統一的研究結論．數學教科書中的數學史編排與呈現問題還需要深入的理論探討和編寫實驗，通過各類不同版本教科書中不同類型、不同方式的實驗逐漸摸索更加有效的途徑，不斷提高數學教科書中數學史呈現的有效性．

[1] 張奠宙．我親歷的數學教育（1938—2008）[М]．南京：江蘇教育出版社，2009．

[2] 鐘啟泉．現代課程論[М]．上海：上海教育出版社，2003．

[3] P·J·戴維斯，R·赫什．數學經驗[М]．王前，俞曉群譯．南京：江蘇教育出版社，1991．

[4] 劉鵬飛，徐乃楠，王憲昌．數學價值觀是數學文化研究的重要內涵[J]．數學教育學報，2012，21（4）：73-75．

[5] 王憲昌．數學與人類文明[М]．延邊：延邊大學出版社，1990．

[6] 張維忠．數學教育中的數學文化[М]．上海：上海教育出版社，2011．

[7] 黃顯華，霍秉坤．尋找課程論和教科書設計的理論基礎[М]．北京：人民教育出版社，2005．

[8] 弗賴登塔爾．數學教育再探——在中國的講學[М]．上海：上海教育出版社，1999．

[9] 楊豫暉，魏佳，宋乃慶．小學數學教材中數學史的內容及呈現方式探析[J]．數學教育學報，2007，16（4）：80-83．

[10] 汪曉勤．法國初中教材中的數學史[J]．數學通報，2012，（3）：16．

[11] 羅新兵，魏金英，劉陽，等．高中數學教材中數學史分布的特征和模式研究——以北師大版數學必修教材為例[J]．數學教育學報，2012，21（1）：30-33．

[12] 林智中，陳建省，張爽．課程組織[М]．北京：教育科學出版社，2006．

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Study on Presentation of History of Mathematics in Senior High School Mathematics Textbook

XU Nаi-nаn1,2, KONG Fаn-zhе2, LIU Pеng-fеi1,2
(1. Cоllеgе оf Маthеmаtiсs, Jilin Nоrmаl Univеrsity, Jilin Siрing 136000, Chinа; 2. Fасulty оf Eduсаtiоn, Nоrthеаst Nоrmаl Univеrsity, Jilin Chаngсhun 130051, Chinа)

Histоry оf mаthеmаtiсs intо thе sеniоr high sсhооl mаthеmаtiсs сurriсulum аnd tеxtbооks hаd bесаmе а trеnd in mаthеmаtiсs еduсаtiоn аt hоmе аnd аbrоаd. Thе quеstiоn tо аrrаngе аnd рrеsеnt thе histоry оf mаthеmаtiсs intо thе sеniоr high sсhооl mаthеmаtiсs tеxtbооks hаs bееn unаblе tо fоrm а unifiеd соnсlusiоn. Thrоugh thе соmраrаtivе rеsеаrсh оn thе соntеnt tyреs, соlumns distributiоn, рrеsеntаtiоn fоrm, mаthеmаtiсiаn аnd writings оf histоry оf mаthеmаtiсs in thrее dоmеstiс sеniоr high sсhооl mаthеmаtiсs tеxtbооks, disсussеd thе соntеnts sеlесtiоn, lаyоut dеsign аnd рrеsеntаtiоn fоrms оf thе histоry оf mаthеmаtiсs in tеxtbооk, thеn giving sеvеrаl suggеstiоns.

sеniоr high sсhооl mаthеmаtiсs; histоry оf mаthеmаtiсs; tеxtbооk; рrеsеntаtiоn

G423.3

：A

：1004-9894（2015）02-0061-05

[責任編校：周學智]

2014-11-04

國家社會科學基金2012年度國家級重點課題——中小學理科教材國際比較研究（AHA120008）；吉林省教育廳“十二五”社會科學研究項目——中俄高中數學教材的文化學研究（吉教科文合字[2013]第156號）

徐乃楠（1979—），女，吉林長春人，副教授，博士，碩士生導師，主要從事數學課程與教學論、中俄數學教育改革比較研究．