數學概念二次教學的實踐與思考——以一道例題的教學為例

梁 棟，朱鴻玲

（1．天津楊村第一中學，天津 301700；2．天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

數學概念二次教學的實踐與思考
——以一道例題的教學為例

梁 棟1，朱鴻玲2

（1．天津楊村第一中學，天津 301700；2．天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

數學概念二次教學是例題教學的一個環節，具有發現解題方法源泉和展現數學文化價值的作用．熟悉知識之間的內在聯系是概念二次教學的起點，挖掘概念蘊含的數學思想方法是實施概念二次教學的途徑，寬闊的教學視野是概念二次教學創新發展的基礎，創造性的教學設計是概念二次教學的成敗關鍵．

概念二次教學；數學思想方法；數學文化；思維

1 引 言

隨著數學教育的發展，數學的教育功能越來越被人們所認識：學習數學不僅是為了讓學生掌握一種重要的“工具”或“方法”，更重要的是掌握一種嶄新的思維模式，即“會用數學的方式進行理性的思維”；同時也是為了培養學生的一種良好的素養，即“數學素養”．《數學課程標準（2011年版）》中指出：“數學為其它科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎，數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用，數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分．”[1]

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果．數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛應用性的數學思想，它含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的[2]．

所謂數學方法，是處理、探索、解決問題，實施有關“數學廖想”的技術手段和操作程式．“方法”是指向“實踐”的，是理論用于實踐的中介，數學方法的運用、實施與數學思想的概括、提煉，是并行不悖、相互為用、互為表里的．由于數學方法與數學思想互為表里，它們都建立在一定的知識基礎上，反過來又促進知識的深化和向能力的轉化[3]．從數學方法論的角度考慮這種既統一又有差異，但卻沒有明確界限的數學思想和數學方法及其關系時，特別是考慮到中學生的實際認識水平，因而在教學大綱、教科書和實際教學中，通常把“數學思想”和“數學方法”籠統地稱為“數學思想和方法”或“數學思想方法”．數學思想方法是數學的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數學發現的源泉．學生只有把數學知識上升到數學思想方法，才能有效地提高數學素養，乃至學生的整體素質．首先，數學思想方法是素質教育的重要內容．素質教育要求我們教育要面向全體學生，讓每位學生都得到全面發展．為了實現“人人學有價值的數學，人們都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展．”[4]數學思想方法比形式化的數學知識更具有普遍性，在學生未來的工作和生活中有更加廣泛的應用．其次，數學思想方法有助于教師正確地把握教材．高中數學教學體系包括兩條主線：一是數學知識，這是寫在教材上的明線；二是數學思想和方法，是隱含在數學知識中的暗線．教師只有掌握數學的思想和方法，才能明確領會教材編寫的意圖．才能從整體上、本質上去理解教材，才能科學、靈活地設計教學過程，選擇教學方法，提高教學效率．再有，數學思想方法有助于幫助學生建立完善的認知結構、指導學生進行知識的正遷移、促進學生的思維發展，最終提高學生解決問題的能力．

但從目前高中數學教學現狀來看，教學中對數學思想方法的重視程度還遠遠不夠，數學教學以概念、定理、規律的灌輸和大量的習題訓練為主要的教學模式仍然占據著課堂教學的主要位置．數學是作為人類文化遺產中的一個主要部分，它來源于人又服務于人，因而是一門人類科學．而在數學學習被降為記憶公式和概念時，這一特別的文化價值就喪失殆盡了[5]．

為了克服傳統數學教學的弊端，在高中數學教學中探索如何應用數學思想方法進行概念教學正日益受到國內外學者的廣泛重視．發揮數學思想方法教學的特點和優勢，探尋數學思想方法教學的途徑和方法是數學教學應對當前普通高中課程改革的重要途徑之一．

2 何謂“數學概念的二次教學”

目前，中國高中數學教學多采用“概念—例題—練習”的教學模式，在這一模式中，概念教學基本上是一次性的，即教師對新概念的教學設計投入精力較多，在隨后的解題活動中只是對學過的概念復習鞏固，極少進行二次開發．

概念是思維的基本形式，數學概念是數學思維的核心和邏輯起點[6]，是數學定理、性質的邏輯基礎．因此很多概念都蘊含著豐富的數學思想方法．隨著課程改革的不斷深入，人們對概念教學的重視正逐漸從形式走向內涵，教學中，教師在讓學生了解概念產生的背景，體驗概念形成與發展的過程，感受概念中數學文化的同時，對概念中的數學思想方法也傾注了極大的熱情，并在實踐中積累了大量的寶貴經驗，探索出許多行之有效的教學方法．然而，由于教學內容的制約，當概念中蘊含的數學思想方法與當堂教學內容無關時，這些“弦外之音”就容易被忽略，甚至是被埋沒．而一旦用到這些數學思想方法，教師又往往將其作為一種解題技巧向學生介紹，無形中為數學方法蒙上了一層神秘的色彩，使學生匪夷所思，心生畏懼．概念中的數學思想方法讓學生感到親切自然，容易接受，也樂于接受，因此，概念教學不應是一次性的，應根據需要進行二次開發，并貫穿整個高中數學教學，讓學生在概念中感受數學的思維方式，學習數學的思想方法．

數學概念的二次教學，是指教師引導學生對已掌握概念的再次學習，其目的不是復習鞏固概念，不是進一步理解概念的本質，而是挖掘概念中蘊含的數學思想方法，并運用這些思想方法解決相關的數學問題．概念二次教學一般是在學習解題方法，探究解題方法得來的過程時進行，是例題教學的一個重要環節．

3 案例分析

下面是關于一道例題的教學案例，課型是高三復習課．

例1 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為_________．（2008年四川高考題）

大部分學生不假思索就寫出了如下解題過程：

設等差數列{an}的公差為d，

學生解答這兩道題的思路是，先求出a1和d的取值范圍，再求a4=a1+3d的范圍，從而得到a4的最值．這種看起來順理成章的解法實際上是錯誤的，例1由于a1≥1和d≤1的不等號方向相反而沒能使錯誤成為事實，例2給了學生犯錯誤的機會，也就將問題暴露了出來．當教師提醒學生求出a4取得最值時相應的a1和d時，學生發現，當a4=-11時，有a1=1，d=-4，不適合已知條件，也就是說-11不是a4的最小值；當a4=12時，有a1=9，d=1，也不適合已知條件，即12不是a4的最大值（只有少數學生能自己進行驗證，從而對解法提出質疑）．

教師分析上述解法錯誤的原因．以例2為例，已知條件中a1和d有制約關系，而解法并沒考慮到這種制約關系，雖然a1和d的范圍是由已知條件推出，但在求a4取值范圍時，a1和d 卻相對獨立，這是錯誤的根源所在．這就如同由x2+y2=1可得|x|≤1，|y|≤1，但當|x|=1且|y|=1時，x2+y2=1顯然不成立．錯因已經明了，例1又尚未找到解決的方法，那么這兩道題應如何解決呢？此時學生對正確解法充滿期待，教師抓住時機就例1給出兩個提示：

提示1：如果設a1=x ，d=y ，你有什么發現？

問題看似順利解決了，但有學生追問：提示2是怎么想到的？這種方法為什么就一定正確？很多學生也有同感．

面對學生的追問，教師不直接回答，而是提出了新的問題：誰能告訴我，基底是怎樣定義的？這個問題學生感到意外，努力回憶幾分鐘，除了個別學生能說出個大概，其他學生都忙著去翻課本．基底的概念在高中數學中出現的頻率很低，只是在引入平面向量的坐標形式時做了一點貢獻，以后便銷聲匿跡，因此很多學生腦海中沒留下什么印象．這種情形在教師的預料之中，教師和學生一起再次學習基底的概念．

根據上面的分析，例1中的a4=-(2a1+3d)+3(a1+2d)不僅合情合理，而且把2a1+3d和a1+2d 看成基底后，a1和d的制約關系也很完整地保存下來，沒有任何的損失和變化，得出正確答案也就不足為奇了．基底概念和平面向量基本定理一經寫出，任何語言都顯得多余，學生在會心的微笑中豁然開朗，教師順勢給出了下面的練習．

4 案例教學的功效

由于中國目前評價學生數學能力和水平的主要方式是考試，解題又是考試的唯一形式，因此，和解題教學相比，概念在教學中依然扮演著敲門磚的角色，還難以擺脫功利的色彩，學習概念的落腳點只是為了知道某個定義，在例題上有更多的選擇，之后教師的重心依然回到解題教學上，解題的誘惑會使師生直奔解題方法，然后通過大量訓練積累經驗，提高能力．概念對于學生的作用只是表層的顯性含義，反映在解題中，就是把已知條件涉及到的概念進行最直接的轉化，至于題目的解決要靠教師補充的課外知識、總結的解題規律來完成，以至于很多學生在學完全部高中數學課程后，對很多重要概念不能準確表述，甚至是毫無記憶．引入概念時教師煞費苦心培育出的學生對概念的情感，在隨后的題海中蕩然無存．這不僅使學生對數學概念本質難以真正理解，也使解題教學的成本大大增加．

從教學案例看出，一方面，概念二次教學能淋漓盡致地暴露思維過程，清晰展現數學方法的來龍去脈，使解題活動成為學生在認知最近發展區內的創造性活動，使解題過程成為學生知識能力的自我生長過程．另一方面，概念的二次教學能充分體現數學概念的價值，使概念的作用顯性化，并具有下面的作用．

4.1 發現解題方法的源泉

關注普遍的必然性，是人類基本的思維傾向[7]．反映在解題中，主要表現在學生對解題思路和解題方法的挑剔，“為什么這樣做？”“我這樣做行不行？”是很多學生看過解法后產生的困惑．對教師而言，解題思路分析是以不變應萬變的教法，教師總是試圖通過思路分析，來說明某種解題思路的必然性，進而讓學生認可這種解法．但是多數的思路分析是建立在知道題目解法的前提下，是在為已知的解法尋找合適的理由，有些題目教師教過幾遍了，其解法是經過多次反思的產物，是不斷改進之后近乎完美的方法，每一步看起來都很自然，但對第一次接觸題目的學生來說卻知其然不知其所以然．另外，教師總是無意識地用自己的認知水平來衡量學生，造成解題方法的呈現方式和時機脫離學生的實際，這是學生聽得懂卻學不會、不會用的原因之一．當人們意識到解題教學應當探索解法得來的過程，讓方法的出現自然流暢的時候，又一個問題擺在教師的面前：怎樣才能做到這一點？提示2的解法無論如何解釋都難以自圓其說，而基底的思想卻可讓學生茅塞頓開，這讓教師有理由把目光聚焦在概念的二次教學上．

教育心理學認為，興趣是一個人傾向于認識、研究獲得某種知識的心理特征，是推動人求知的一種內在力量．興趣對于學習的重要性不言而喻，用各種手段激起學生的學習興趣并不困難，難在興趣的持久和發展．顯而易見的刺激只是興趣的誘因，真正能使學生興趣得以保持的是興趣的源泉．知識的力量是產生興趣的源泉之一，關鍵是要讓學生感受到這種力量．從概念中尋找方法，讓概念中的方法在解題中有所作為，這樣，數學方法就有了源泉，就不是無根之水無本之木，它會讓學生認識到數學概念與數學解題之間的關系，感到數學是平易近人的，是講理的、簡單的，數學方法就在身邊，并在方法的運用中享受思維的樂趣．概念在解題中也就不只是標簽的作用，不再只是解題的起點，而是貫穿解題過程的靈魂．

在數學教育教學中，主要強調的是知識的發展價值，即知識對于學生的身心素質的形成與發展所具有的促進作用．對于學生的學習和發展而言，并不是所有的知識都是有效的，即使是那些科學、正確的知識，如不能夠使學生的身心素質有所增進，那也是無效的知識[8]．基于此，即使學生機械、被動地學會了一種解題方法，然后通過模仿、練習能按圖索驥去應用，也沒有太大的價值，因為學生的數學思維并沒有真正意義上的發展．而有了源泉的方法不僅有較高的實用價值，有利于促進學生思維的遷移，同時對學生的數學觀也會產生積極影響，對提升學生認識數學的層次和品位有助推作用．就提示2而言，教師曾對兩種教學方法的效果進行比較，一種是直接給出方法，要學生記住，一種是文中的方法．從結果看，學生解類似題目的成功率沒有太大差異，在做隨后的練習題時也沒有差別，前者還有節省教學時間的優勢．但隨著類似的對比持續進行，區別會逐漸顯現出來，盡管考試成績仍難分伯仲，但前者容易使學生產生消極的數學學習觀，認為一種方法只要會用，能得到正確答案，考試能得分，沒必要知其究竟，從而失去了進一步探索的欲望，久而久之，潛在的數學天賦會逐漸泯滅，也就難以在數學學習中得到快樂．而后者則在使學生保持濃厚的學習熱情，促進數學思維的發展上有持續的作用．

4.2 感受數學文化的價值

教育部2003年頒布的《普通高中數學課程標準》（實驗）中把體現數學的文化價值作為課程的基本理念之一，數學文化隨之逐漸走進課堂，然而教學中如何體現數學的文化價值，對教師來說還缺乏足夠的實踐經驗支持，對如何把理念轉化成教學行為還感到茫然．課程標準中指出數學課程應適當反映數學的美學價值[9]，這是教師認為容易實現的一個理念，于是簡潔美、對稱美、奇異美在課堂中時有出現．然而，數學的美不僅只是形式上的美，也不僅是看得見、聽得到的感官的愉悅，數學的美更體現在數學內容中蘊含的令人神往的無窮魅力，數學的美不一定能夠言表，但當你觸摸它的時候會引起你的共鳴，觸動你的心靈．數學的美“是蘊含于數學知識之中，是從數學內容反映出來的”[10]．“數學邏輯推理中蘊含著美的因素，數學的內在美是一種高尚的理性美”[11]．提示2的解法正是因為平面向量基本定理在內容上體現的協調、平衡之美，才有結果的科學合理．當學生細細品味解法的內涵時，會感受到這種內在的力量，認識到數學方法不僅僅是解題的工具，也是人類智慧的結晶，能給人的思維以啟迪．

例2的解決過程也是一個求真的過程，從最初看似合理的方法竟然存在漏洞，到正確方法的出現以及對正確解法的追問，都體現出數學理性的探索精神，而最后基底思想為解法找到歸宿，則彰顯了概念的生命力．這種問題驅動、層層遞進的探索歷程帶給學生的體驗，是單純介紹解題方法無法比擬的．更重要的是，在這一過程中，學生不是旁觀者，而是身心投入的參與者．

數學文化不可能脫離數學內容孤立存在，也不可能只以形式化、表面化的形態出現，它根深于數學思想方法中，它和數學知識是渾然天成，不可分割的．教師要善于發現，然后引導學生在數學文化的氛圍中開展數學思維活動，使解題真正成為學生的一種精神需要和追求，成為感受數學的最好載體．在解題中豐富他們的數學情感，在充滿著創造力和想象力的文化背景下掌握解題方法，逐漸學會“用數學的思考方式解決問題、認識世界”[9]．

5 教學建議

開展概念二次教學的關鍵是要有相關的素材，這就需要教師對數學概念、數學思想方法進行重新的思考，需要教師對教學內容進行由此及彼，由表及里的再創造，需要教師不僅具有概念二次教學的意識，更要有把這種意識物化為教學行為的方法．

5.1 各知識之間的聯系了然于心是概念二次教學的起點

進行概念二次教學，教師首先要“清晰把握基礎教育階段的數學知識體系，洞悉不同學段教學內容的內在聯系”[12～13]．數學各部分知識之間的聯系不僅是簡單的先后承接，也不單是形式上相互的轉化，還包括某個內容中發散出來的思想方法和在其它知識中的應用．具體地講，例1中通過換元把數列問題轉化為線性規劃問題，這是形式上的轉化，因為不換元同樣是線性規劃問題，換元并沒起決定性的作用；基底的概念和平面向量基本定理是對平面向量而言的，但它在數列問題中能夠使用，這是思想方法的應用，這當中雖然也有形式的轉化，但這是基于思想的轉化，是質的飛躍．把握這種聯系是教師的內功，是概念二次教學的必要條件．

教學方法通過教師賦予該方法的內容來發揮作用，缺乏內容的方法是蒼白無力的．教師可以通過深入研究教材，多角度全方位審視教學內容，來儲備概念二次教學的資本，隨著教師對教材獨到理解的逐漸增多，就可以隨心所欲地駕馭教材和教學內容，設計出內涵豐富充滿活力的概念二次教學．

5.2 挖掘概念蘊含的數學思想方法是概念二次教學的途徑

盡管挖掘概念中的數學思想方法早已是人們的共識，但由于教師獲取解題方法的途徑很多，“拿來主義”便是一種常見的方式，用這種方式獲取的解題方法多數情況下只是一種結果，教學中教師關注的往往是解法的應用，解法的“起源”常被略去，因此客觀存在的解法與概念的關系也就難以被發現，即使從概念中得到了一些數學思想方法，大多也是一種形式化的解讀，在解題中少有作為．

概念中的數學思想方法不是從概念表面得來的，它存在于概念的“深處”，需要教師智慧的探索才能發掘，需要教師深入地思考和再加工才能在教學中應用．撇開概念的外延和內涵，提出由概念衍生出的問題，再試著解決這些問題，是深入一步的方法；觀察概念形式上的特征，與其它知識作橫向的聯系，再概括出共性，是再加工的途徑．反過來，對常用的解題方法可以采取逆向思考的辦法，考察其可能在哪些概念中出現．這個“出現”當然也不是直接能看到的，需要教師反復探索、嘗試，可以對用某種解題方法解決的問題一般化或特殊化，這樣方法和概念的聯系會清晰起來；還可以對解題方法中涉及到的數學式子進行各種變形，變形后可能就會發現概念的蹤跡．精彩的教學設計更多來自于從學生質疑中獲取的靈感，如果學生對一種解題方法感到費解，教師可以沿著學生的疑問進行思考，從概念中為質疑尋找簡單普通的答案．例1解法2中的基底思想，就是“您是怎么想到的？”的產物．

5.3 寬闊的例題教學視野是概念二次教學不斷創新發展的基礎

學習數學是感知、體驗、感悟、生長的過程，這需要學生有足夠的實踐機會來獲取數學活動的經驗，從這個意義上說，平時潤物細無聲的滲透，遠比強化訓練更有效果，所以教師要有戰略眼光，要從學生高中數學學習的整個歷程謀劃概念教學，要注意現實利益和長遠發展相結合的原則，要經得起忍耐和等待，這樣概念才能真正發揮其應有的作用，概念的二次教學也才能持續不斷地深入發展．例如，有些概念中蘊含的數學思想方法并非某個單元的教學重點，課上加以拓展對概念二次教學大有裨益，但可能會沖淡主題，甚至不合時宜，對新知識的學習產生沖擊．這種情況下，可以設置起點低，有遞進關系的問題串，分解在幾節課上要學生探討，這樣既為二次教學做了必要的準備，也減少了“弦外之音”的投入時間，不至于喧賓奪主．有些解題方法在學習概念之前學生已經掌握，那么在概念學習后，可以讓方法再現，以達到“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的效果，催化學生對方法的深層理解．

5.4 教師創造性的教學設計是概念二次教學的成敗關鍵

數學教師是學生數學學習的榜樣，僅從解題教學的角度看，體現在兩個方面：一是教師是學生學習解題最直接的模仿對象．學生的模仿包括教師探求解題途徑的思維方式，教師對解題方法的選擇和偏好等；二是教師對解題的理解、對數學的追求潛移默化地影響著學生對數學的情感和認識．從這個意義上說，數學教師本身就是學生數學學習的資源．概念二次教學能否取得成效，關鍵要看學習資源為學生提供的學習價值．一般來說，教學設計中融入的教師智慧越多，學生的學習資源就越豐富，對學生身心和智力的發展也就越有益．和一般意義上的解題教學相比，概念二次教學對教師的要求更高，因為目前這方面可供借鑒的成果不多，每一節課都需要教師調動自己的才智進行創造性的教學設計．

在進行概念二次教學的設計時，教師可針對學生可能出現的問題，對儲備的素材進行篩選、充實、重組，整合相關知識間的內在聯系，找到數學思想方法呈現的最佳時機和最佳方式，用問題觸發學生思維，通過反思完善學生的認知結構．文中的案例，如果沒有變式的例2，例1中學生的錯誤就不夠徹底，就不會引起對解法的反思，對正確解法的渴望也就不那么強烈；兩種正確的解法出現的形式雖然相同，但學生的感觸是不一樣的，線性規劃的方法只要點撥到位學生就能接受，而第二種方法就顯得有些突然，而這恰恰為基底的登場做了鋪墊；富有深意的練習2則是點睛之筆．

6 結 語

在高中數學例題教學中，面對一道復雜的數學問題，如何展開思路，如何尋找不同的解題方法，如何總結規律，已經有很多頗有見地的成果，但對數學方法產生背景的研究還稍顯不足，對學生思維習慣和認知水平沒能充分尊重，解題思路的分析過于一廂情愿．對學生來說，面對精妙的解題方法，在欣賞贊嘆的同時，又覺得難以親近、遙不可及；題做了很多，解題經驗積累了不少，解題方法上也非常富有，但缺乏駕馭數學方法的方法，亦即沒有解題靈魂．從概念出發，用最基本的知識，最簡單的方法，最普通的常識，逐步呈現探究的過程，詮釋思路的緣由，揭示思維的規律，是使學生熱愛數學、向往數學、享受數學的有效途徑之一．

[1] 鐘啟泉，崔允漷，張華．《基礎教育課程改革綱要（試行）》解讀[M]．上海：華東師范大學出版社，2001．

[2] 鐘啟泉，崔允漷，吳剛平．普通高中新課程方案導讀[M]．上海：華東師范大學出版社，2003．

[3] 李秉德，李定仁．教學論[M]．北京：人民教育出版社，1991．

[4] 王道俊，王漢讕．教與學[M]．北京：人民教育出版社，1989．

[5] 陳玉琨，代蕊華．課程與課堂教學[M]．上海：華東師范大學出版社，2002．

[6] 阮曉明，王琴．高中數學十大難點概念的調查研究[J]．數學教育學報，2012，21（5）：29-33．

[7] 袁緣，李輝來．數學的邏輯思維在人類思想邏輯化進程中的作用[J]．數學教育學報，2012，21（6）：23-26．

[8] 王新民，王富英．高效數學教學構成要素的分析[J]．數學教育學報，2012，21（3）：20-24．

[9] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[10] 戴風明．數學文化在數學教學中的缺失與對策[J]．數學教育學報，2011，20（6）：74-77．

[11] 伏春玲，馮秀芝，董建德．數學文化在中學數學教學中的滲透[J]．數學教育學報，2011，20（6）：89-92．

[12] 王光明，宋金錦，佘文娟，等．建立中學數學英才教育的數學課程系統——2014年中學英才教育數學課程研討會議綜述[J]．課程·教材·教法，2014，（5）：122-125．

[13] 王光明．高效數學教學行為的歸因[J]．數學教育學報，2010，19（5）：75-77．

Practice and Thinking about Mathematics Concept Further-Teaching——In a Case of a Teaching Example

LIANG Dong1, ZHU Hong-ling2
(1. Yangcun NO.1 Middle School, Tianjin 301700, China; 2. College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Mathematics concept further-teaching is a part of example teaching, which can make students find the source of the solutions to problems and display the cultural value of mathematics at the same time. Familiarity with the interrelation within knowledge is the origin of mathematics concept further-teaching; digging the methods of mathematical thoughts in the concept is the pathway of carrying out the mathematics concept further-teaching. A broaden teaching horizon is the base for the innovation and development of mathematics concept further-teaching and creative teaching design is the key to it.

mathematics concept further-teaching; mathematics thinking method; the culture of mathematics; mathematical thinking

G420

：A

：1004–9894（2015）02–0083–05

[責任編校：周學智]

2014–11–12

天津市教育科學“十二五”規劃課題——教育統計與測評技術在高中教學管理中的應用研究（BEYP5007）

梁棟（1962—），男，天津武清人，中學特級教師，主要從事中學數學課堂教學研究．朱鴻玲為本文通訊作者．