淺談抽象函數的圖像對稱性、周期性及奇偶性的關系

肖浩春

【摘要】函數是中學數學的主要內容，本文將闡述函數的圖像具有對稱性的充要條件以及函數圖像的對稱性、函數的周期性、函數的奇偶性三者之間的關系.

【關鍵詞】函數;性質;關系

函數是支撐數學科知識體系的主要內容，是貫穿中學數學的一條主線，是學習高等數學的基礎，因此在每年的高考數學試題中，函數試題占有較高的比例，并達到必要地深度.本文將對函數的圖像對稱性、周期性及奇偶性的關系作一些探討.

定理1：函數y=f（x）的圖像關于直線x=a+b2 對稱的充要條件是f（a-x）=f（b+x）對定義域內的每一個x都成立.

證明 充分性：若f（a-x）=f（b+x）對定義域內的每一個x都成立，設P（x0，y0）是y=f（x）的圖像上的任一點，則y0=f（x0），點P關于直線x=a+b2 的對稱點是Q（a+b-x0，y0）.

∵f（a+b-x0）=f[b+（a-x0）]=f[a-（a-x0）]=f（x0）=y0，

∴點Q（a+b-x0，y0）在函數y=f（x）的圖像上，∴y=f（x）的圖像關于直線 x=a+b2對稱.

必要性：若函數y=f（x）的圖像關于直線 x=a+b2對稱，設A（x，y）是y=f（x）的圖像上的任一點，則y=f（x）上點A關于直線x=a+b2 的對稱點為B（a+b-x，y）.∵y=f（x）的圖像關于直線x=a+b2對稱，點B在y=f（x）的圖像上，∴f（a+b-x）=y.∴f（a+b-x）=f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=f（b+x）.

特殊地，當a=b=0時，定理1為：函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（-x）=f（x）對定義域內的每一個x都成立.這是偶函數的一個性質.

推論1：函數y=f（x）的圖像關于直線x=a+b2 對稱的充要條件是f（a+b-x）=f（x）對定義域內的每一個x都成立.

推論2：函數y=f（x）的圖像關于直線x=a+b2 對稱的充要條件是f（a+b+x）=f（-x）對定義域內的每一個x都成立.

定理2：函數y=f（x）的圖像關于點（a+b2，0）對稱的充要條件是f（a-x）=-f（b+x）對定義域內的每一個x都成立.

證明 充分性：若f（a-x）=-f（b+x）對定義域內的每一個x都成立，設P（x0，y0）是y=（x）的圖像上的任一點，則y0=f（x0）上點P關于點a+b2，0的對稱點為Q（a+b-x0，-y0）.

∵ f（a+b-x0）=f[a-（x0-b）]=-f[b+（x0-b）]=-f（x0）=-y0，

∴點Q（a+b-x0，-y0）在y=f（x）的圖像上.∴y=f（x）的圖像關于點a+b2，0對稱.

必要性：若y=（x）的圖像關于點（a+b2，0）對稱，點A（x，y）是y=f（x）的圖像上的任一點，則y=f（x）上點A關于點（a+b2，0）的對稱點為B（a+b-x，-y）.∵y=f（x）的圖像關于點（a+b2，0）對稱，∴點B在y=f（x）的圖像上.∴f（a+b-x）=-y.∴f（a+b-x）=-f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=-f（b+x）.

特殊地，當a=b=0時，定理2為：函數y=f（x）的圖像關于原點對稱的充要條件是f（-x）=-f（x）對定義域內的每一個x都成立.這是奇函數的一個性質.

推論1：函數y=f（x）的圖像關于點（a+b2，0）對稱的充要條件是f（a+b-x）=-f（x）對定義域內的每一個x都成立.

推論2：函數y=f（x）的圖像關于點（a+b2，0）對稱的充要條件是f（a+b+x）=-f（-x）對定義域內的每一個x都成立.

定理3：（1）y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱;（2）y=f（x）的圖像關于直線x=b（b≠a）對稱;（3）y=f（x）是周期函數，且T=2（b-a）為其一個周期.

以其中任兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，得到的三個命題均是真命題.

若以（1）（2）為條件，（3）為結論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關于直線x=a與x=b對稱，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數，且T=2（b-a）是它的一個周期.

若以（1）（3）為條件，（2）為結論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱，∴f（2a-x）=f（x）.又∵y=f（x）是周期函數，且2（b-a）是它的一個周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）的圖像關于直線x=b對稱.

同理可證以（2）（3）為條件，（1）為結論所得的命題的正確性.

推論：（1）y=f（x）是偶函數;（2）y=f（x）的圖像關于直線x=a（a≠0）對稱;（3）y=f（x）是周期函數，且T=2a為其一個周期.

以其中任兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，所得的三個命題均是真命題.

定理4：（1）y=f（x）的圖像關于點（a，0）對稱;（2）y=f（x）的圖像關于點（b，0）（b≠a）對稱;（3）y=f（x）是周期函數，且T=2（b-a）為其一個周期.

以其中任兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，所得的三個命題均為真命題.

若以（1）（2）為條件，（3）為結論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關于點（a，0）與（b，0）對稱，

∴f（2a-x）=-f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數，且T=2（b-a）是它的一個周期.

若以（1）（3）為條件，（2）為結論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關于點（a，0）對稱，∴f（2a-x）=-f（x）.又∵y=f（x）是周期函數，且T=2（b-a）是它的一個周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=-f（x）.

∴y=f（x）的圖像關于點（b，0）對稱.

同理可證以（2）（3）為條件，（1）為結論所得的命題的正確性.

推論：（1）y=f（x）是奇函數;（2）y=f（x）的圖像關于點（a，0）（a≠0）對稱;（3）y=f（x）是周期函數，且T=2a為其一個周期.

以其中任兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，所得的三個命題均是真命題.

定理5：若y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱，且關于點（b，0）（b≠a）對稱，則y=f（x）是周期函數，且T=4（b-a）為其一個周期.

證明 ∵y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱，且關于點（b，0）對稱，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+4（b-a）]=f[2b-（4a-2b-x）]=-f（4a-2b-x）

=-f[2a-（2b-2a+x）]=-f（2b-2a+x）=-f[2b-（2a-x）]

=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數，且T=4（b-a）為其一個周期.

推論1：若y=f（x）是偶函數，且其圖像關于點（a，0）（a≠0）對稱，則y=f（x）是周期函數，且T=4a為其一個周期.

推論2：若y=f（x）是奇函數，且其圖像關于直線x=a（a≠0）對稱，則y=f（x）是周期函數，且T=4a為其一個周期.

例1 已知函數f（x）定義在實數集R上，且對一切實數x滿足等式f （2+x）=f（2-x）和f（7+x）=f（7-x），設x=0是f（x）=0的一個根，記f（x）=0在[-1000，1000]中的根的個數為N，求N的最小值.（1984年第2屆美國數學邀請賽試題）

解 依題意，f（x）的圖像關于直線x=2和x=7對稱，據定理3知f（x）是周期函數，且T=2（7-2）=10為其一個周期，又f（4）=f（2+2）=f（2-2）=f（0）=0，f（10）=f（7+3）=f（7-3）=f（4）=0，∴f（x）=0在[0，10）上至少有兩個根.∴f（x）=0在[-1000，1000]上至少有200×2+1=401個根.故N的最小值為401.

例2 已知y=f（x）是奇函數，且f（3）=50，g（x）=f（x+2）也是奇函數，試求f（2003）的值.

解 ∵g（x）=f（x+2）是奇函數，∴其圖像關于點（0，0）對稱.∴y=f（x）的圖像關于點（2，0）對稱.據定理4的推論知f（x）是周期函數，且T=4為其一個周期.