數學方法論中“化歸法”的教學反思

閆潔

【摘要】 “數學方法論”中的“化歸法”，是一種十分行之有效的教學手段，但是在實踐時，“化歸法”又需要教師對化歸的概念有較清晰的理解，對操作過程有較詳實的記錄 ，對結果有較客觀的評述和總結. 數學的教學本身強調的不僅僅是拔高學生的解題能力，還意在培養學生對知識有真正完整的、成體系的理解和掌握. 在課堂的教學實踐中，如何巧妙設計本節的化歸著手點，如何讓教學程序在教師的引導下有序展開，如何讓學生真正理解和喜愛數學知識，是需要教師不斷進行學情分析、知識解析和自我剖析的.

【關鍵詞】 數學方法論;化歸法;教學反思

據說數學家波利亞也曾有過和“化歸”思想相關的燒水趣聞：一個煤氣灶，一個水龍頭，一盒火柴，一個空水壺，如何燒開一滿壺水？物理學家覺得應該打開水龍頭，將裝有半壺水的壺灌滿，再放到煤氣灶上，用火柴點燃煤氣灶把水燒開. 但數學家的回答是：先把裝了半壺水的水壺倒空，然后去放在水龍頭下灌滿水，再放在爐上，將水燒開，因為這樣才是“將新問題化歸為熟知的舊問題”. 如此類似的趣聞還有歐拉的七橋問題，據說是在普雷格爾河中有兩個島、七座橋，如何能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到同樣的出發點. 大數學家歐拉把橋簡化為線，大地簡化為點，但由于“通過交點的曲線總是偶數條”的論斷，故“一筆畫完”是不可能實現的數學問題，也就是在現實中不可能實現的實際問題.

化歸的思想就是如何能夠把實際的題目轉化為數學的題目，再把數學的題目轉化為純代數的題目，繼而把純代數的題目轉為簡單的解方程的過程. 文章首先是介紹了本節課所需用的若干概念定義，然后帶領學生反復梳理最簡單最經典的公式：Distance = Speed * Time，以及一些簡單的“已知路程和時間求速度”“已知速度和時間求路程”以及“已知路程和速度求時間”的題目，讓學生們感知“if we know two variables in this equation， it will be easy to find the 3rd variable”. 然后給出化歸的初始步驟：列表，把所有已知條件全部填空進去（見下圖）.

這是初始的一步，也是十分簡單易操作的一步，學生僅僅需要把應用題中的數字摘出來填入表格內即可，大家普遍表示“this step seems like easy”. 然后教師提醒大家關注time of train A和time of train B 之間的聯系（學生們很快回復說the two trains will start at the same time and also meet with each other at the same time which means the time of A equals to the time of B），這時就可以把表格充實為下表. 那么此時就十分自然地推導出表中最后一列應該是來源于同行的左邊兩格的乘積，也就出現了“40x”和“60x”兩個路程量，此時進一步詢問學生：“What is the relationship between the two distances？”學生們稍遲疑后表示“their sum equals to 200mi”，然后問題就迎刃而解了. 這里是一個把“應用題化歸為表格填空題再化歸為解方程繼而得到原題的解”的過程.

數學方法論中的化歸法能夠在一定程度上幫助教學工作者優化課堂授課效果，但其實施需要任教者和受教者的完美配合，需要避免課堂中的低效現象，更需要教師把握好“課前設計——課中調整——課后反思”的環節，讓學生的認知能夠得到盡可能完善的充實和完善.

【參考文獻】

[1]章士藻，段志貴，陳漢平.數學方法論簡明教程[M].南京：南京大學出版社，2008.

[2]徐利治.淺談數學方法論[M].大連：大連理工大學出版社，2009.

[3]笛卡爾.笛卡爾思辨哲學（新版）[M].九州出版社，2004.