解圓錐曲線的最值問題的有效性策略

黃詩(shī)賢

【摘要】圓錐曲線是高考必考內(nèi)容，在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，圓錐曲線的最值問題頻繁出現(xiàn)在高考試題中，最值問題解題方法較為靈活，同學(xué)們常感覺無從下手，它可以考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查同學(xué)們的思維能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力.本文就如何提高解圓錐曲線的最值問題的有效性策略提出看法.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；最值問題；有效性策略

解圓錐曲線的最值問題的有效性策略一：

圖 1用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值.

例1 如圖1，已知點(diǎn)F是雙曲線x24-y212=1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A1，4，P是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為.

解題思路 取雙曲線右焦點(diǎn)G，由雙曲線的定義，得|PF|-|PG|=2a=4，即，|PF|=|PG|+4，則|PA|+|PF|=|PA|+|PG|+4.要取最小值，只要滿足A，P，G三點(diǎn)共線，此時(shí)最小值為|AG|+4=5+4=9.

圖 2例2 如圖2，F(xiàn)是橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)，A1，1 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最大值為.

圖 3解題思路 取橢圓右焦點(diǎn)G，由橢圓的定義得|PF|+|PG|=2a=4，即|PF|=4-|PG|，所以|PA|+|PF|=|PA|-|PG|+4，由三角形三邊關(guān)系得|PA|-|PG|<|AG|，即-|AG|<|PA|-|PG|<|AG|，要使|PA|+|PF|取最大值，只需P，A，G三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在射線AG上，如圖3所示，此時(shí)|PA|-|PG|=|AG|=5，所以|PA|+|PF|的最大值為4+5.若是求|PA|+|PF|的最小值，又該如何呢？道理是一樣的，只需P，A，G三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在射線GA上，易求得最小值為4-5.

策略一重在理解定義，靈活運(yùn)用定義，借助平面幾何的有關(guān)結(jié)論，以數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想尋求解題思路.

解圓錐曲線的最值問題的有效性策略二：

將所求最值目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)、不等式知識(shí)求最值.

圖 4例3 如圖4，P，Q分別是拋物線c：y2=4x與直線l： x-y+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解題思路 因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可設(shè)P（y204，y0），則點(diǎn)P到直線l的距離為d=y204-y0+32，整理得d=28（y0-2）2+2，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)y0=2時(shí)，d有最小值2，即PQ的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）.

圖 5例4 如圖5，已知拋物線c的方程為y2=4x，過焦點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與拋物線c相交于點(diǎn)A，B，l2與拋物線c相交于點(diǎn)D，E，求四邊形ADBE面積的最小值.

解題思路 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)閘1過焦點(diǎn)F（1，0），所以設(shè)l1：y=k（x-1），因?yàn)閘1與拋物線c相交于點(diǎn)A，B，所以聯(lián)立方程組得y=kx-1y2=4x，消去y并整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，對(duì)|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2整理得|AB|=4（1+k2）k2，因?yàn)橹本€l1，l2互相垂直，所以設(shè)l2：y=-1k（x-1），同理得|DE|=4（1+k2），由S=12|AB|·|DE|，得S=8k2+1k2+2，由不等式性質(zhì)得k2+1k2≥2k2·1k2=2，所以ADBE面積的最小值為32.

策略二重在建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)和不等式知識(shí)，以數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想尋求有效的解題思路.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]潘廣英.例析圓錐曲線中的最值問題.中學(xué)生數(shù)理化（高二、高三版），2010（11）.