數形融合 梯度深化 創新方法 思想升華

劉英英

【摘要】函數、方程、不等式是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，它蘊含著豐富的數學思想和方法.通過對“三個一次”“三個二次”的對比分析，構建知識體系，關注內在聯系，遷移創造，數形結合，梯度深化.

【關鍵詞】函數；方程；不等式；數形結合；數學思想

千變萬化的現實世界中蘊藏著各種各樣的客觀規律，這些規律可以用“數”（函數、方程、不等式）來描述，也可以借助“形”來呈現.函數、方程、不等式是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，它蘊含著豐富的數學思想和方法.函數、不等式、方程它們是動與靜的關系，是變量與常量的關系，靜是點，動是線，常量是變量的瞬間.在變化中，在規律中，在動靜之中函數、方程、不等式既各自獨立又相互聯系，共同組成了“數與代數”的核心內容.

一、依課標，現體系，乍現數形結合

（一）課程標準（7～9年級）學段目標

1.知識技能：體驗從具體情景中抽象出數學符號的過程，掌握方程、不等式、函數進行表述的方法；

2.數學思考：通過用方程、不等式、函數表述數量關系的過程，體會模型思想，建立符號意識；

3.問題解決：經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法；

4.情感態度：在運用數學表述和解決問題的過程中，認識數學具有抽象、嚴謹和應用廣泛的特點，體會數學的價值.

（二）北師大版教材對于“方程、不等式、函數”內容的編排如下

通過7～9年級學習目標和課程內容編排可以看出：教材內容螺旋上升，逐步深化，同一類問題從不同角度理解分析，實現了從“四基”到“四力”（四基：基礎知識、基本技能、基本數學思想方法、基本活動經驗，四力：提出問題、發現問題、分析問題、解決問題的能力），實現了從初步感知→ 聯系實際→ 梯度深化→ 尋求關聯→構建體系→探尋本質.在學習遞進中，數學思想方法的教學呈階梯式層次結構：二、借一次，分層次，初論以數解形

案例1 一次函數y=2x+5，當x取何值y>0，y=0，y<0？（北師大版八年級下冊課本習題）學生已經學習了一次函數和一元一次不等式，能夠用“數”和“形”兩種方式來解決，通過列表、描點、連線畫出函數圖像，體會靜態點、動態線（點動成線），線是點的集合的思想，方程與函數的動靜變化躍然紙上.

通過三個一次的對比使學生經歷了“從簡單到復雜，從特殊到一般，從具體到抽象”的遞進過程，體會分類討論、數形結合的思想和方法，體驗到回歸“基本概念、基本性質、基本算理”的解題通法.

三、用二次，漸深化，再論以形助數

案例2 在二次函數的學習中，課本僅涉及了二次函數與一元二次方程之間的轉化，學生雖沒有接觸過一元二次不等式，但能否類比“三個一次”的問題，“以形助數、以數驗形”豐富解決問題的策略，發展思維深度，引導學生感受數學的通法.

1.基本題型

二次函數：y=x2-2x-3 當x取何值y>0 y=0 y<0

數：一元二次方程

因式分解法——有理數乘法法則、因式分解.

對比兩種解法，入手點雖有不同但殊途同歸，都達到了降次轉化的目的，兩種解法類比一元二次方程的解法去解一元二次不等式，達到了方法的正向遷移，兩種解法提取的知識儲備略有差異，但都回歸到了基本法則、基本概念、基本性質通法.

2.特殊到一般

3.歸納總結，抽象概括

在構建數學知識體系時，首先要關注問題的內在聯系，把握知識的梯度和整體的規律，優化組織架構，探尋問題本質，將零碎的知識有機融合.

四、攬全局，尋通法，數學思想漸升華

數學思想方法是數學的靈魂，思想有角度、有深度、有生命，知識可以用文字陳述并掌握.而深邃的思想則要通過數學符號化的過程來獲得.數學思想蘊含

于數學內容中，坐標系蘊含數形結合、方程函數蘊含模型思想、函數圖像蘊含運動變化思想、方程不等式蘊含化歸思想.

在三個一次與三個二次的對比歸納中，在數形共同分析、解決問題的過程中，對比優勢，體會“數”“形”二者之間的互補作用，突出特殊的轉化作用，從整體上認識函數的本質屬性，“數形遷移、動靜轉換”.在運用“配方法”“因式分解法”解一元二次不等式中，通過降次化繁為簡、化生為熟、化未知為已知，新舊知識在此“血脈相承”.

通過將教材不同層級的內容——“三個一次”與“三個二次”的類比、抽象、深化，加強同類知識之間的橫向與縱向的聯系.從函數的角度對方程和不等式重新進行分析，引導學生關注函數的本質，滲透“運動變化和聯系對應”，將“”

三個數學對象融為一體，統一認識，“見樹木更見森林”，在更高的起點上對函數、方程、不等式進行動態分析，從而達到知識的融會貫通.在構建知識體系的過程中，滲透函數的統率作用，幫助學生逐步形成認識、分析問題時“先從特殊對象切入，再拓展推廣到一般”的策略，提高多角度、靈活分析和解決問題的能力.

通過“三個一次”“三個二次”的對比，構建知識體系，關注內在聯系，通過類比解決一元二次不等式的新問題，學生調動知識儲備去感悟通則，解題通法由此生成.學生在遷移創造的過程中實現了元認知，既體現了其形成的有形過程，又經歷了無形的數學創造性文化的熏陶過程，在這個過程中，知識的種子生根、發芽，數學知識在融合中創新，數學方法在創新中發展，數學思想在發展中升華.

【參考文獻】

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