高中數學開放性習題研究

王瀅

【摘 ? ?要】近幾年來，高中數學中的開放性題目顯著增多，本文對高中數學開放性習題的特點、分類和解決方法三個方面做了簡單闡述，希望對高中數學教學有所幫助。

【關鍵詞】高中數學 ?開放性習題 ?特點 ?分類 ?解題方法

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.023

隨著素質教育和新課改的不斷推進，教育更加注重學生的創新能力和實踐能力，重視學生思維能力的培養。高中數學作為一門訓練學生思維能力的學科，在近幾年的考試中注重學生思維的開放性和靈活性，開放性習題的數量大大增加，本文對此題型并結合自己的教學經驗，淺談對開放性習題的看法。

一、開放性習題的特點

之所以被稱之為開放性習題是因為其具有一定的開放性，所謂開放性就是與常規習題不一樣，它注重考察學生的知識的整體運用能力、思維的發散性和靈活性，能讓學生的思維能力得到較充分的培養和提高，而常規習題的作用強調學生對知識的掌握和運用，對所學知識起到鞏固和檢驗的作用。開放性習題的特點具體體現在以下幾個方面：

（一）涉及的知識面較為廣泛

開放性習題在解題時運用到的知識較為廣泛，他不跟一般習題一樣，是針對某個知識點的應用，更多的會涉及到多個知識點的整體運用，對學生所學知識的整體運用能力提出了考驗，注重考查學生對知識的遷移運用能力。此外，開放性習題涉及到的題材較為廣泛，貼近生活實際，體現現實生活中對數學知識的應用，不僅在學習上對學生的學習能力進行檢驗，還能拉近學生與數學之間，數學與生活之間的距離，讓學生認識到數學在生活中的作用，從而提高學生學習數學的興趣和動力。

（二）題目類型新穎多樣

與一般題目相比，開放性習題的題目類型更加新穎多樣。這與兩者的不同作用有關，一般題目主要考查學生對某個具體知識點的掌握和運用情況，因此，在設計上主要針對某個知識點，題目類型比較單一。開放性習題注重學生發散思維能力的培養，考查學生對知識的整體遷移能力，在題目設計上要給學生以啟發，因此，在題目設計上要比一般題目更加具有多樣性和新穎性。除了單一的文字敘述外，還可以運用圖畫、圖表、對話等形式，在題目的設計上就可以讓學生眼前一亮，能夠提高學生的解題興趣，激發學生思考的欲望。

（三）注重發散性思維的鍛煉

由于開放性習題的在設計時考查學生對知識的整體運用能力，考查學生的發散思維能力和創新能力，在解題方法和解題思路上富有多樣性，答案具有不唯一性，因此，開放性題目具有鍛煉學生思維能力的特點。

（四）注重創新性

與一般題目相比，開放性題目更具有創新性，體現了新課改和素質教育下，對學生能力的培養。解題思路的發散性，題目設計上的新穎、多樣性都是其創新性的表現。

二、開放性習題的分類

數學題一般包括條件、依據、方法和結論四個要素，根據開放性習題所尋求的答案我們一般將之分為四類：第一類為條件開放題，這類題目尋求的答案是數學題的條件。第二類為策略開放題，這類題目尋求的答案是數學題的依據和方法。第三類為結論開放題，這類題目尋求的答案是數學題的結論。第四類為綜合開放題，這類題目側重對學生對條件或者結論或者依據方法等的綜合考察，考察的不是數學題的一個方面，要求學生在已知條件或者情境中尋找多個數學因素。

（一）條件開放題

條件開放性習題也就是給出結論，依據結論尋求條件的題目，如關于圓錐曲線的一道題目：已知以坐標原點為中心，一焦點坐標為（5，0）的曲線，在添上什么條件可求得此方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。這就是一道條件開放性題目，已知結論為方程，求得出方程的條件。該題目考查學生對雙曲線的定義、標準方程以及圖像和性質的綜合運用情況，可以鍛煉學生對知識整體遷移能力。

（二）策略開放題

策略開放性題目就是在條件和結論已知的情況下，探索兩者能夠相互成立的路徑，重在考查學生在探求路徑過程中的發散思維和創新思維的過程。如，大家耳熟能詳的雞兔同籠問題，就是一道策略開放題，針對雞兔同籠問題學生可以運用算數方法，假設兔子的數量為零，再結合題目中腿的數量求出，也可以利用代數方法，假設雞和兔子的數量都為未知，根據方程式求出雞和兔子的數量，也可以自己創設情境，假設雞和兔子的腿都減少一半在根據題目已知求出雞和兔子的數量，每一種解題方法都是學生思維能力的表現。

（三）結論開放題

結論開放性題目，也就是題目的結論具有多樣性，如，寫出幾個以y軸為對稱軸的三角函數。這就是一道結論開放性題目，通過分析，學生很容易根據以y軸為對稱軸的函數具有的特點找出與之對應的三角函數，以y軸為對稱軸的函數，一般具有以下特點，是偶函數，有些函數的對稱變換也是以y軸為對稱軸，根據其奇偶性和對稱函數，就可以找出問題的答案。

（四）綜合開放題

綜合性開放題就是題目給出一定的情景，讓學生根據問題和題目情境自己設定條件和解題策略等等的題目，如給出一系列數字，找出其特點和性質：

（1）1，2，3，4，5，6，7，8，……

（2）1，3，5，7，9，11，13，15，……

（3）2，4，6，8，10，12，14，16，……

（4）4，8，12，16，20，24，……

（5）5，10，15，20，25，30，……

（6）1，1，1，1，1，1，1，1，1，……

通過觀察學生可以發現這一些數字中的諸多特點，考查學生思考問題是的全面性，有利于學生的發散性思維和靈活性思維能力的培養。

三、開放性習題的解題方法

開放性習題涉及到數學知識的方方面面，其解題方法和思路也是多種多樣的，數學學習重在日常生活中的積累和總結，通過練習題找到解題的方法和思路，并在此過程中培養和提高自身的創新性思維和發散性思維能力。以下只是選取眾多開放性題目中的幾個淺談其解題方法。

（一）利用函數模型解決實際問題

近年來，利用數據模型解決實際問題的題目越來越多，數據模型主要包括不等式模型、排列模型、數列模型等，這類方法主要在應用題中的運用較多，如，生產企業要生產兩種不同的飲料，每一百箱的

A飲料需用6kg的原料，人力10個，可得到利潤10萬元;每一百箱B飲料需要5kg的原料和人力20個，可獲得的利潤為9萬元。現企業有原料60kg，人員150個，由于其他條件限制所以A產量不能大于800箱，那應如何安排（下轉第102頁）（上接第23頁）生產方案，既能夠使得企業生產兩種飲料又能夠獲得最大的利潤？（1）如果投資8000元可以增加原料1kg，問是否應該投資？（2）若果每一百箱的A飲料獲得利潤1萬元，是否改變生產計劃？針對這種類型的題目重在選對模型，思路清晰就可以尋找出正確的答案。

（二）利用圖形解決數字問題

有些數字型的題目可以轉化為圖形的形式解決，如，根據x，y的圖表數據，分析出X對于Y的函數。

x=……1，3，5，8，9，12，16，…;

y=……1，8，24，65，102，256，560，…。

這類題目就可以利用圖形的形式解決，步驟就是：一建立坐標系，二標出對應的x，y值，三猜測函數的模型。這類題目的答案不是唯一的，重要的是學會如何解決這類題目。

開放性題目重在對學生進行思維能力的培養，做為高中數學教師要不斷探索創新，找出更加適合學生的教學方式和方法，為社會培養出更多的棟梁之才。