數學問題解決研究綜述數學問題解決研究綜述

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【摘要】問題解決是數學教育的核心，有關數學問題解決的研究引起了國內外數學教育家的重視.本文在查閱有關文獻資料的基礎上，主要從數學問題解決的發展、數學問題解決的理解、數學問題解決的幾種模式、影響數學問題解決的因素幾個方面進行闡述，并提出可進一步研究的問題.

【關鍵詞】數學問題解決；模式；影響因素

一、數學問題解決的發展

雖然有關問題解決的教學與研究早就有了，但把問題解決作為數學教育中的口號還是近幾十年的事.90世紀50年代興起的席卷大半個世界的“新數”運動，過分強調數學的抽象結構，卻忽視了數學為現實生活服務，到70年代已呈急劇衰退之勢，在重評“新數”運動的過程中，又出現了“回到基礎”的口號，強調掌握最低限度的基本技能，有關問題解決的研究呈現上升之勢.

20世紀七八十年代，我國主要從翻譯介紹波利亞的幾本數學教育名著開始，引進國外有關數學問題解決的成果.我國雜志《數學通報》（1981年第2期曹才翰文、1988年第3期任子朝文）、《數學教學》（1981年曹錫華文、1988年第2期貝克文）等對“問題解決”予以介紹.心理學家也開展了有關數學問題解決的實證研究.有學者以初中生為研究對象，采用口語報告的方式研究了學生解決幾何問題的思維過程；還有研究者以初中生為研究對象，采用口語報告的方法研究了學生解代數應用題的認知模式.90年代以來，有關數學問題解決的研究立足我國教學實際，開始探討問題解決對數學教育的影響及功能，教學實驗的數量進一步增多，研究深度有所提高.

21世紀開始，隨著研究進入深化階段，有關數學問題解決的論文逐漸增多.近年來，隨著課程改革的不斷深入，問題解決成為數學教育中的一個熱點問題.根據CNKI的檢索結果，早期的有關數學問題解決的文章有1993年傅敏、丁拓的《數學問題解決學習的心理過程及相關因素分析》，1993年黃曉學《數學元認知在數學問題解決中的作用》，1994年劉卓雄在寧德師專學報發表的《問題表征與數學問題解決》以及于克芳、馬靜如1994年發表的《數學問題解決的含義及問題解決能力的構成成分》，早期的文章主要是以理論介紹為主.2000年廣西師范大學的廖運章以《數學應用問題解決認知心理的實證研究》作為學位論文，對不同年級學生的認知表征、解題策略、元認知各監控的差異進行了實證研究.

二、數學問題解決的含義

1.基于心理活動的理解

行為主義心理學家把問題解決解釋為是由刺激引起的個體的反應.美國教育學家杜威視問題解決為有意識的、深思熟慮的心智過程，此過程會伴隨一連串的心理活動.

安德森把問題解決定義為任何受目標指引的認知性操作序列，其中包括三方面的因素：目標的指引性、操作序列及認知性的操作.

我國學者曹才翰在《數學教育學概論》中指出：問題解決是指“人們在面臨新情境、新課題，而這些新情境與新課題用已有的知識經驗不能直接解決，并且自己又沒有現成對策、答案或解決方法時，所引起的尋求處理問題的一種緊張的心理活動”.

2.基于過程的理解

美國全國數學管理者大會把“問題解決”定義為：“將先前已獲得的知識應用于新的、不熟悉的情境的過程.”該觀點認為不僅要關注問題的結果，更要關注求得某一結果的過程.

李勝平從系統論的觀點給出數學問題解決的概念，他認為“數學問題解決是利用解題者原數學信息庫中的信息，將數學問題輸入條件信息進行處理、編碼、加工，采取一定的思維對策，運用運算來改變系統狀態的這樣一個思維過程”.

3.基于數學能力的理解

英國學校數學教育調查委員會報告《數學算術》認為：把數學應用于各種情形的能力就是問題解決.于子孝從數學知識應用的角度認為，“數學問題解決”是一種把數學應用于各類實際數學問題的綜合性的能力，是學生數學素質的一種具體體現和展示，反映了學生數學素養和技能的程度.

綜合以上觀點，雖然不同的學者對問題解決定義的方式不盡相同，但一般認為，問題解決不等同于“解題”，而是在解題基礎上的延伸，不是簡單、機械地模仿，具有發現與創新的成分.

三、數學問題解決的模式

1.波利亞的解題模式

波利亞是數學問題解決研究中的代表人物，他的“怎樣解題表”對于數學問題解決具有重要的指導意義.他把數學解題過程歸結為四個階段：“弄清問題”“擬定計劃”“實現計劃”“回顧”.

2.匈菲爾德的數學解題模式

匈菲爾德強調數學問題解決的研究方向需要考慮四個因素，即：知識基礎、解題策略、自我控制、信念系統，他根據元認知的觀點，將解題過程分為：讀題、探索、分析、計劃、執行.

3.杜威的問題解決過程模型

美國的教育學家杜威視問題解決為有意識的、深思熟慮的心智過程，此過程會自然地伴隨著一連串的心理活動，其中包括：呈現問題、定義問題、形成假設、測驗假設、選擇最佳的假設五個過程.

4.國內學者的解釋

喻平認為解決數學問題分為理解問題、選擇算子、應用算子、結果評價四個階段，其認知過程為問題表征、模式識別、知識遷移、思維監控.在數學問題的理解階段，解題者要將外部信息轉化為內部信息，區分問題中的有關信息和無關信息，并初步識別問題的類型.在選擇算子階段，解題者在解題監控作用下，擬定解題方案，進行對外部模式的識別和外部與內部模式的匹配.在應用算子階段，解題者需要調動與外部信息相匹配的模式.在第四階段，解題者要對解題結果進行評判和檢驗，同時反思解題過程.

何小亞認為解決數學問題的心理過程包括四個階段：①意識到問題的存在，這是解決問題的先決條件；②表征問題，這是問題解決的一個中心環節，表征方式有內部表征（心理表征）和外部表征兩種方式；③確定解決問題的策略并嘗試解決，它決定著問題解決的方向與成敗；④評價與反思，它可以使我們更好地理解某一方法的實用性，思考為什么一種方法在某種情境中不適用，有助于在其他情境中更好地運用.

四、影響數學問題解決的因素

美國數學教育家舍恩菲爾德從數學、教育學、心理學方面做了深入研究，提出了問題解決能力的四個構成要素：①認知的資源.這是指解決者所具有的與問題有關的數學知識.②發現式解題策略.這是指解決非常規式、非標準的問題時所用的策略和技巧，是以發現和發明為目的的技能.③控制.這是指對資源和策略的選擇和執行作出相關的重大決定，即對解題過程的控制.它包括設立解題計劃、選擇有效的過渡問題、對解決過程的監督和對結果的評價、計劃的放棄和改正.④信念系統.這是指解題者怎樣看待自己、怎樣看待數學、怎樣看待問題、怎樣看待周圍環境.這與前三個要素不同，它不是認知方面的，而是情感方面的，對解題者的行為有重要的影響.

萊斯特認為影響數學問題解決有多重因素，其中有四種主要因素：問題自身——任務變量，即問題本身的結構、難度以及所涉及的數學知識直接影響著問題的解決；解題者的特征——主體變量，即解題者的知識結構、能力及認知風格對解題的影響；解題行為——過程變量，解題者在解題過程中的外顯及內隱行為對解題的影響；環境特征——指示變量，外部環境對解題的影響.

鄭君文認為影響問題解決的因素：總的來說，有以下三方面：一是問題情境因素，二是學習者個人的特征，三是認知策略.問題情境因素包括問題的不同類型及難度、問題的陳述方式及知覺圖示的難易程度.學習者個人的特征主要指知識經驗基礎、個性品質、學習能力.認知策略有兩方面，一是一些促進問題解決的策略，如突破常規，產生不同尋常的新看法或新想法，改變思考問題時的方向，摸清問題的要點，聯想與問題有密切關系的事實和條件；二是認知故障.

何小亞認為有三種因素影響著問題解決者意識到問題的存在：一是動機因素，尤其是內在動機；二是學習方式；三是問題解決者缺乏與問題相關的專業知識.洪秀滿認為影響解決問題的基本因素，知識經驗基礎、對數學材料形式化的抽象概括水平、解題過程中的自我意識與監控水平.

綜合以上觀點可以看出，影響數學問題解決的因素可以分為內在因素和外在因素.內在因素如興趣、認知基礎等，外在因素如問題的表征方式、問題的難度等.

五、有待進一步研究的問題

1.關于研究背景

新課改強調學生知識的獲取過程，數學問題解決同樣不僅關注問題的結果，更要關注某個結果取得的過程，在新課改的背景下，在現行的教材體系和教學要求之下，研究學生的數學問題解決能力是關于數學問題解決教學的定位問題時首先需要解決的.只有解決好這個問題，才能卓有成效地研究相關問題.

2. 關于研究對象

以往有關數學問題解決的研究主要在中小學生中進行，有關大學生數學問題解決能力的研究不是很多.唐劍嵐和周瑩對師范大學生數學問題解決中的元認知進行了研究，發現大學生在數學問題解決中的元認知保持一定程度的差異，女生的總體水平優于男生.受此啟發，可以研究大學生數學問題解決能力與數學基礎的相關性如何？大學生數學問題解決能力是否與大學生的學習任務、職業方向有關？數學問題解決能力能否遷移到其他學科中？

3.與跨文化研究相結合

跨文化的相關研究表明，少數民族與漢族兒童在數學認知發展心理、平面幾何學習、數學記憶等方面存在一定的差異性.在跨文化的觀點下，研究不同民族、不同地區、不同文化背景下學生數學問題解決能力的差異性，將數學教育的跨文化研究與數學問題解決研究結合起來，對提高民族地區的教學質量具有積極的意義.

【參考文獻】

[1]戴再平.數學習題理論[M].上海教育出版社，1996.

[2]喻平，連四清，武錫環.中國數學教育心理研究30年[M].科學出版社，2011.

[3]傅敏，丁拓.數學問題解決學習的心理過程及相關因素分析[J].西北師范大學學報，1993.

[4]黃曉學.數學元認知在數學問題解決中的作用[J].數學教育學報，1993.

[5]廖運章.數學應用問題解決認知心理的實證研究[D].廣西師范大學，2000.

[6]李勝平.論數學問題解決的系統思維方法策略[J].云南師范大學學報，2007.

[7]于子孝.淺議“數學問題解決”[J].高校理科研究.

[8]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[9]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海教育出版社，2009.

[10]喻平.數學問題解決認知模式及教學理論研究[D].南京師范大學，2002.

[11]何小亞.解決數學問題的心理過程分析[J].數學教育學報，2004.

[12]鄭君文，張恩華.數學學習論[M].廣西教育出版社，1999.

[13]喻平.數學教學心理學[M].北京師范大學出版社，2010.

[14]呂曉亞.數學問題解決研究綜述及其啟示[J].高校理科研究.

[15]唐劍嵐，周瑩.師范大學生數學問題解決中的元認知研究[J].數學教育學報，2006.