國學經典中的數(shù)學思想方法賞析

劉勝月　劉戌昕

【摘 要】本文主要挖掘揭示了一些國學經典中的數(shù)學思想方法，從數(shù)學視角研究國學內涵，通過典型例題具體分析說明成語典故的哲理在數(shù)學命題、解題中的應用，旨在引導學生學數(shù)學、用數(shù)學、欣賞數(shù)學，使數(shù)學進一步貼近大眾。

【關鍵詞】國學經典 數(shù)學思想方法 命題 解題 賞析

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）08-0120-02

一 國學經典中的數(shù)學思想方法

后發(fā)制人，出自《孫子·軍爭》：“后之發(fā)，先之至，此用兵之要術也”，意為等對方先動手，再抓住有利時機反擊，制服對方。蘊涵極限定義思想方法。在函數(shù)極限的ε-δ定義中，對任意ε>0，總存在δ>0，使得當0﹤∣x-x0∣﹤δ時，都有∣f（x）-A∣﹤ε，則稱f（x）在x趨向于x0時的極限為A。這里δ后制ε。同樣在數(shù)列極限的ε-N定義中，N后制ε。

愚公移山，這個故事記載在戰(zhàn)國·列子《列子·湯問篇》中。故事的主人公愚公曰：“子子孫孫無窮匱也”，意為子子孫孫無窮無盡。蘊涵數(shù)學歸納法中的遞推思想（由命題對k成立推出命題對k+1成立）。

欲擒故縱，兵法《三十六計》第十六計，意為故意先放對方一馬，使敵人放松戒備，充分暴露，然后再將其捉住。其中蘊涵反證法思想：先假設命題結論不成立，即命題結論的否定成立（故縱），再經過推理論證得出矛盾，從而證明結論成立（欲擒）。

田忌賽馬，記載在西漢·司馬遷《史記·卷六十五·孫子吳起列傳第五》中。齊國大將田忌和齊威王賽馬。他們把馬分成上、中、下三等，上等馬對上等馬，以此類推。田忌每個等次的馬都比齊威王的慢，因此三個回合下來，田忌皆敗。一旁觀戰(zhàn)的朋友孫臏給他支著兒，于是新一輪賽馬開始了，田忌先用下等馬對齊威王的上等馬，再用上等馬對齊威王的中等馬，又用自己的中等馬對齊威王的下等馬。田忌以兩勝一敗的成績贏了齊威王。同樣的馬匹，只是調換了比賽的出場順序，就得到反敗為勝的結果。這里蘊涵運籌學中的最優(yōu)化思想。

曹沖稱象，出自晉·陳壽《三國志·魏書·武文世王公傳》。有一次，孫權送來了一頭巨象，太祖（曹操）想知道這象的重量，詢問屬下，都不能說出稱象的辦法。曹操的小兒子曹沖說：“把象放到大船上，在水面所達到的地方做上記號，再讓船裝載石頭，當水面達到該記號的時候稱量這些石頭的總重量，大象的重量就等于石頭的總重量。”曹沖把大象的重量轉化為石頭的重量，使問題得到解決。此典故蘊涵轉化與化歸思想。《呂氏春秋·察今》曰：“故審堂下之陰，而知日月之行，陰陽之變。”意思是說，觀察堂屋影子的變化就能知道日月運行的情況，反映了象與原象的變化關系。蘊涵映射與函數(shù)思想。

二 巧悖數(shù)學思想，成就千古名篇

佛教把眾生世界分為“三界”，孫悟空乃三界之外靈物，吳承恩巧妙違背數(shù)學分類思想的不重不漏原則，成功地塑造了我國古代四大名著之一《西游記》中的孫悟空人物形象。

刻舟求劍，出自戰(zhàn)國·呂不韋《呂氏春秋·察今》。楚國有個人乘船渡江，劍從船上掉進了水里。他急忙在船沿刻上記號，說：“這兒是我的劍掉下去的地方。”船靠岸后，這個人順著船沿上刻的記號下水去找劍。船已經走（行駛）了很遠，而劍還在原來的地方不會隨船而前進。用這樣的辦法來找劍，不是很糊涂嗎？我們從現(xiàn)代數(shù)學映射觀點來看，原象只有船沿上刻的記號一個，船行駛以后出現(xiàn)了無數(shù)個象（記號對應的水下位置），這個楚國人違背了函數(shù)與映射思想，誤解了象與原象（事物自身）的對應關系。

三 成語典故的哲理在數(shù)學命題、解題中的應用

擒賊先擒王，出自唐·杜甫《前出塞》詩之六：“射人先射馬，擒賊先擒王”，指作戰(zhàn)要先抓主要敵手，也比喻做事要抓關鍵。在恒成立問題的解題中，常利用最值（最大值或最小值）解決問題。

例1，（2013新課標全國Ⅰ卷理21）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍。

解析：（1）（略）。（2）由（1）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。當x≥-2時，f（x）≤kg（x），即x≥-2時，kg（x）-f（x）≥0恒成立。令F（x）=kg（x）-f（x），則x≥-2時，F(xiàn)（x）的最小值（擒王）非負即可。F′（x）=（kex-1）（2x+4），由題設可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0，得x1=-ln k，x2=-2。

（1）若1≤k0，即F（x）在[-2，+∞）上最小值為F（x1）=2x1+2- -4x1-2=-x1（x1+2）≥0，此時f（x）≤kg（x）恒成立。（2）若k=e2，F(xiàn)′（x）=（ex+2-1）（2x+4），故F（x）在[-2，+∞）上單調遞增，F(xiàn)（x）在[-2，+∞）上最小值為F（-2）=0，所以f（x）≤kg（x）恒成立。（3）若k>e2，則F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，從而當x∈[-2，+∞]時，f（x）≤kg（x）不可能恒成立。

綜上所述，k的取值范圍為[1，e2]。

以逸待勞，出自《孫子·軍爭》：“以近待遠，以佚待勞，以飽待饑，此治力者也”，意指我方養(yǎng)精蓄銳（以逸即以靜），坐等疲乏的敵人來犯時給以迎頭痛擊（待勞即制動）。在求解含兩個以上動點的最值時，常依據(jù)這一策略以靜制動地解決問題。

例2，（2013重慶卷理7）已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（ ）。

A.5 -4 B. -1 C.6-2 D.

答案：A。

解析：將P點到圓上動點的距離轉化為到定點圓心的距離（以靜制動）。

|PM|min=|PC1|-R1，|PN|min=|PC2|-R2（R1，R2分別為兩圓的半徑）

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2

兩圓心坐標分別為C1（2，3），C2（3，4）。C1關于x軸對稱的點C1′的坐標為（2，-3），連接C2C1′，線段C2C1′與x軸的交點即為P點（如圖1）。

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2=|C2C1′|-

R1-R2

= -1-3= -4= -4

借尸還魂，兵法《三十六計》第十四計，原意是指使已經死亡的東西，借用另一種形式出現(xiàn)。其實質是利用沒有作為或不能有作為的加以控制。受借尸還魂策略的啟發(fā)，我們常常利用某些公式的結構形式解題、命題。待定系數(shù)法也可看作借尸還魂策略在數(shù)學解題中的應用。

例3，（2013安徽卷理8）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖2所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n（n≥2）個不同的數(shù)x1，

x2，…，xn，使得 ，則n的取值范

圍為（ ）。

A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3}

答案：B。

解析：利用過兩點直線的斜率公式結構形式，將條件

看作 ，

問題轉化為過原點作直線與函數(shù)y=f（x）的圖象可以有幾個不同的交點，觀察可得n的取值范圍是{2，3，4}。

例4，（2013湖北卷理13）設x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z= ，則x+y+z=________。

答案： 。

解析：利用向量數(shù)量積的坐標公式結構形式，設向量a=（x，y，z），b=（1，2，3），把x+2y+3z看作是a·b，即a·b=x+2y+3z= ，又| a |=1，| b |= ，

∴向量a，b方向相同，∴z=3x，y=2x，

代入已知得 ，

∴x+y+z=6x= 。

例5，[2013福建卷理21（1）（選修4-2：矩陣與變換）]

①已知直線l：ax+y=1在矩陣 對應的變換作用

下變?yōu)橹本€l′：x+by=1。求實數(shù)a，b的值。

解：（1）①設直線l：ax+y=1上任意點M（x，y）在矩陣A對應的變換作用下的像是M′（x′，y′）。

由 ，得 。

又點M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）

y=1，利用直線l方程的形式，通過待定系數(shù)法得 ，

從而 。

倒行逆施，出自西漢·司馬遷《史記·卷六十六·伍子胥列傳第六》：“吾日莫途遠，吾故倒行而逆施之”，意為做事違反常理，不擇手段。參考倒行逆施這一思維方式，數(shù)學命題時常給出結果而求過程中的參數(shù)。分析法、逆向思維解題、逆用公式等也可看作這一思維方式在數(shù)學解題中的應用。

例6，（2013浙江卷理13）設z=kx+y，其中實數(shù)x，y

滿足 。若z的最大值為12，則實數(shù)k=_______。

答案：2。

解析：根據(jù)約束條件畫出可行

域如圖3。因為z的最大值為12。

所以直線kx+y=12必過（4，4）

點，∴k=2。

一般線性規(guī)劃問題是已知可行

域求目標函數(shù)的最值，本題是已知目標函數(shù)的最大值求目標函數(shù)中的待定系數(shù)。

反客為主，出自明·羅貫中《三國演義》第七十一回：“拔寨前進，步步為營，誘淵來戰(zhàn)而擒之，此乃反客為主之法。”意為客人反過來成為主人，比喻變被動為主動。將常量視為變量、變量視為常量是反客為主在數(shù)學解題中的具體體現(xiàn)。

例7，設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍。

四 后記

“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”是高中數(shù)學課程基本理念之一。挖掘國學經典中的數(shù)學思想方法，是從數(shù)學視角研究國學內涵，把數(shù)學文化從縱向用數(shù)學、看數(shù)學拓展為橫向用數(shù)學看文化，豐富了數(shù)學的美學內涵，提升了數(shù)學的文化價值。教學中適當剖析國學經典中的數(shù)學思想方法，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，陶冶學生情操；可以幫助學生從學數(shù)學、用數(shù)學逐步學會欣賞數(shù)學，使數(shù)學進一步貼近大眾。

〔責任編輯：龐遠燕〕