“坐標系中三角尺滑動”的教學與反思

☉江蘇省泗洪縣第三中學 劉儉紅

“坐標系中三角尺滑動”的教學與反思

☉江蘇省泗洪縣第三中學 劉儉紅

在最近一次中考復習教研活動中，筆者有幸執教了一節“坐標系中三角尺滑動”的教學研討課，得到與會老師的好評，本文呈現這次活動的教學流程和預設意圖，與更多同行研討交流.

一、課例教學流程

活動一：三角尺擺放到坐標系.

操作與思考：將一條直角邊落在坐標軸上，且使其中一個頂點與原點重合，求落在第一象限內的那個頂點的坐標.

預設意圖：通過在平面直角坐標系下擺放特殊直角三角形，讓學生復習坐標系下特殊點的坐標的求法；由于問題答案開放，如圖1、圖2，可以讓不同小組匯報他們的擺放方式和解法，達到學生全員參與的效果.

圖1

圖2

活動二：換個方式再擺放.

操作與思考：將斜邊落在坐標軸上，且使其中一個頂點與原點重合，求落在第一象限內的那個頂點的坐標.

預設意圖：擺放方式不唯一，如圖3，斜邊落在坐標軸上后，求第一象限內的頂點的坐標則需要向坐標軸引垂線段（CG⊥AB于點G），構造Rt△BCG求解，比前一種擺放式要增加了解題層次，引導學生復習“射影定理”及其性質，并靈活寫出點的坐標，為后續變式研究打下基礎.

圖3

活動三：滑動三角尺.

操作與思考：將含30°的直角三角尺（△ABC）放在如圖4所示的直角坐標系中，點B（0，4），∠BAC=30°，將△ABC中的點B沿y軸向下運動，點A沿x軸的正半軸運動.

（1）當點B運動到原點O時，直接寫出點C的坐標（_____，_____）；

（2）當點B向下運動1個單位時，求出此時點C到原點O的距離；

圖4

（3）當點B向下運動到達點D（0，-4）時，求點C走過的路徑長.

預設意圖：前兩問屬于預熱階段，第（1）問與上一個操作活動相呼應，學生應該很快能寫出點C的坐標（1，；第（2）問，讓學生體驗向下平移一個特殊單位后，圖形的位置會發生怎樣的變化（如圖5），而這種位置也是一個特殊的位置狀態（BC⊥y軸，AC⊥x軸），此時點C距離原點也獲得了最大值；第（3）問要確定點C的運動起點、終點、運動路徑，可以通過觀察、想象、作圖來判斷.從前兩問可以發現兩種不同位置狀態下點C的坐標分別為（1，，（2，2），這時就能有個直覺，貌似在一條直線上，沿這個方向繼續驗證、思考就能獲得突破.

圖5

下面預設幾種不同的探究思路：思路一：基于“四點共圓”角度，如圖6，由于Rt△AOB與Rt△ACB是共斜邊的直角三角形，以AB為直徑的圓滿足點A、O、B、C四點共圓，連接OC，根據圓周角性質可知∠BOC=∠BAC=30°，即OC與y軸的夾角恒等于30°.于是可以判定點C走過的路徑應該是一條線段！接下來再判斷點C，再結合第（2）問中點C到原點的距離，發現這是在第一象限內點C到原點的最大距離4；相應地，當點C落在第三象限時，也有一個最大距離4，所以點C走過的路徑長為4+4=8.

圖6

圖7

思路三：基于“直線斜率”角度，仍然利用圖7，從直線OC的斜率角度思考也可獲得解釋.

完成上述思路突破之后，可鏈接一道結構相同的考題，如2015年1月湖北省武漢市九年級調研試卷中填空題第16題：

圖8

如圖8，將含30°的直角三角尺放在如圖8所示的直角坐標系中，點A（0，4），點B在原點，∠C=90°，∠ABC= 30°，D點與A點關于原點對稱，A點向D點運動，到達D點后停止.B點在x軸的正半軸上運動.當點A到達點D時，點C走過的路徑長為________.

活動四：換另一種三角尺再研究.

剛才研究了含30°的三角尺在坐標系中的擺放與滑動，我們知道還有另一個含45°的三角尺，下面來研究它在坐標系中的擺放與滑動問題.

圖9

操作與思考：將含45°的直角三角尺（△ABC）放在如圖9所示的直角坐標系中，點B（0，4），∠BAC= 45°，將△ABC中的點B沿y軸向下運動到（0，-4）為止，同時，點A沿x軸的正半軸運動.

（1）當點B運動到原點時，直接寫出點C的坐標（_____，_____）；

（2）在運動過程中，求第一象限內的點C到原點的最大距離；

（3）當點A運動到點（2，0）時，求此時點B的坐標.

預設意圖：前兩問與之前的操作活動類似，解答思路容易發現.第（3）問需要分類討論，學生可能容易漏解，這時可啟發他們構造出圖10的兩種情況，就容易發現Rt△AOB或Rt△AOB′是含30°的特殊直角三角形，從而問題獲解.事實上，如果課堂時間充足，還可引導學生自主設計問題，比如此時能否求出點C的坐標？

二、教學立意與教后反思

上面我們就各個教學環節給出了相應的教學預設，重點從操作的角度進行了介紹，以下再從整節課的教學立意和教后反思的角度進一步做出闡釋.

1.追求簡約的復習課教學取向

受到應試復習的影響，當前中考復習課整體以大量例習題堆砌為主，過分追求針對某個知識點或方法的例習題全方面、多角度覆蓋，從而使得課堂容量偏大，多數學生在課堂上難以接受或完全消化，在很多復習課堂上，常常見到的是教師或少數優秀學生輪番講解、展示，而大多數學生常常對有些較難的例題還沒有真正讀懂題意，就被牽引著看、聽解法，使得“探索未知世界”式的數學學習又成為了“參觀式學習”.這也是我們預設上述課例的一個教學立意，即追求簡約的復習課堂教學取向，使得更多的學生從較低的臺階出發，拾級而上，同時又讓不同的學生在課堂上達到不同的高度或知識理解的深度.

2.從開放題到開放的數學教學

所謂“開放題”，首先想到的可能就是“開放題”相對應的那種“具有唯一正確答案，甚至唯一正確解題方法的傳統問題（封閉題）”.在“百度百科”上檢索“開放”一詞，有如下豐富的解釋：比如釋放；敞開、允許入內；張開、舒展；使關閉著的打開；發射；解除封鎖、禁令、限制；思想開通、解放等.上文課例中的前兩個數學活動都是開放題，而通過這些開放題設計的真正意圖是追求開放的數學教學，使得課堂上學生真正成為問題解決和研究的主人，讓他們參與問題的探索、生成、生長、拓展等，并由此展開對話、追問，從而也就追求了開放的數學教學.

1.劉東升，符永平.從“封閉”走向“開放”——2013年中考命題的“另類解析”與教學導向［J］.中學數學（下），2013（10）.

2.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2001（3）.

3.鄭毓信.再論開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2002（6）.

4.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

5.【日】佐滕學.21世紀學校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

6.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其對數學教育的啟示——ICME12獲獎報告述評［J］.課程·教材·教法，2013（12）.