基于APOS理論指導下的“函數單調性概念”教學

李丹艷

【摘 要】美國數學教育學家 Ed.Dubinsky認為：一個人是不可能直接學習到數學概念，只有透過心智結構（mental structure）使所學的數學概念產生意義，才能學習到數學概念。Ed.Dubinsky等人在20世紀80年代針對數學概念學習的特點，在建構主義理論的背景下提出了APOS理論，APOS分別是英文單詞Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖式）的首字母，該理論認為數學概念的學習都要經歷這四個階段。函數單調性概念的教學設計是本人以這一理論為指導的初次嘗試。

【關鍵詞】APOS理論；單調性；概念教學

一、活動（Action）階段

是指學生通過一系列外顯性的指令去改變數學對象的過程，它是獲得數學概念的一個必要條件。許多概念的本質是內隱的，需要經過一系列外顯的探究活動來獲得。這里的活動不僅僅指學生的肢體動作，而是泛指所有的數學活動，如猜想、回憶、計算、推理等。

活動：（PPT出示下面的函數圖像）

師：我們知道函數是用來刻畫事物運動變化規律的，函數有什么樣的變化規律，相應的事物便具有相同的變化規律，請同學們觀察下面幾個函數的圖象，說說這些函數具有怎樣的變化規律？（屏幕顯示）

[設計意圖] 使學生明確接下來所要研究的內容。

問題1：請同學們觀察一次函數f（x）=x+1和二次函數f（x）=x2的圖象，從左到右即隨著自變量x的增大，圖象是上升還是下降的？

[設計意圖] 引導學生通過觀察函數圖象，發現圖像從左到右（即隨著自變量x的增大），函數的圖像是上升還是下降（即函數值隨之變大還是變?。┑倪@一圖象特征。

教師總結給出函數單調性的定義（文字語言）：對于定義域I內的某個區間D，若隨著自變量x的增大，函數值y也增大，我們就說這個函數在這個區間內是單調遞增函數，反之為單調遞減函數。

練習：根據函數圖象說出這個函數在哪些區間內是增函數？在哪些區間內是減函數？（屏幕顯示）

從這個題目可以看出，函數的單調性研究的是函數的局部性質。圖象雖然直觀，但不夠精確，我們要用數學的符號語言精確地刻畫函數的單調性，如何刻畫呢？

二、過程（Process）階段

是對外顯數學活動的進一步思考過程，當學生經過多次重復活動并對其熟悉后，便會在頭腦中對活動進行描述，通過一系列心理操作，抽象出概念的本質特征。

[教師活動] 出示已做好的幾何畫板課件（顯示二次函數的自變量和函數值的動態變化），請同學們觀察二次函數f（x）=x2圖象，隨著自變量x的增大，函數值y是如何變化的？

[設計意圖] 讓學生從數值變化角度動態而直觀地感受到“隨著自變量x的增大，函數值y也隨之變化”的特征。

問題2：如果某一函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，則如何用數學符號語言精確地刻畫“隨著自變量x的增大，函數值y也增大”這一特征呢？

[設計意圖] 由形象到抽象，對思維要求較高，所以先讓學生嘗試描述一般函數f（x）在（0，+∞）上 “隨著自變量x的增大，函數值y也增大”的特征。

一般情況下，學生無法給出單調性的定義，此處給他們預設幾種定義，請他們判斷是否合理。

[屏幕出示] 若在函數區間（0，+∞）上取無數個點x1

點撥：要反對一個觀點，你必須舉出至少一個反例。

學生有可能找到反例，若不能舉出，教師作圖示意，請學生判斷。

教師：那怎么辦呢？

有學生可能會說：加上“任意”就可以了。

（學生如果沒提出，教師可以在這里提示：加上“任意”兩個字，可以嗎？）

教師：同學們說可以嗎？同意的請舉手！

教師：同學們，要這么多嗎？

學生可能會說：有點復雜。

教師：那我們少點吧，取幾個好呢？三個嗎？

學生：還是有點多。

教師：那你們說幾個？

學生：兩個。

教師：兩個呀，我覺得一個就可以了。（學生有些訝異）

[屏幕出示] 任取函數f（x）區間（0，+∞）上一個自變量x，如果都有f（0）< f（x），則函數f（x）在區間上是增函數，這樣定義正確嗎？（舉例或畫圖示意）

[設計意圖] 突破本節課的難點：引導學生用數學的符號語言描述函數 “隨著自變量x的增大，函數值y也隨之增大（或減?。边@一特征，特別是x1，x2前面為什么要加上“任意”兩個字。

教師：下面請一位同學將自己對增函數的定義和同學們分享一下，哪位同學愿意？

[設計意圖]著力培養學生的概括能力和語言表達能力。

三、對象（Object）階段

是給抽象出的本質特征賦予形式化的定義和符號，使其成為一個具體的對象。當學生把過程看作一個整體，并對它進行轉換和操作時，過程也就凝聚成了對象。

給出函數單調性的一般定義：

一般地，如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f（x2），那么就說函數f（x）在區間D上是減函數。

四、圖式（Scheme）階段

是與其他概念建立聯系，形成知識的綜合圖式，并把這個圖式納入自身的認知結構中，與已有的知識建立新的實質性聯系。

練習 根據反比例函數的圖象（圖象屏幕上給出）。

（1）這個函數的定義域是什么？

（2）它在定義域上具有怎樣的單調性？

（3）能否這樣說：“反比例函數在其定義域上是單調遞減的”？

[設計意圖] 以反比例函數為例，強化學生認識到單調性是函數的局部性質，形成圖式。

例1 證明函數在區間（0，+∞）上是減函數。

分析：怎樣證明函數在某一區間上是減函數呢？只要在區間上任意取兩個大小不相等的值x1，x2，只要證明：當x1 f（x2）成立。

[設計意圖] 通過具體的函數單調性的證明過程進一步加深對函數單調性的認識，深化圖式結構。

基于APOS理論的理念設計數學性質教學，有利于學生理解相關概念。但學生對于概念的認識不是一蹴而就的，這就需要教師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結合具體的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數完整的知識鏈。

參考文獻：

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[2]曹才翰，章建躍.數學教育心理學。北京：北京師范大學出版社，1999.12

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