淺談初中數學中的分類討論思想

張文偉

【摘 要】分類討論思想是現代各學科教學中一種重要的解決問題的方法和思路，也是現代科學研究處理復雜問題的有效途徑之一。因此，提高分類討論思想的引導，讓學生盡早掌握分類討論思想的運用技巧和優勢，對于培養高素質人才有著重要意義。

【關鍵詞】初中數學；分類討論；思想方法

分類討論思想是現代各學科教學中一種重要的解決問題的方法和思路，也是現代科學研究和應用中解決各類復雜問題的有效途徑之一。初中數學是數學教學的一個轉折點，由初中開始，正式引入代數的名稱，并且將數學中的數值種類進一步的擴大，使得數學包含的內容大大豐富起來，是轉入近代數學的起始階段，也是進行分類討論思想教學的最好時期。

一、分類討論思想概述

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這種思想在簡化研究對象，發展思維方面起著重要作用。

二、常見分類思想運用領域

（一）從數學概念、性質、定理以及公式的限制條件進行討論

在初中的數學課程中，有許多數學概念是分類進行定義的，比如實數的絕對值是否大于本身，所以應用此類概念進行解題時，就需要進行分類討論。同時，一些定理、公式等數學內容也有分情況予以表述的，或者有特定德適用范圍，在運用此類定理、公式解題時，一定要注意分類進行討論，讓學生領會定理、公式的適用范圍。

例：化簡︳X-Y︳+X-Y

解：分類，（1）當X>Y時，原式=X-Y+X-Y=2X-2Y，（2）當X=Y時，原式=0+0=0，（3）當X

（二）由數學運算要求引起的分類討論：如偶次方根非負、不等式兩邊同乘以實數對不等號方向的影響等等；

例：求解不等式ax+4﹥2x+a+1

解析通過把不等式移項變號變形為（a-2）x﹥a-3，然后根據不等式性質可分為：a-2﹥0，a-2=0和a-2﹤0三種情況分別求解不等式。

（三）由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論

例：等腰三角形的兩邊長分別為4cm、6cm，求三角形的周長。

解析：本題等腰三角形的腰和底不確定，所以要分4cm是腰、6cm是底和6cm是腰、4cm是底進行討論求解。

解：（1）當4cm是腰、6cm是底時，三角形的周長為4+4+6=14（cm），（2）當6cm是底、4cm是腰時，三角形的周長為4+6+6=16（cm）

例：已知⊙O1和的⊙O2半分別是方程x2-4x+3=0的兩根，且圓心距O1O2=t+2，若這兩個圓相切，則t=_________。

解析：因兩圓相切分內切和外切兩種情況，所以本題需分類討論。

解：解方程x2-4x+3=0得方程的兩根分別為1、3，故⊙O1和的⊙O2半分別是1和3。

（1）當兩圓內切時，O1O2=3-1=2，即t+2=2，t=0；

（2）當兩圓外切時，O1O2=3+1=4，即t+2=4，t=2。

綜上所述，t=2或4。

（四）由函數的性質引發的分類

例：一次函數y=kx-k與反比例函數y=k/x在同一直角坐標系內的圖像大致是（ ）

A.B.

C.D.

解析：一次函數與反比例函數的圖像分布是由系數的符號決定的，所以本題應分k>0和k>0兩種情況進行討論。

解：（1）當k>0時，一次函數y=kx-k的圖像經過第一、三、四象限，從左向右上升，反比例函數y=k/x的圖像位于第一、三象限；（2）當k>0時，一次函數y=kx-k的圖像經過第一、二、四象限，從左向右下降，反比例函數y=k/x的圖像位于第二、四象限。綜上所述，應該選擇C答案。

三、培養學生分類討論思想的路徑

分類討論思想貫穿中學整個數學課程的始末，充分發揮分類討論思想的優勢，可以將復雜的問題大大簡化，不僅有助于提升學生的學習效率，還有助于培養的數學思維能力。

（一）概念、定理、公式講解全面透徹

要做到全面、合理的分類討論，擁有扎實的知識儲備是必不可少的，因此，教師一定要對存在變化的數學概念、定理、公式進行全面的講解，把各種情況透徹的傳達給學生。

（二）頭腦風暴活動

數學中分類討論也是一種高強度的腦力活動，需要學生調動所有的可能情況，并根據實際的條件一一印證。而現代腦力開發訓練的頭腦風暴活動正是培養學生短時間調動所學所有知識的最有效方法，因此，通過教師制定一些存在變化的數學題目，開展一場師生間的頭腦風暴活動，對于提高分類討論思想的應用有著很大的促進作用。

總之，分類討論是重要的數學思想，在初中數學教學中，教師在進行數學思維訓練時，應多鼓勵學生用新方法、新思路，拓寬思維領域，以克服思維的呆板性，促進靈活性，培養學生多角度、全方位思維的習慣，加快思維速度，以培養學生良好的數學思維習慣。通過加強學生數學思維的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深遠的影響。