高中數(shù)學(xué)解題中的反思應(yīng)用

蔣曉峰

【摘要】隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步以及教育事業(yè)的不斷深入完善，新課標(biāo)提出改善了傳統(tǒng)的學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài).新課標(biāo)要求學(xué)生有獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)能力，而不是一味地?zé)嶂杂陬}海戰(zhàn)術(shù)，不求甚解.因此掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法至關(guān)重要.“解題反思”的應(yīng)用可以幫助學(xué)生在習(xí)題中熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題方法；反思

“解題反思”的教學(xué)方法是通過(guò)回顧做過(guò)的習(xí)題，對(duì)習(xí)題進(jìn)行回顧與考量，溫故而知新.這樣不僅可以鞏固學(xué)生對(duì)題目所涉及知識(shí)的鞏固，而且可以有效地提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，學(xué)生通過(guò)自覺(jué)對(duì)題目進(jìn)行總結(jié)歸納，找到自己失誤的地方，總結(jié)數(shù)學(xué)的解題方法，這樣才能掌握解題的技巧，激活發(fā)散思維，有效增強(qiáng)解題反思的能力.

1.反思一題多解，重視解題方法的比較

例1設(shè)函數(shù)f（x）=sinπx4-π6-2cos2πx8+1.問(wèn)題（Ⅰ）：求函數(shù)f（x）的最小正周期.問(wèn)題（Ⅱ）：假設(shè)y=g（x）與y=f（x）的圖形關(guān)于直線x=1對(duì)稱，那么求當(dāng)在x在閉區(qū)間0，43上時(shí)，函數(shù)y=g（x）的最大值.

解（Ⅰ）將函數(shù)公式展開(kāi)得，f（x）=sinπ4xcosπ6-cosπ4sinπ6-cosπ4x=32sinπ4x-32cosπ4x=3sinπ4x-π3，所以函數(shù)f（x）的最小正周期T為：2π÷π4=8.

（Ⅱ）解法一：在y=g（x）的圖形上任取一個(gè)點(diǎn)（x，g（x）），那么它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，g（x））.由題設(shè)條件可知，點(diǎn)（2-x，g（x））在y=f（x）的圖形上，于是我們得到g（x）=f（2-x）=3sinπ[]4（2-x）-π[]3

=3sinπ[]2-π[]4x-π[]3=3cosπ[]4x+π[]3，在0≤x≤43區(qū)間內(nèi)有，π[]3≤π[]4x+π[]3≤2π[]3，所以在區(qū)間0，43上函數(shù)y=g（x）的最大值為：gmax=3cosπ[]3=3[]2.

解法二：因?yàn)閰^(qū)間0，43關(guān)于直線x=1的對(duì)稱區(qū)間是23，2，而且y=g（x）與y=f（x）的函數(shù)圖形，關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以函數(shù)y=g（x）在區(qū)間0，43上的最大值也是函數(shù)y=f（x）在23，2上的最大值.由步驟（Ⅰ）可知f（x）=3sinπ[]4x-π[]3，當(dāng)23≤x≤2時(shí)，有-π[]6≤π[]4-π[]3≤π[]6，所以在區(qū)間0，43上函數(shù)y=g（x）的最大值為：gmax=3sinπ[]6=3[]2.

分析解法一按照正常思路順序求解y=g（x），然后再求解區(qū)間內(nèi)函數(shù)最大值.而解法二運(yùn)用對(duì)稱性，得到對(duì)稱區(qū)間，并直接用函數(shù)y=f（x）得到函數(shù)y=g（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間的最大值.可以發(fā)現(xiàn)第一種解法循規(guī)蹈矩，思路比較傳統(tǒng).第二種解法直觀又簡(jiǎn)單，省去了推導(dǎo)另一個(gè)函數(shù)的步驟，不易出錯(cuò).本題只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，實(shí)際上一題多解的數(shù)學(xué)題目在初中數(shù)學(xué)中是很常見(jiàn)，甚至可以運(yùn)用完全不同的方法來(lái)解決同一個(gè)問(wèn)題.通過(guò)解題反思，辯證地對(duì)兩個(gè)解題方法進(jìn)行比較，深化對(duì)這類解題方法的理解，當(dāng)學(xué)生總結(jié)這類題目達(dá)到一定程度后就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在數(shù)學(xué)方面有了一個(gè)巨大的提高.

2.反思錯(cuò)誤典型，重視思維方法的訓(xùn)練

例2已知實(shí)數(shù)m和n，滿足等式m2-7m+2=0，n2-7n+2=0，則nm+mn=.

解由題意可知m，n是方程x2-7x+2=0的兩個(gè)根，所以m+n=7，mn=2，可以得到nm+mn=n2+m2mn=（m+n）2-2mnmn=72-2×22=452.

分析上面解答看似條理清晰，推理過(guò)程每一步都有根據(jù)，結(jié)果似乎完全正確，其實(shí)不然.由于思維定式，上邊得到了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果.在面對(duì)新的試題時(shí)，學(xué)生傾向于運(yùn)用已經(jīng)定型的思維模式加以解決.造成這種困境的根本原因就是實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，對(duì)套路，框題型.回到上面問(wèn)題的解答中來(lái).利用方程得到的m值有兩個(gè)，與之相同n的值也有兩個(gè)，所以nm+mn的值不止一個(gè)，上述解法出現(xiàn)了漏解的情況.其錯(cuò)誤的根本原因在于認(rèn)為m2-7m+2=0和n2-7n+2=0等價(jià)于m和n為方程x2-7x+2=0的兩個(gè)根.反思解題過(guò)程就是反思在解題過(guò)程中犯的錯(cuò)誤.導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的原因有很多種，除了例子中根據(jù)題目條件，理解錯(cuò)誤，以為m和n為方程x2-7x+2=0的兩個(gè)根，導(dǎo)致思路上的偏差以外，學(xué)生有時(shí)還可能根據(jù)題目中隱晦的條件導(dǎo)致思路出現(xiàn)偏差，有時(shí)會(huì)因?yàn)闆](méi)有認(rèn)真審題而徹底解錯(cuò)題目，有時(shí)會(huì)采用錯(cuò)誤的解題方法，或者是馬馬虎虎的計(jì)算，這些也都是常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤.只有在根本上找到錯(cuò)誤的原因，才能吸取教訓(xùn)，保證不犯同類型的錯(cuò)誤.對(duì)類似這樣的題目進(jìn)行典型錯(cuò)誤的反思，重視思維方法的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，使其解題思維模式更加合理化.

3.總結(jié)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，對(duì)解法、問(wèn)題中所包含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行揣摩.要反思一題多解，重視解題方法的比較；反思錯(cuò)誤典型，重視思維方法的訓(xùn)練；反思思維方式，重視命題思想的理解.經(jīng)過(guò)一系列的總結(jié)與反思，讓學(xué)生養(yǎng)成積極探究，獨(dú)立思考，反思總結(jié)的好習(xí)慣，享受解答數(shù)學(xué)難題帶來(lái)的無(wú)盡樂(lè)趣.