基于二進制算法驗算哥德巴赫猜想

周佳盛 孫文文

【摘要】本文闡述的結果成立是哥德巴赫猜想猜想成立的必要條件，利用了二進制數簡單的表達方式，從二進制數的角度去驗算哥德巴赫猜想.

【關鍵詞】二進制；哥德巴赫猜想

一、緒論

1.二進制定義

二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制.二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數.它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，由18世紀德國數理哲學大師萊布尼茲發現.

第三次科技革命的重要標志之一的計算機的發明與應用，因為數字計算機只能識別和處理由‘0.‘1符號串組成的代碼.其運算模式正是二進制.19世紀愛爾蘭邏輯學家喬治布爾對邏輯命題的思考過程轉化為對符號“0”.“1”的某種代數演算，二進制是逢2進位的進位制.0、1是基本算符.因為它只使用0、1兩個數字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實現.

2.哥德巴赫猜想介紹

提出者：德國教師哥德巴赫.

提出時間：1742年.

內容表述：素數又稱質數，它是只能被1和此數本身整除的整數.素數數列中，僅2為偶數，其余均為奇數.

任何一個大于2的偶數，都可以表達為兩個素數之和.

若設x，y均為素數，z為大予2的偶數，則哥德巴猜想可表達為：z=y+x.

3.國內外研究狀況

1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫更進一步，在無需廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為三個素數之和，被稱為“三素數定理”.不過他無法給出“充分大”的界限.他的學生博羅茲金于1939年確定了一個“充分大”的下限：314348907.這個數字有6846169位，要驗證比該數小的所有數完全不可行.

1995年，法國數學家奧利維耶·拉馬雷證明，不小于4的偶數都可以表示為最多六個素數之和.萊塞克·卡涅茨基證明了在黎曼猜想成立的前提下，奇數都可表示為最多五個素數之和.2012年，陶哲軒在無需黎曼猜想的情形下證明了這一結論.

二、方法介紹

1.理論基礎

（1）二進制加法法則

在二進制原碼的加法中，兩個任意的n位二進制數相加不能得到一個n+2的二進制數.

例1已知四位二進制數c=1000，是否能夠由兩個二位二進制數a和b相加所得該四位二進制數.

答：否，設兩個a與b皆為11，則相加為110.因為此時a+b為最大值，則命題不成立.

（2）奇數偶數在二進制中的表示

與十進制不同，在二進制中的偶數和奇數唯一的不同點在于末尾的數字.

末尾數字為‘1時（即20），則為奇數，數字‘0則為偶數.

例1二進制數10001的十進制表示為17，為奇數

二進制數10000的十進制表示為16，為偶數

由此可見，在的多數情況下相鄰的奇數與偶數，在二進制中的差異是末尾數字的不同.又因為兩個奇數相加必然是偶數，兩個素數（不考慮素數2）相加必然是偶數.

因此在之后的運算中，為了方便運算，我們將不看末尾，即把所有的偶數和奇數合在一起看.

（1）素數在二進制數中的表示

二進制位數[]該位數下十進制數個數[]素數個數[]素數所占比例

1[]2[]1[]0.5

2[]4[]1[]0.5

3[]8[]2[]0.5

4[]16[]2[]0.25

5[]32[]5[]0.3125

6[]64[]7[]0.21875

7[]128[]13[]0.203125

8[]256[]24[]0.1875

9[]512[]43[]0.16796875

10[]1024[]72[]0.140625

11[]2048[]137[]0.133789063

12[]4096[]255[]0.124511719

13[]8192[]464[]0.11328125

3.方法闡述

從二進制加法法則可知，當n位二進制數與n+2位二進制數間沒有素數出現存在時，哥德巴赫猜想則不成立.

但是該方法不能證明當n位二進制數與n+2位二進制數間沒有素數出現存在時，哥德巴赫猜想一定成立.

4.猜想與展望

從上表可知在一個二進制位數上的素數個數是有遞增的趨勢，且占比有遞減趨勢.雖然素數在二進制數位上的個數所占比例會隨著二進制位數的遞增而遞減，但是素數個數卻依然在增加，因此可以通過此方法證明或者推翻哥德巴赫猜想.

【參考文獻】

[1]數學史上的五大趣味難題（N）.生活文摘報，2007-03-02（9）.

[2]基于哥德巴赫猜想的猜想和聯想，古工（A）.