摭談數學“合作學習”四要素
——由鄭毓信先生的“數學教育改革十五誡之三”引發的思考

☉浙江省湖州市第二中學 俞昕

摭談數學“合作學習”四要素
——由鄭毓信先生的“數學教育改革十五誡之三”引發的思考

☉浙江省湖州市第二中學 俞昕

鄭毓信先生的“數學教育改革十五誡”［1］誡條之三：數學教學不應只講“合作學習”，但卻完全不提個人的獨立思考，也不關心所說的“合作學習”究竟產生了怎樣的效果.張奠宙先生認為：數學不同于其他學科，需要進行邏輯化、符號化、數量化，其過程必定經歷獨立的、個性化的思考，因此，在“合作”之前必須先“獨立”.陳省身先生認為：數學是自己思考的產物.首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果.我們數學教育工作者面臨的一個重要任務是：弄清楚什么是好的“合作學習”所應滿足的基本要求，進而，數學教學在這一方面又具有哪些特殊性？

雖然世界各國學者對小組合作學習的概念表述不相同，但是其內涵是一致的.（1）小組合作學習是一種教學活動，它是以小組為基本單位來組織教學的；（2）小組合作學習是同伴之間互助互學的合作；（3）小組合作學習既強調小組的團體成績，也重視小組中個人的表現；（4）小組合作學習是學生在教師指導下開展的一種學習活動，活動目的是達成教師課前預設的教學目標.從以上表述至少可以看出，在合作學習中，要注重個人的自主探究活動，同時也不能完全離開教師的指導作用.還要考慮數學學科內容的特殊性，并不是所有數學內容都適合合作學習，即使是適合進行合作學習的內容，也要根據實際情況選擇不同的合作學習方式.

一、合作學習應有適宜的內容

數學中并不是所有的內容都適合小組合作，有兩種數學內容可以考慮采用合作學習.

其一是開放性問題.比如y=x、y=x2、y=x3、y=ex、y=lnx都是我們非常熟悉的函數，試嘗試利用以上基本初等函數配合加減乘除（可以添加常數），構造一個新的函數，并分析你所構造出來的函數的單調性.例如：判斷函數y=ex-x-1的單調性，并求出單調區間.將全班學生進行同組異質、異組同質的分組，并提出要求：（1）每組挑選幾個函數，不需要都用上；（2）為了方便計算，y=ex和y=lnx盡量不要同時使用；（3）前后4人一組，展開討論，自編自答，拿出成果.合作一：學生給出了“加減類型”“乘法類型”“除法類型”；合作二：改進自己設計的問題，不直白地設問單調性，讓題目形式豐富多樣，再嘗試解答；合作三：在題目中加入參數，設計問題并展示，小組成員間可以相互解答.（以上案例選自湖州市導學案評比優秀作品）

其二是容易引起爭議的問題.有時一個新的數學概念的產生往往伴隨著爭議，比如離心率的概念.先用幾何畫板畫一些橢圓（顯示隨著a、b取值的改變，橢圓形狀的變化），橢圓的扁圓程度可以用什么量來刻畫？讓學生合作學習，提出不同的表示方案，有些學生認為用ab表示，有些學生認為用表示等，在爭論中最后達成統一：用表示.數學中有很多易錯題，怎樣減小解這些問題時的出錯率，讓學生一勞永逸？可以考慮合作學習的方式.如問題：若函數f（2x）是偶函數，則函數f（2x+1）的對稱軸是什么？諸如此類的問題，變式可以給出很多.此類問題是學生比較容易出錯的，讓學生通過合作學習的方式進行辯論，表達自己的觀點，讓同組的同學根據拋出的觀點進行深入細致的分析論證，真理在辯論中越辨越明.

二、合作學習應以自主探究為前提

在這里我們將“自主探究”理解成“獨立思考”.合作學習中最令人擔心的事就是合作學習活動淪為少數幾個尖子生的包場，而多數學生的數學思維沒有啟動，因此合作學習一定要以自主探究、獨立思考為前提.只有讓學生在充分思考之后帶著問題進行合作學習，才能發揮合作學習的功效.有兩種方式可以兼顧自主探究與合作學習.

其一是將合作學習的內容運用問題串的形式進行細化，用問題引領全體學生進行思考與探究.這種方式適合于課堂當場布置合作學習的任務.筆者在一次聆聽章建躍博士講座時，對一個關于“復數概念引入”的案例記憶猶新，后來筆者在自己的教學實踐中將其改變成一個以問題引領的合作學習模式，課后特意訪談了數學中等生和學困生，結果顯示效果較好.問題1：1545年，數學家Cardan在《重要的藝術》（1545）中出了這么一個題目：把10分為兩部分，使其乘積為40.他按照自己的習慣，設其中一部分為x，列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌.你知道這是為什么嗎？問題2：根據你的已有經驗，你認為怎么辦就可以解決Cardan的問題？提示：在正數范圍內，方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似地，在有理數范圍內，x2=2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？問題3：為了使負數能夠開方，你覺得應該引進一個什么樣的新數？這個新數應該服從什么規則？問題4：根據大家的想法，假設我們引進了一個新的“數”i，它服從i2=-1，我們希望i能與實數一起進行加、減、乘、除等運算，這樣，你覺得會產生哪些類型的“新數”？追問：（1）這些“新數”能用一種統一的形式表示嗎？（2）如果把實數與i進行加、乘后得到的“數”的集合記作C，那么實數集與集合C有什么關系？

其二是教師可以專門開設一些數學探究的課程，教師課前先將需要探究的預備內容以導學案方式呈現給學生，讓學生有充分的時間進行自主探究、獨立思考，然后在課堂上進行合作學習，將自己的探究成果進行展示，小組成員之間互助、糾錯、評價，最后各小組將各自的成果進行匯總展示.比如開設一堂有關導數應用的探究課程，可以布置以下的探究任務.“課中合作學習”部分的內容要求學生課前結合前面復習的內容先自主探究、獨立思考，然后在課中進行合作學習，而后面“課中自主解決”部分的內容要求學生在合作學習的基礎上嘗試獨立思考，自主解決，以鞏固合作學習的效果.

以下案例是在一次師徒結對活動中開設的合作學習研討課.

【基礎梳理】（略）.

【自主測評】（略）.

【自學質疑】問題1：回顧總結研究二次函數最值時該注意哪些方面.

問題2：在一般的函數中，解決最值問題時該注意哪些方面？

問題3：在函數中出現參數時該如何處理？

【課中合作學習】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3.

（1）求函數f（x）的最小值.

變式1：求函數f（x）在［t，t+2］（t＞0）上的最小值.

變式2：若函數f（x）在（t，t+2）（t＞0）上無最小值，求t的取值范圍.

（2）若?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

變式2：若?s、t∈（0，+∞），2f（s）≥g（t）恒成立，求實數a的取值范圍.

變式3：若?s、t∈（0，+∞），使得2f（s）≤g（t）成立，求實數a的取值范圍.

【課中自主解決】已知函數f（x）=x2-x-1，g（x）=x3-x2-5x+m.

（1）?x∈［-2，2］，都有f（x）≤g（x）成立，求實數m的取值范圍.

（2）?x∈［-2，2］，使得f（x）≤g（x）成立，求實數m的取值范圍.

（3）?x1、x2∈［-2，2］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

（4）?x1、x2∈［-2，2］，使得f（x1）＞g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

（5）若?x1∈［-2，2］，?x2∈［-2，2］，使得f（x1）= g（x2）成立，求實數m的取值范圍.

三、合理選擇不同的合作學習方式

筆者認為合作學習可以有兩種不同的方式：一種是課內合作學習，一種是課外合作學習.課內合作學習以上已經討論的比較多了，這里不再贅述，下面談談課外合作學習.課外合作學習往往受到冷遇或不重視，其實課堂時間很有限，有些內容不可能在課堂上充分的讓學生合作學習，所以可以將合作學習延伸到課前與課后.一些帶有研究性學習色彩的數學內容，比如“‘楊輝三角’中的一些秘密”“探究斐波那契數列”“割圓術”等都可以布置給學生進行課前的合作學習.文獻5中，針對“割圓術”，教師布置給學生在課前進行了很好的合作學習（選擇一個方向收集資料，并進行資料的整理、匯總與學習），然后在課堂上每個小組都派代表進行了展示活動，有了課前合作學習的鋪墊，課堂上教師預設的教學內容能夠順利的進行與完成.

而有時課后的合作學習也能引發學生探究數學的興趣.比如在學習完“幾類不同增長的函數模型”之后，教師布置課后合作學習任務：以小組為單位，完成題為《我對_____問題的函數模型學習》的論文，可探究的模型（供參考）：折紙模型、SARS病毒、澳大利亞兔子爆炸、摩爾定理、人口增長、太湖藍藻、GDP增長、天文學應用、銀行復利等.論文應包含：（1）問題背景相關知識；（2）問題相關數據；（3）如何選擇函數模型；（4）對函數模型在實際問題中運用的體會；（5）注名作者、參考書籍、出版社.

四、合作學習需要教師必要的指導與評價

合作學習的主要目的是加強生生之間的交流與互動，但也必須加強師生之間的交流.對于課內合作學習的一種不可取的做法是教師布置完小組合作任務后，便游離于學生小組合作活動之外，此時教師沒有看到小組合作中出現的問題.實際上，學生進行小組合作時，給教師賦予了更多的責任，他不僅僅要關注學生知識掌握的情況，而且還要關注各個小組合作進展的情況，并進行適當的協調.在學生合作時，教師要從“至高無上”的講臺走到學生中間來，充當學生學習的合作者、引導者、協調者、巡視者等多種角色，及時獲取學生討論的信息，捕捉學生思維的火花，為有效調控教學做好充分準備.合作學習結束后，教師應組織學生進行全班交流，讓學生反饋合作學習的信息，并根據學生反饋的信息進行有效的指導.教師要對小組合作討論進行質的分析，引導學生進行深層次的思考，這樣才能使得合作學習的教學更具有實效性.

至于課外的合作學習，雖然教師不能直接接觸學生，但也可以通過各種方式對合作學習進行監督與指導.若是課前的合作學習，教師一定要向學生明確要求，并布置明確的任務，以便在課堂上檢查學生合作學習的效果.若是課后的合作學習，教師需要求學生在限定時間內遞交合作學習的成果，為下階段學習做好鋪墊，或作為評價學生數學學習的依據之一.

小組合作學習的一個重要的特征是以小組的成就作為總的評價標準，小組的成就主要表現在兩方面：一個是評價學生學業方面的進步；另一個方面是評價小組工作和合作的情況.教師在進行小組合作開始，就首先要明確小組評價的標準，評價的標準根據小組合作的任務不同而不同，但是一個非常重要的前提就是所表述的要求越具體越好，這樣可以使學生明確要達到的目標.教師可以將學生合作學習的成果、教師對學生的評價、同組或異組成員之間的評價收錄到學生的“過程作品集”中，筆者在文6中詳細論述了多元智能理論下如何利用“過程作品集”評價學生的數學學習.“過程作品集”為我們提供了一個寬廣的評價視野，它可以展現學生在合作學習中的智能強項，讓學生在合作學習中發揮自己的優勢智能.

1.鄭毓信.數學教育改革十五誡［J］.數學教育學報，2014（3）.

2.綦春霞.數學教學形式的改革之一——小組合作學習［J］.數學教育學報，2005（3）.

3.劉丹.情境學習在數學課堂中的案例分析——情境創設與合作交流真的那么重要嗎［J］.數學教育學報，2006（3）.

4.陶兆龍.課堂教學中學生數學活動的引導［J］.數學通報，2014（7）.

5.俞昕.以“割圓術”為例芻議數學選修課教學［J］.中學數學（上），2014（8）.

6.俞昕.悠悠迷所留，酒中有深味——《多元智能新視野》開拓數學教學“新視野”［J］.中小學數學，2013（11）.