基于學生基礎，巧解影子問題

☉湖北省咸寧市咸安區雙溪中學 陳秋蘭

☉湖北省咸寧市咸安區橫溝中學 李群

☉湖北省咸寧市咸安區橫溝中學 陳萍

基于學生基礎，巧解影子問題

☉湖北省咸寧市咸安區雙溪中學 陳秋蘭

☉湖北省咸寧市咸安區橫溝中學 李群

☉湖北省咸寧市咸安區橫溝中學 陳萍

影子問題是九年級數學中一個常見的數學問題，由于貼近生活，因此常常被命題者青睞，以考查學生應用數學知識解決實際問題的能力.解決這類問題的關鍵是將實際問題抽象為數學模型，基本思路是建構相似三角形的數學模型，通過已學過的相似三角形的知識來解決.但同是用相似三角形的性質解決這類問題，由于思維定勢的限制，造成解題角度和所選用的解題知識點有很大區別，從而出現傳統解法和創新解法兩種模式.當然，“藝高人膽大”，學生只有擁有扎實的數學能力，才敢于創新，才有能力創新.

類型一：由燈求影

例1如圖1，路燈P距離地面8米，身高1.6米的小麗從距離路燈的底部（點O）20米的A處，沿AO所在的直線行走14米到達B時，人影長度怎樣改變？改變了多少？

圖1

傳統解法（略解）：依題意得CB∥OP，則△BCN∽△OPN，則CB∶OP＝NB∶NO，即1.6∶8＝NB∶（NB＋6），解得NB＝1.5米.

同理可得1.6∶8＝AM∶（AM＋20），解得AM＝5米.

影長變短了5-1.5＝3.5（米）.

評析：這種解法只用了相似三角形最基本的性質，用了兩次三角形相似，略顯麻煩.

創新解法（略解）：如圖2，設直線CD交PO于E，易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的對應高，利用相似三角形對應高的比等于相似比，得CD∶NM＝PE∶PO，則14∶NM＝（8-1.6）∶8，解得NM＝17.5米.

NM-AB＝17.5-14＝3.5米，則影子變短了3.5米.

圖2

評析：創新解法用的是相似三角形對應高的比等于相似比，只用了一次三角形相似，顯得很方便.

類型二：由影求燈

例2如圖3，花叢中有一路燈桿PO，燈光下，小麗在B點處的影長BN＝3米，沿OB方向行走到達A點，BA＝5米，這時小麗的影長AM＝5米，如果小麗的身高為1.7米，求路燈桿PO的高度.

圖3

傳統解法（略解）：依題意得CB∥OP，則△BCN∽△OPN，則CB∶OP＝BN∶ON①.同理，得DA∶PO＝AM∶OM②.

顯然CB＝DA，由①和②得BN∶ON＝AM∶OM.

設OB＝x米，則3∶（3＋x）＝5∶（10＋x），解得x＝7.5米.

代入①式，得PO＝5.95米.

評析：這種解法仍然只用了相似三角形最基本的性質，又得用兩次三角形相似，還要以中間比為橋梁，有些讓人眼花繚亂.

創新解法（略解）：同例1做法一樣，如圖4，設直線CD交PO于E，易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的對應高，利用相似三角形對應高的比等于相似比，得CD∶NM＝PE∶PO，解得5∶（5＋5-3）＝（PO-1.7）∶PO，解得PO＝5.95米.

圖4

評析：這種創新解法利用相似三角形對應高的比等于相似比，非常簡便快捷，既節約時間，又提高了準確率.

類型三：雙燈雙影問題

例3如圖5，小麗晚上在路燈下散步，已知小麗的身高AB＝h，燈柱的高OP＝OP′＝L，兩燈柱之間的距離OO′＝m.

圖5

（1）若小麗距燈柱OP的水平距離OA＝a，求她的影子AC的長.

（2）若小麗在兩路燈之間行走，則她前后的影子的長度之和（DA＋AC）是否為定值？請說明理由.

評析：這種做法還是只用了相似三角形最基本的性質，做第一問尚可，做第二問又得用兩次三角形相似，顯得很笨拙，若將題目中的兩問合并形成一個題目，則更加捉襟見肘，但用創新做法就簡單多了.

整合后的題目：如圖6，小麗晚上在路燈下散步，已知小麗的身高AB＝h，燈柱的高OP＝OP′＝L，兩燈柱之間的距離OO′＝m，當她在兩路燈之間行走時，她前后的影子的長度之和（DA＋AC）是否為定值？請說明理由.

圖6

創新解法（略解）：連接PP′，設AB的延長線交PP′于E，易得矩形OO′P′P，則AB、BE成了△BCD和△BPP′的對應高.

評析：創新解法還是只用了一次相似三角形對應高的比等于相似比，但這種做法顯得多么靈活，一舉解決問題，而不用分別求出DA和AC，簡直是一種享受.

由此可見，創新其實也只是換個角度思考問題，也就是一種求異思維，它要求學生必須有過硬的基礎知識和基本技能，因此，只有造就了學生過硬的基礎知識和基本技能，才能培養學生多角度審視的能力.同時也告訴我們：在教學中，應該始終以新課程標準為綱，捕捉住課本中的每個知識點（包括很細微的知識點），才能為培養學生的創新能力打好基礎.W