以文化的視角看高中數學課堂基本模式

劉清昆

摘要：數學是一種語言、一種文化，它有自身獨特的知識類型，不同的知識類型中知識的獲得有著不同的模式。本文試著從文化的視角給出高中數學語言習得的模式。

關鍵詞：數學文化 高中數學 課堂模式

數學是一種語言、一種文化，它像任一個民族的母語一樣，都是經過漫長的歷史沉積而成，都有自己的符號系統、邏輯體系、成文方法。世界上任何一種語言的習得，都需要一種氛圍，語言的氣場。語言習得過程大致分為這樣幾個階段：首先觀察、感悟話語體系，其次通過練習簡約初步話語體系，最后通過對話抽象話語體系。與之相對，史寧中先生也提出了數學抽象的三個層次：簡約階段、符號階段、普適階段。但是大量現實的數學課堂，卻未遵循語言的合理方式，至今很多的課堂依舊是T.V式（講授）為主。上述狀況我們稱之為“語言習得”的病態，導致這種狀況的根源大致如下。

歷史的原因：數學教師更多的是模仿其多年學習過程中對其影響最大的教師的教學方式。此處的教師并不指具體的哪個教師，而是教者多年學習過程中，影響自己教學觀的抽象的老師。我們傳統的課堂強調傳道，既然是傳道那就自認老師比學生懂得多，課堂就應我教你聽，也就是“講臺”為中心。

教學觀的原因。即使學界呼吁多年數學是一種文化，但具體如何使數學課堂更有文化、不同的課型應該如何操作卻成了默會知識。學者因為缺乏一線教學經驗，只是給出了理論框架，一線教師對數學文化僅為初步了解，現實的課堂，更多的改進僅停留在課堂中適當地增加數學史的內容、構建知識的生活背景等，認為這些就是數學文化。

學界對數學文化的界定很多，研究的視角多元。本文為了闡述問題的便捷，將數學文化做如下的界定。數學是人類對生活的世界進行高度抽象的一種創造活動，是一種模式的科學。正如李鐵安所言，數學文化系統包括數學活動中的靜態結果和動態結果以及它們所包含的各因素之間的交互作用。靜態結果包括數學知識、思想、方法等，動態結果包括數學認知的價值判斷、審美追求、思維過程等。它具有抽象性、邏輯性及數學的理性等特征。

在數學文化的視角下構建數學課堂需要對數學知識結構做基本的界定。史寧中[1]將數學的基本思想界定為抽象、推理、模型。抽象將生活上升為數學，推理促進了數學體系的發展，模型是數學作用于生活的抓手。由此我們將數學知識劃分為如下的類型：

一、數學文化視角下的數學課的類別

數學是一種語言，形式化、符號化、公理化是其現代特征，這有利于數學自身語言體系的描述，但對數學語言的習得帶來了不小的障礙。為了更有利于學生數學言語的習得，針對闡釋對象的符號化就需了解其現實背景，針對證明過程的形式化就應還原其數學直觀，針對邏輯的公理化就應強調歸納推理。下面我們依上文劃分的知識類型分別談一談文化視角下的數學課堂。

1.數學概念的學習

數學概念的學習是一個抽象的過程。它源于學生的生活及學習經驗，經過不斷的簡約化、符號化、模式化，形成數學的認識，構成數學語言體系。其模式為：

學生習得數學概念的過程，要構建合理的認知材料以利于概念的初步抽象，這個過程具有如下的特征：（1）構建情景或組織活動激活原有經驗，形成初步認知或認知沖突； （2）通過操作、討論、對話等活動將初步認知概念化、符號化；（3）進行概念認知強化，能用數學的視角辨別具體的對象。

[案例一]函數的概念

問題1 同學們在初中已學過函數，你能舉幾個函數的例子嗎？

問題2 下述生活情景中，有函數的實例嗎？為什么？

（1）2014年6月4日上午10∶00～11∶00上海證券交易所的股票指數的情況，這是一個函數嗎？

（2）奧運選手比賽中射擊序號與中靶環數的對應表，環數是序號的函數嗎？

問題3 你判斷自己舉的例子是不是函數的依據是什么？

問題4 y=1是函數嗎？請說明理由。

設計意圖：通過學生自己舉例及老師選取生活中的函數實例來激活學生原有認知的函數“變量說”。引導學生分別用解析式、表格、圖像表示對應的函數。設置變量說無法解釋的函數實例，引起認知沖突。

數學史實介紹：函數概念的演變過程。

設計意圖：為集合視角下的函數概念引入的必要性做鋪墊。

問題5 （1）你能用集合與對應的語言描述函數概念嗎？

設計意圖：引導學生用集合的觀點解釋已有概念，獲得函數的新認知。

（2）認識之前舉例函數的定義域、值域、對應關系。

數學文化視角下的數學言語的習得不同于傳授式的課堂，首先時間分配比上，并未將大部分精力放在函數概念的解析上，而是將主要的精力放在函數概念的抽象及集合觀點下函數言語的嚴謹化上。這個過程能使學生明白在數學定義和運算的抽象過程中，許多的物理背景和幾何直觀喪失是為數學的簡潔化服務的。

2.數學體系的學習

數學體系的學習過程是推理的過程，具有形式化、公理化的特征。由簡單的數學概念，通過歸納、演繹推理，形成復雜的數學體系。其模式為：

學生習得數學體系的過程，要注重歸納推理，及數學直觀，這個過程具有如下的特征： （1）構建合理的知識及程序性材料，進行初步感知；（2）通過推理活動認識新知；（3）通過實踐演練，達到對新知的理解、掌握及延展。

[案例2]等差數列前n項和

問題1某施工隊要砌如下形狀的磚墻需要多少塊磚頭？

設計意圖：通過擬生活化的問題情景，學生抽象問題本質，通過數形結合，探究數列求和的技巧。

問題2 （1）你能否求得等差數列{an}的前n項和公式？

（2）等差數列{an}：a1=14.5，d=0.7，an=32，求其前n項和Sn。

設計意圖：將上述問題中的感悟，推廣到一般情景，推導出等差數列前n項和的公式。通過具體的實例賞析Sn=中蘊含的基本量思想。

問題3 （1）已知一個等差數列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數成等差數列，第一層磚數為1，最后一層磚數為77？

數學文化視角下的數學言語源于生活，學習數學言語的目的是為了用更科學合理的方式描述現實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學生初步地用數學的眼光分析問題、解析問題的能力。學生只有抽象出磚墻磚數問題的數學本質，即首相為1公差為2的等差數列前21項和，才能說其具備了用數學的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數目這樣一個類生活化問題的過程中學生可習得用數學的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數學的簡潔美。

3.模型的學習

模型的學習過程是用數學的言語講述生活的過程。數學模型是數學應用的子范疇，側重于用數學的概念、原理及思維方式描述現實生活，是構建數學與生活的橋梁。其模式為：

學生習得數學模型的過程，要注意相應數學言語的嚴謹化，這個過程具有如下的特征：激活相關的數學言語，形成知識準備；用數學的言語分析數學模型；全面認識模型及模型實際應用。

[案例3]指數函數

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”用數學的語言表示天數與木棍長度的關系。

（2）若讓編號為1的同學準備1粒米，2號準備2粒米，3號準備4粒米，……照此規律，最后一位同學該準備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設計意圖：體會生活、史學上的指數模型積累指數型函數的經驗；體驗指數函數爆炸性增長的特點及極限思想；用數學的言語描述生活中的關系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構成函數？是我們學過的哪種函數？能否根據函數的特征給它起個名字？

設計意圖：抽象函數模型，體會數學基本思維——抽象、模型。

指數函數定義：函數y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數函數。

問題3 （1）為什么指數函數規定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數函數？

設計意圖：借助問題展開數學對話進行數學言語的訓練。

問題4 （1）你能否設計一個方案以便全面地分析指數函數的性質？

（2）請在同一直角坐標系內做出函數y=2x，y=3x，的圖像。

設計意圖：提供有結構的材料以便同學通過對話，探討指數函數的性質

二、數學文化視角下的數學課的特質

文化視角下的數學課堂不再單純地將數學視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調數學的背景化、直觀化，強調歸納推理，注重學生數學基本經驗的獲得及數學能力的培養。文化視角的數學課堂有如下的特質。

1.關注數學知識生成的過程及背景。函數的概念一課，我們為學生提供的原始認知材料既有函數運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數，這樣就容易解釋為什么我們已經知道了運動觀點下函數的概念還要學習對應觀點下的函數概念。指數函數一課，我們為學生提供了豐富的指數型函數實例，不僅可以告訴學生指數函數模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數函數是生活中實例的數學抽象。

2.關注數學語言習得的科學性。此處的科學性，是指習得數學言語時符合數學知識的生長及數學體系的生成理論。指數函數的定義的生成，我們設置了一個小的環節，要求學生給函數命名，目的是使學生知曉數學中一些概念的名稱無非是一種數學人士的約定俗稱，是一種數學生活的契約話語。

3.關注學生的思維鍛煉。等差數列的前n項和我們并沒有采用常規引學方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數。這個例子比較直觀，可以鍛煉學生用數學言語分析生活的能力（亦可稱其為數學閱讀能力），又可以通過數形結合突破等差數列求和的技術難關。指數函數性質的分析，我們嘗試著讓學生去設計方案，通過這個過程使學生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數學基本思想的鍛煉。

文化視角的數學課堂，關注了數學的生活化、趣味性，關注了數學基本活動經驗的積累，關注了數學基本思想的鍛煉，關注了數學言語形成的細節。

參考文獻

[1] 史寧中.數學思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學.陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數學教育中的數學文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數學的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學出版社，2013.

【責任編輯 郭振玲】

問題3 （1）已知一個等差數列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數成等差數列，第一層磚數為1，最后一層磚數為77？

數學文化視角下的數學言語源于生活，學習數學言語的目的是為了用更科學合理的方式描述現實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學生初步地用數學的眼光分析問題、解析問題的能力。學生只有抽象出磚墻磚數問題的數學本質，即首相為1公差為2的等差數列前21項和，才能說其具備了用數學的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數目這樣一個類生活化問題的過程中學生可習得用數學的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數學的簡潔美。

3.模型的學習

模型的學習過程是用數學的言語講述生活的過程。數學模型是數學應用的子范疇，側重于用數學的概念、原理及思維方式描述現實生活，是構建數學與生活的橋梁。其模式為：

學生習得數學模型的過程，要注意相應數學言語的嚴謹化，這個過程具有如下的特征：激活相關的數學言語，形成知識準備；用數學的言語分析數學模型；全面認識模型及模型實際應用。

[案例3]指數函數

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”用數學的語言表示天數與木棍長度的關系。

（2）若讓編號為1的同學準備1粒米，2號準備2粒米，3號準備4粒米，……照此規律，最后一位同學該準備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設計意圖：體會生活、史學上的指數模型積累指數型函數的經驗；體驗指數函數爆炸性增長的特點及極限思想；用數學的言語描述生活中的關系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構成函數？是我們學過的哪種函數？能否根據函數的特征給它起個名字？

設計意圖：抽象函數模型，體會數學基本思維——抽象、模型。

指數函數定義：函數y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數函數。

問題3 （1）為什么指數函數規定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數函數？

設計意圖：借助問題展開數學對話進行數學言語的訓練。

問題4 （1）你能否設計一個方案以便全面地分析指數函數的性質？

（2）請在同一直角坐標系內做出函數y=2x，y=3x，的圖像。

設計意圖：提供有結構的材料以便同學通過對話，探討指數函數的性質

二、數學文化視角下的數學課的特質

文化視角下的數學課堂不再單純地將數學視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調數學的背景化、直觀化，強調歸納推理，注重學生數學基本經驗的獲得及數學能力的培養。文化視角的數學課堂有如下的特質。

1.關注數學知識生成的過程及背景。函數的概念一課，我們為學生提供的原始認知材料既有函數運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數，這樣就容易解釋為什么我們已經知道了運動觀點下函數的概念還要學習對應觀點下的函數概念。指數函數一課，我們為學生提供了豐富的指數型函數實例，不僅可以告訴學生指數函數模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數函數是生活中實例的數學抽象。

2.關注數學語言習得的科學性。此處的科學性，是指習得數學言語時符合數學知識的生長及數學體系的生成理論。指數函數的定義的生成，我們設置了一個小的環節，要求學生給函數命名，目的是使學生知曉數學中一些概念的名稱無非是一種數學人士的約定俗稱，是一種數學生活的契約話語。

3.關注學生的思維鍛煉。等差數列的前n項和我們并沒有采用常規引學方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數。這個例子比較直觀，可以鍛煉學生用數學言語分析生活的能力（亦可稱其為數學閱讀能力），又可以通過數形結合突破等差數列求和的技術難關。指數函數性質的分析，我們嘗試著讓學生去設計方案，通過這個過程使學生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數學基本思想的鍛煉。

文化視角的數學課堂，關注了數學的生活化、趣味性，關注了數學基本活動經驗的積累，關注了數學基本思想的鍛煉，關注了數學言語形成的細節。

參考文獻

[1] 史寧中.數學思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學.陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數學教育中的數學文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數學的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學出版社，2013.

【責任編輯 郭振玲】

問題3 （1）已知一個等差數列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數成等差數列，第一層磚數為1，最后一層磚數為77？

數學文化視角下的數學言語源于生活，學習數學言語的目的是為了用更科學合理的方式描述現實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學生初步地用數學的眼光分析問題、解析問題的能力。學生只有抽象出磚墻磚數問題的數學本質，即首相為1公差為2的等差數列前21項和，才能說其具備了用數學的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數目這樣一個類生活化問題的過程中學生可習得用數學的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數學的簡潔美。

3.模型的學習

模型的學習過程是用數學的言語講述生活的過程。數學模型是數學應用的子范疇，側重于用數學的概念、原理及思維方式描述現實生活，是構建數學與生活的橋梁。其模式為：

學生習得數學模型的過程，要注意相應數學言語的嚴謹化，這個過程具有如下的特征：激活相關的數學言語，形成知識準備；用數學的言語分析數學模型；全面認識模型及模型實際應用。

[案例3]指數函數

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”用數學的語言表示天數與木棍長度的關系。

（2）若讓編號為1的同學準備1粒米，2號準備2粒米，3號準備4粒米，……照此規律，最后一位同學該準備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設計意圖：體會生活、史學上的指數模型積累指數型函數的經驗；體驗指數函數爆炸性增長的特點及極限思想；用數學的言語描述生活中的關系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構成函數？是我們學過的哪種函數？能否根據函數的特征給它起個名字？

設計意圖：抽象函數模型，體會數學基本思維——抽象、模型。

指數函數定義：函數y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數函數。

問題3 （1）為什么指數函數規定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數函數？

設計意圖：借助問題展開數學對話進行數學言語的訓練。

問題4 （1）你能否設計一個方案以便全面地分析指數函數的性質？

（2）請在同一直角坐標系內做出函數y=2x，y=3x，的圖像。

設計意圖：提供有結構的材料以便同學通過對話，探討指數函數的性質

二、數學文化視角下的數學課的特質

文化視角下的數學課堂不再單純地將數學視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調數學的背景化、直觀化，強調歸納推理，注重學生數學基本經驗的獲得及數學能力的培養。文化視角的數學課堂有如下的特質。

1.關注數學知識生成的過程及背景。函數的概念一課，我們為學生提供的原始認知材料既有函數運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數，這樣就容易解釋為什么我們已經知道了運動觀點下函數的概念還要學習對應觀點下的函數概念。指數函數一課，我們為學生提供了豐富的指數型函數實例，不僅可以告訴學生指數函數模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數函數是生活中實例的數學抽象。

2.關注數學語言習得的科學性。此處的科學性，是指習得數學言語時符合數學知識的生長及數學體系的生成理論。指數函數的定義的生成，我們設置了一個小的環節，要求學生給函數命名，目的是使學生知曉數學中一些概念的名稱無非是一種數學人士的約定俗稱，是一種數學生活的契約話語。

3.關注學生的思維鍛煉。等差數列的前n項和我們并沒有采用常規引學方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數。這個例子比較直觀，可以鍛煉學生用數學言語分析生活的能力（亦可稱其為數學閱讀能力），又可以通過數形結合突破等差數列求和的技術難關。指數函數性質的分析，我們嘗試著讓學生去設計方案，通過這個過程使學生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數學基本思想的鍛煉。

文化視角的數學課堂，關注了數學的生活化、趣味性，關注了數學基本活動經驗的積累，關注了數學基本思想的鍛煉，關注了數學言語形成的細節。

參考文獻

[1] 史寧中.數學思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學.陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數學教育中的數學文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數學的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學出版社，2013.

【責任編輯 郭振玲】