在“問題探究”中激活思維

陳鳳霞

新的《數學課程標準》指出：學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，而應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。因此我們在教學中應充分挖掘教材中的問題背景，為學生提供自主學習、探索創新的時間與空間，從而有效培養起學生的數學思維能力和創新意識。

下面是“問題引導式”教學設計下的以“圓周角”為背景的一堂教學實錄，意在嘗試如何引導學生進行自主性學習與探究性活動。

一、設計理念

建構主義的學習理論認為：學習是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構活動。讓學生親身經歷幾何定理概念的探究過程才能真正做到有意義的主動建構。在教學中創設情境，激發學生的學習興趣和強烈的求知欲望，引導學生積極思維，主動獲取知識，使學生在自主學習、探索、交流中要學數學、會學數學和樂學數學，力求體現“以學生發展為本”的指導思想。

“引導—探究—發現”教學模式體現在數學教學中，是指依據教師或教材所提供的材料和問題，通過學生自己積極主動的思維活動，親自探索和發現數學的概念、定理、公式和解題方法等的教學模式。本堂課采用了以下模式：提出問題—引導作圖、討論、試行概括，形成假說（提出各種可能性）—驗證假說探究（得出肯定或否定的結果）—發現規律性結論（概念、定理、公式、法則）—重點研討—練習應用及時反饋—評價總結。這一模式讓學生以研究者的方式參與全過程，發揮學生的主體作用，營造寬松愉悅、和諧的學習環境，提高學生學數學的興趣。

二、教學過程

1.設疑，作圖，激活思維。

師：前面我們已經學過了圓心角，什么樣的角叫圓心角？你能畫圖說明嗎？

生：頂點在圓心的角是圓心角。如圖：

師：請大家畫圖并觀察，思考問題。

問題1：在⊙O中畫圓心角∠AOB。

當∠AOB的頂點O在平面內運動時，頂點與圓的位置關系會產生哪幾種情況？請你畫出圖加以說明。

生：角的頂點O可以在四個位置：圓外、圓內（除圓心）、圓上、在圓心。

問題2：當一個角的頂點在圓上，這個角的兩邊與圓的位置關系又會產生哪幾種情況？請你畫出圖加以說明。

生：當角的頂點在圓上時，角的兩邊在運動過程中與圓有三種位置關系：角的兩邊都與圓相交、角的一邊都與圓相交、角的兩邊都與圓不相交。

【評】問題1啟發學生辨別角的頂點和圓的關系，認清角的頂點的位置，問題2則是辨別當角的頂點在圓上時角的兩邊和圓的關系，通過點的運動和線段的運動建立起圓周角的模型，為圓周角的定義做好鋪墊，使學生主動建構概念。

2.歸納，同化定義。

師：幾何中把你們在問題2中所畫出的滿足第一種角的條件的角叫做圓周角。你能類比圓心角把圓周角的定義總結一下嗎？

生：頂點在圓上，角的兩邊都與圓相交的角是圓周角。

師：那圓心角與圓周角間有什么區別呢？

生1：圓心的位置不同。

生2：還要滿足角的兩邊都與圓相交。

師：總結得很好！請找出你剛才在問題1與問題2中所畫的角中的圓周角，進一步認識它。

【評】由學生總結定義比老師直接給出定義更直觀，學生對概念的理解會更深刻。通過創設情境，學生親身體驗概念的形成。

3.討論，合作探究。

問題3：如圖，畫出所對的圓心角和圓周角，BC所對的圓心角有幾個？圓周角有幾個？用量角器量出圓心角的度數，再量出所畫各圓周角的度數。你能發現什么？

（學生自己作圖，觀察、測量。）

（小組合作探究，與別的同學比較畫出的圓心角與圓周角，發現不同，考慮并分析正確性。開始時有的同學覺得別人的圓周角與自己的不一樣有所懷疑，經過討論辨析發現都是正確的，從而弄清同一條弧所對的圓周角有無數個。）

師：根據作圖與測量，你們得出了哪些結論？

生1：BC弧所對的圓心角只有一個，而圓周角有很多。

生2：BC弧所對的圓周角的度數我測量的結果都相等。

師：那其他同學的結果呢？

生：也是的。

師：另外有補充嗎？

（愣了一會兒）

生：我發現我所量出的BC弧所對的圓心角是圓周角的兩倍。

師：那其他同學有類似結論嗎？

生（恍然大悟）：喔，我們也是呀！

師：你們得出了很多假設，他們正確與否呢？我們需要需要嚴密地推導，大家以小組為單位，對下面的問題互相討論，并嘗試驗證它們的正確性。

（學生學習熱情高漲，躍躍欲試。）

問題4：如圖，BC弧所對的圓心角∠BOC的度數為60°，延長BO交⊙O于A，連接AC，則BC弧所對的圓周角∠BAC等于多少度？如果∠BOC的度數為m°，那么∠BAC等于多少度？

（學生思考并解題，得出結果后又提出疑問：若BC弧所對的圓周角的一條邊不是直徑也會有這樣的結果嗎？）

結論：需要分類驗證。

生：（說驗證過程）略。

【評】注重學生的“最近發展區”從特殊到一般，注重知識的建構過程，培養學生的思維。

師：通過驗證大家知道了“一條弧所對的圓心角只有一個，所對的圓周角有無數個”，但是對“一條弧所對的圓周角是否是圓心角的一半”存在不同意見，怎樣解決這個問題呢？我們看下一個問題。

問題5：你能證明：“一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一半”嗎？

提示分析：為了驗證這個猜想，可將圓對折，使折痕經過圓心和圓周角的頂點。這時可能出現三種：①折痕是圓周角的一條邊，②折痕在圓周角內部，③折痕在圓周角的外部。

（學生證明）

師：大家先得出圖1的特殊情況的證明方法，然后把后面的兩種一般情況通過作輔助線轉化為第一種情況，用到了從特殊到一般的數學思想方法，今后要注意這種方法的運用。

師：同時要知道這種證明一個命題的方法叫做完全歸納法，完全歸納法是把要研究的某類事物的所有情況，逐一加以討論，再進行概括而得出一般性的結論。情況的分類要正確，不能重復不能遺漏。

師：現在你們能總結一下剛才驗證的結論嗎？

生：（1）一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半。

（2）圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。

【評】注重對數學思想方法的滲透，并及時進行歸納和總結，使學生的獨立思考與合作探究相結合，注重學生的活動空間與時間的把握。

問題6：觀察圖中，∠C2，∠C3，∠C4的大小有什么關系？∠AC6B與∠AC7B呢？你能發現什么結論？你會驗證嗎？你會用文字語言歸納你所發現的結論嗎？？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖

師：（歸納總結）略。

4.展示，反饋知識。

（學生練習）

三、教學反思

1.本節課學生的探究活動比較多，教師既要全局把握，又要順其自然，千萬不可拔苗助長，為了后面多做幾道練習而人為主觀安排時間。用問題引導探究符合學生的認知規律，因為幾何規律（公式）的探究活動本身既是對學生能力的培養，又是對公式的識記過程，也可以提高他們應用公式的技能。因此，不但不可以省，而且要充分挖掘，使不同層次的學生都有事情做且樂此不疲，更充分地參與其中，課堂氣氛和諧、融洽，體現了課堂的動態平衡性。

2.在圓周角定理的探求過程中，學生表現出觀察角度的差異，有的學生只是側重觀察某個特殊位置，把它孤立地看，而不知道將一般位置聯系地看；有些學生則既觀察入微，又統攬全局，表現出了較強的觀察力。教師要善于抓住這個契機，適當對學生進行思維方式與解題方式指導，培養他們“既見樹木，又見森林”的優良觀察品質。

3.數學課堂需要以一種生態的理念作支撐。要從生態化的角度對課堂進行審視，用生態的和諧平衡、動態生成的思想，指導課堂教學中教學目標的設置、教學內容的選擇與編排、教與學方式方法的選擇與適應、教學環境的創建等，力求營造和諧的、動態的、充滿生命力的、可持續性的教授知識、學習知識和交流知識的數學課堂教學生態環境。

4.整節課雖然設計了很多循序漸進的問題，力求用問題引導探究，也嘗試用“生態學原理”的觀念指導數學課堂教學，考慮了課堂生態環境的平衡。但“生態學原理”與“數學課堂教學”兩個概念的結合還是比較牽強。今后還需借用生態學中觀念與方法，分析數學課堂教學環境中“教師、學生、教材、環境”等因素所具有的生態特性，探索適宜的教學觀、學習觀，另外對教學評價的開展也要進行更具體的研究。