“截圖”技術——解決立體幾何問題的法寶

曹沈華

摘 要：“立體幾何”是大部分中職學生數學學習的難點，尤其是“立體幾何”中有關“線線、線面、面面”各種位置關系定理的判斷、證明，以及各種位置關系性質的應用，不但困擾著學生，也困擾著教師。本文介紹如何以“截圖”技術，破解這一難題。

關鍵詞：截圖 立體幾何 數學教學

一、中職學生學習立體幾何典型障礙分析

就學生來說，一是中職學生空間想象力較差，大部分學生對空間點線面的位置關系不能正確理解，無法完整分類呈現，經常把二維平面中的點線面位置關系，混淆到三維空間，使得學生在學習起點上就產生了大問題；二是學生初中“平面幾何”知識儲備薄弱。尤其是沒有掌握“幾何”知識的正確學習方法，造成大部分學生的制圖、識圖、用圖能力很差。

就教師來說，教學中一般教師很少使用幾何體實物、掛圖、圖片，或者是視頻等直觀手段，造成學生無法正確理解空間線面、面面中，有關平行、相交、異面、垂直等各種判定定理、性質定理，以至于在應用各類定理、性質證明問題時，學生往往手足無措，無法順利解決。如此日積月累，大量的定理、性質得不到正確理解應用，造成學生整章立體幾何學習的失敗。

二、“截圖技術”概述

鑒于以上現象，本文提出“截圖”理念。所謂“截圖技術”是指，學生在問題解決中要根據題目主要條件，把題中所給圖形加以分解，并刪除無關或是弱相關線面，重新呈現相關圖形的形成過程，形成幾個互相聯系的“子圖”從而實現圖形的簡化，并突出題中的關鍵點線面，以幫助學生順利識圖、用圖，找到解題思路。如果題中未給定相關圖形，則要求學生根據主要條件，逐步添加線面，同樣要形成系列“子圖”，在“子圖”中呈現不同關鍵線面、角度或是距離等，而不是像以往給出圖形的整體。因此，筆者把“根據條件呈現圖形形成過程，或是分解有圖形”的技術稱為“截圖”，教學中常常利用“截圖”引導學生分析解決立體幾何問題。

三、立體幾何“截圖技術”的一般應用路徑

“截圖技術”是筆者的新提法，是一種方法創新。筆者認為有必要把它作為一種學習方法加以肯定，提供給教師、學生。其應用路徑簡述如下。

1.辨

分析題目條件，按題目敘述順序，確定題中關鍵點、直線和平面，以及題中其他無關或是弱相關的線面等。

2.畫

結合題目已給圖形，重新逐步繪制以上關鍵點線面，去掉無關或是弱相關的線面，獲得有密切聯系的系列“子圖”。

3.析

根據題中所訴平行、垂直等位置關系，或是各種角度、距離等條件，結合所證、所求實際問題，來分析應用以上系列“子圖”，獲得問題解決思路。

4.寫

整理以上解題思路，按照立體幾何書寫要求，規范使用各種符號語言，正確嚴密表達邏輯過程，以解決問題。

下面試舉一例，說明“截圖”技術的應用策略。

典型例題：在正方體AC1中，求證：直線DB1⊥平面A1BC1。

分析：本題屬于線面垂直的證明，需要用到線面垂直判定定理、性質定理、三垂線定理及其逆定理等，并涉及多條直線多個平面，圖形比較復雜。根據“截圖”應用路徑，具體分析如下：

辨：顯然，原圖中點線面關系復雜，學生很難清晰辨認。實際上，本題僅需證明DB1⊥平面A1BC1內的兩條相交直線，即證明DB1⊥A1C1，且DB1⊥A1B，而與其他無關。所以，可以將其他無關線面暫時刪除。

畫：為分別證明DB1⊥A1C1與DB1⊥A1B，可以實施分別截圖，保留所需相關線面，去掉無關點線面等得到兩個子圖。

析：（1）首先根據子圖，DD1⊥上底面A1C1→斜線DB1，以及斜線DB1在上底面的射影D1B1；其次，因為正方體上底面為正方形，則射影D1B1⊥平面內直線A1C1；最后，據三垂線定理，則斜線DB1⊥平面內直線A1C1（結論1）。

（2）同理可得，斜線DB1⊥平面內直線A1B。

（3）所以，由DB1⊥A1C1和DB1⊥A1B，可以推出直線DB1⊥平面A1BC1。

寫：整理思路，規范使用符號語言，表達邏輯過程。

通過以上案例筆者認為，中職學生學習立體幾何的關鍵有三：一要正確把握題目條件，二要準確判斷題目類型，三要精確分析線面關系，而這些都離不開作圖，或是對已有圖形的深入。因此截圖技術在立體幾何問題解決中，有著更為廣闊的運用。

四、小結

通過長期實踐發現，“截圖技術”不但可以幫助學生分析題目條件，想象線面關系，順利找到題中涉及的主要線面，迅速發現證明思路，長期堅持還可以幫助學生養成獨立思考習慣，提高學生制圖、識圖能力，培養學生正確的問題分析思路，從而樹立學生學習的信心，提高課堂教學實效性。因此，對中職學生來說，“截圖”是一種比較適合立體幾何初學者的方法。

（作者單位：海鹽縣技工學校）