關于“雞兔同籠”教學中“假設法”的調查研究

劉慧

【摘要】 教學中發現學生在應用假設法解“雞兔同籠”問題時的認知與眾多文獻上有差異，為了了解學生的真實認知及對假設法的理解與掌握程度，以三所學校六個班的273名六年級學生為研究對象，以已學過的問題作為測試題，編制問卷進行了調查.

【關鍵詞】 雞兔同籠；假設法；教學；調查；思考

一、問題的提出

為給五年級學生上一堂用假設法解“雞兔同籠”問題的課外活動課，筆者抱著學習與借鑒的想法，閱讀、分析了大量教學實錄、設計等文章，確定以某名師的教學實錄為主，融合其他設計的優點上這堂課，以期取得好的效果.可教學中發現學生的認知與眾多文章上有一定的差異，主要表現在：學生并不是從“全是雞（兔）”著手，而是從自己判斷的某個數去進行探究.雖然參加過奧數輔導的幾名學生作出了“全是雞（兔）”的假設，但說不出為什么這樣假設.當然，出現這種差異的主要原因可能是筆者缺乏教學經驗造成的，但感到大多數學生的認知更符合常理，使我陷入了百思不得其解的痛苦之中.

二、研究測試與方法

測試與調查的問題及實施

1. 測試與調查的問題

測試題：今有雞兔同籠，上有35 個頭，下有 94只腳.問雞、兔各多少？

這是你們課本上學過的“雞兔同籠”問題.請你用假設法給出該題的一種解法，然后回答：

（1）你的解答中為什么這樣假設？知道的請寫明原因.

（2）請將你學校任課老師講解該問題時給出的不同假設寫在下面（只寫“假設……”，不寫解題過程）.

（3）請把你解該題時能提出的不同假設全寫下來（同（2））.

（4）今有雞兔同籠，共有35 個頭.請你推測或猜測雞和兔各有幾只？把你猜測的結果寫在下面.

2. 測試與調查的實施和統計

從某省會城市選取了三所公認的好學校，每個學校采取隨機整體抽樣，各抽取兩個班，分別于2014年3月13日、14日，在任課老師的協助下進行測試與調查，答卷時間30分鐘.收回答卷273份，有效問卷265份，有效率97.07%（見表一）.然后進行閱卷與簡單統計，再用SPSS軟件進行數據統計分析.

表一：樣本人數分布及有效問卷份數分布情況

三、結果與分析

（一）測試題答對人數、百分率及差異比較

在有效問卷中，正確答案189份，正確率71.32%；錯誤答案76份，答錯率28.68%（分布情況見表二）；經χ2檢驗，三校學生答題正誤率的高低受學校及任課教師的影響沒有明顯的差異.這說明大多數學生能用“假設法”正確地寫出解題過程.在近三成的錯誤答卷中，有18份解答幾乎空白，連假設也沒作出，占有效問卷的6.79%；有36份作出了假設，但過程不完善或錯誤，占有效問卷的13.58%；有22名學生作出了假設，過程也正確，但求出來的不知道是雞還是兔，占有效問卷的8.30%.另外，六年級學生用列舉法、畫圖法、假設法、方程法解答此題的總正確率為72.5%，雖無法作出明確的比較，但能說明該調查的結果還是比較科學的.

表二：解答正確的人數及有效問卷的百分率分布情況

（二）“為什么這樣假設”的調查結果

統計結果顯示：在247份作出假設的答卷中，回答知道自己為什么這樣假設的有118份，占47.77%；不知道的有129份，占52.23%.但從回答知道的學生給出的原因來看，主要可分為三類：回答“不這樣假設做不出來”的有58人，占49.15%；回答“老師教的”有36人，占30.51%；回答“這樣解題簡便”的有16人，占13.56%.另有8人（占6.78%）的回答什么意思也沒表達出來.由此看來，回答知道的學生其實也不知道.總之，學生不知道自己解題時作出假設的原因，也說明3.1中能用“假設法”正確寫出解題過程的學生，恐怕只是機械地套老師教給的方法罷了.

（三）關于“不同假設”的調查結果及相關性分析

統計結果顯示，無論是老師所教，還是學生所提，不同假設有四種：假設全是雞（頭）、假設全是兔（頭）、假設全是雞腿、假設全是兔腿（分布情況見表三）.前兩種假設應該是老師們教學中都教過的，也是學生解題時能提出的最多的假設，之所以達不到100%，應是個別學生不能理解與掌握造成的.而教師所教后兩種假設的答卷全部來自一個班，說明只有該班的任課老師教了這兩種不同的假設.學生提出的后兩種假設的數量比老師教的多（經χ2檢驗不存在顯著性差異，χ2=0.3178），估計是個別學生參加課外輔導的老師所教.老師所教與學生所提不同假設的積差相關系數r > r0.001 = 0.999，高度顯著相關，說明學生提出的假設來源于老師所教，沒有創新性的假設.這與不明白為何這樣假設有關，印證了3.2中學生不知道為什么這樣假設的結果.

表三：不同假設的總數及占有效問卷的百分率分布情況

（四）測試題放棄腳的條件限制后的猜測結果

統計顯示，學生從雞兔共有35 個頭這個條件出發猜測雞兔只數的結果，除了4名學生出現了全是雞或兔的猜測外，其他學生給出的結果都在5和30之間.雖然該問題放棄了94只腳的條件限制，給學生留出了全是雞或兔的思考空間，絕大多數學生還是不做極端的猜測.這說明了：若不放棄該條件，老師又不講解，絕大多數學生不從極端的假設入手對問題進行探索.這也從反面證明了3.3中學生所提出的假設來源于老師所教的結論.

四、討論與教學建議

由上可知，城市里好學校的學生尚且不能理解假設法，那一般學校就可想而知了.其實，這是一個較為普遍的現象，不少老師也發現了這一問題.學生很多時候是濫用套路，并沒有真正理解和掌握假設法.諸如假設法等方法來得并不自然，易使學生形成對數學的錯誤認識，并打擊學生的自信.因此，探討其原因并提出合理化的教學建議具有重要意義.

（一）對假設法含義的理解是學生掌握該方法的關鍵

學生對假設法的理解和掌握與教師的教學有很大關系.不少教師所教的假設法其實是一種“術”，只是具體地解決了“如何假設”，而對于為什么要這樣假設，大多未能有效地解決，從而造成了很多學生對假設法的“一知半解”和“生搬硬套”.而這一切的根源在于對假設法含義的理解.

在諸多文章中，明確界定假設法含義的并不多.有專家認為：“假設法就是先假設全都是雞（或兔），然后根據由假設得到的腿數與實際腿數的差，就能求出兔（或雞）的只數.”而大多數文章都是在講完例題后，給出界定：“我們把這種先假設所有的動物都是雞或兔的方法叫作假設法.”這樣的界定顯然有失偏頗，既沒有抓住假設的實質，也束縛了學生的思維.

科學方法論認為，假設是在事實或科學理論的基礎上，通過觀察、聯想、推理或直觀等手段作出的初步估計與判斷，是一種預見或猜想，它是理論形成和問題解決的前提.在此前提下再進行驗證、推理與調整，檢驗其科學性或解決問題，就是人們通常所說的假設法.它是提出猜想，驗證與修正猜想，并證明猜想的一個過程.其實，方法論中沒有假設法，這種處理問題的方法應該是英國哲學家赫歇爾提出的假設—演繹法.

（二）教學建議——尊重學生認知，解放學生的頭腦

由于學生觀察問題的角度、直觀感受與認知水平有差異，其在解決“雞兔同籠”問題時作出的初步估計與判斷也有差異，其預見或猜想——假設也就不盡相同.因此，教學應該尊重學生的認知，讓學生展現其真實想法，促進學生創造力的培養，切莫為了解法的統一，禁錮學生的思維，真正落實陶行知先生提出的“解放兒童的頭腦，使他能想”的教學建議.由此，筆者提出以下教學建議：

1.引導學生根據題目的條件，作出初步的分析，提出假設，再通過驗證、推理與調整來解決問題

教師在講清假設含義的基礎上，應鼓勵學生從頭或腳的一個條件入手，自己作出估計性判斷，提出合理的假設，并據此去推理、驗證是否符合另一個條件，若不符合，就調整到符合為止.事實上，解“雞兔同籠”問題，假設部分頭（腿）數為雞（兔）頭（腿）更合情理，因為題目說的是雞兔同籠.就本文測試題而言，假設0～35之間的任意一個整數為雞（兔）的頭（只）數，或假設0～94之間的任意一個整數為雞（兔）的腿數（假設一個2的倍數為雞的腿數，或4的倍數為兔的腿數更簡便），均在合理范圍內.前面3.4中的結果也驗證了這樣的假設更符合學生的認知.如測試題也可如下解：

解：假設有60只兔腳，則有34只雞腳，共有34 ÷ 2 + 60 ÷ 4 = 32（個）頭，比實際少35 - 32 = 3（個）頭.把4只兔腳換成4只雞腳多4 ÷ 2 - 4 ÷ 4 = 1（個）頭，故需要把3 ÷ 1 × 4 = 12（只）兔腳換成雞腳.故雞有（34 + 12） ÷ 2 = 23（只），兔有35 - 23 = 12（只）.

2. 通過讓學生比較不同假設下解法的優劣，引導其掌握極端假設

教師可通過讓學生展示不同的假設及解題過程，使學生比較哪種假設解題更簡單，引導其掌握最優方法.若有學生給出了極端假設（全是雞或兔）更好，若沒有可引導學生考慮極端情況，使其嘗試解答，再與自己的解題過程進行比較.這既可培養學生的優化思想，也促使學生向“假設全是雞（兔）”過渡.當然，學生有選擇的權利，不可強求統一，只要掌握這種思想就行.

結束語：“我們現在的教學過程中，各種‘套路太多，從牽強附會的‘情境創設到畫地為牢的‘合作探究，我們看到了學生太多的興高采烈……”這一針見血地指出了當今的教學中虛假的花架子現象比較嚴重的現實.筆者認為：教學是一門實實在在的學問，只有我們教師尊重學生的認知，用心去做教學，眾多文章中那些精彩紛呈的教學景象才會成為現實.管窺之見，請專家學者批評指正.