解數學規律題中函數思想方法

馬憲武

【摘要】 函數思想是一種很重要的數學思想方法，本文從什么是函數思想，用函數思想解決規律問題的基本條件，利用函數思想解決探索規律問題的方法三個方面探討了解數學規律題中函數思想方法問題.

【關鍵詞】 函數；規律；應用；思維

新的課程標準下，學生學習數學學科，一方面要掌握新課程標準所規定的數學知識和技能，更重要的是掌握數學思維方法，促進思維能力的提高. 函數這一數學概念有著豐富的內涵和外延，在初中數學教學過程中，教師通過對函數的學習，培養學生的思維能力，函數思想和許多實際問題的數量關系和變化規律有著相通內涵，用函數思想解數學規律題成為提高學生數學素養的重要教學內容.

一、什么是函數思想

函數思想是一種很重要的數學思想方法，指利用函數的概念、性質和圖像去分析問題和解決問題，用運動變化的觀點來研究兩個變量之間的相互聯系. 函數研究的是變量之間的變化規律，利用函數思想來解決變量問題，一次函數、反比例函數、二次函數的圖像與性質等知識是利用函數思想解決數學問題的基礎，而應用函數思想解決數學問題的關鍵是善于觀察問題，挖掘內在的隱含條件，揭示條件之間的內在聯系，恰當地構造函數. 新課標中提出：學生要具備“探索具體問題中的數量關系和變化規律”的能力，初中數學教學要求學生能夠發現數學對象所具有的規律性，能夠依據題目給出條件，通過觀察與分析、綜合與歸納、概括與推理等探索活動，逐步確定需求的結論. 讓學生經歷觀察、比較、歸納、猜想，培養學生的探究創新能力.

二、用函數思想解決規律問題的基本條件

探索規律領域的題型很多，函數思想解決規律問題是有條件的，并不適合所有的題型，這是由函數的定義決定的. 在某個變化過程中，如果有兩個變量x，y，每確定一個變量x的值就有唯一的變量y 值與之對應，對于這樣有兩個變量的題型，函數規律才能通過求解和圖像的方法詮釋出來. 而對于具有三個或者三個以上的變量時，就不適合用函數思想解決問題. 所以，在使用函數思想解決問題時，應該保證使用的基本條件是兩個變量. 一次函數關系的規律題也能用函數思想，當二次函數解析式中二次項系數求解為零時，二次函數就成了一次函數關系了. 數學知識是一個內涵豐富、聯系緊密的有機體，知識點之間有著千絲萬縷的聯系，各個知識點不是孤立存在的，相輔相成，環環緊扣，構成一個有機的統一體. 函數題型形式多種多樣，往往會和圓形、三角形內容進行知識的綜合，形成復雜的綜合試題，老師教學時，要融合多種知識，培養學生的發散思維，幫助學生找到知識之間的關聯，有效地把所學的知識融合在一起，提高對知識的綜合歸納能力. 教師在教學中，要幫助學生找到解答這類題目的思路，培養學生的思維能力. 抽象的數學學科知識，在現實生活都有具體的反映，服務生活是學科知識的最終作用. 抽象的函數知識有著濃厚的生活趣味，與人們的生活實際密切相聯. 教師在進行數學教學時，滲透函數思想的培養，以函數與生活問題的聯系為切入點，設置生動有趣的問題情境，激發學生的能動性，學生主動參與意識加強，為探究活動創造了條件.

三、利用函數思想解決探索規律問題的方法

具有代表性的探索規律題型中，需要學生通過觀察、類比、歸納得出普遍規律，對于絕大多數的學生來說比較困難. 把函數思想用于解決這一類探索規律題，會收到顯著的教學效果. 例如，二次函數的解析式為：y = ax2 + bx + c，求解該解析式的方法是通過圖像上的三個點代入二次函數的解析式，轉化為三元一次方程組，解得待定系數a，b，c；如果反向思考這個問題，在平面直角坐標系中，任意三個點都能確定一個二次函數解析式，通過求解二次函數解析式，就能得到在該二次函數圖像中滿足該函數圖像規律的所有點的坐標. 例如，已知一列數2，5，10，17…，那么第10個數為幾？第n個數是什么？ 該數列列出了前四個數字，如果用函數思想來思考，可將自變量 x 定義為從 1 開始的自然數的集合，因變量 y 為每一個對應位置上的數字，如果該數列具有一定的規律，從函數角度分析，這些對應的數字可以看作點的坐標，這些點一定在一條函數圖像上. 初中階段，函數類型中，二次函數是最重要的領域，也是教學的重點和難點，依據這個思路，可以把前三項數字看作點的坐標即為（1，2）（2，5）（3，10），將三點代入y = ax2 + bx + c得到：a + b + c = 2，4a + 2b + c = 5， 9a + 4b + c = 10，解得： a = 1，b = 0，c = 1，解析式為： y = x2 + 1，第n個數為n2 + 1. 規律探索試題是根據若干特例，通過觀察、類比、歸納，發現題目所蘊含的本質規律的一類探索性問題. 規律探究題是一種重要的研究問題的方法，也是探索發現新知識的重要手段，有利于學生創造性思維能力的培養，給數學題的形式和內容注入了新的活力，給課堂學習帶來了重大影響. 這種題目是在特定的背景或條件下，通過仔細觀察，認真分析，提取相關的數據信息，綜合歸納，作出大膽猜想，得出結論，驗證結論. 有一類題目，要求學生利用給定的圖示或說明性材料，尋找兩個變量間關系的問題，這類問題設計新穎，解題時滲透了特殊與一般的數學思想，從通項規律上來看，問題的關系往往是一次關系或二次關系，如果能從函數角度來研究，這類問題就可以迎刃而解. 利用函數思想解決問題的基本思路是：轉型三點坐標——求解二次函數解析式——得到固定規律，解決任意位置對應的對象.

總之，函數數學是整個初中數學教學的組成部分，初中數學教學過程中，教師通過對函數的學習，培養學生的函數思想與思維能力，挖掘函數應用因素，培養學生用函數思想解規律題的能力，提高學生思維的主動性，加強解題訓練，發展創新思維.

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