高三數(shù)學(xué)概念“函數(shù)周期性”復(fù)習(xí)教學(xué)芻議

陳之領(lǐng)

摘要：函數(shù)的周期性在高中教學(xué)起點(diǎn)較低，但關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn)的解題能力要求較高，兩者在能力要求上相差較大。本文從概念課復(fù)習(xí)出發(fā)，從兩個(gè)層次上談如何有效地實(shí)現(xiàn)這一跨越。

關(guān)鍵詞：起點(diǎn)；理解；遷移；文思；原形

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）18-092-1蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的周期性這一概念出現(xiàn)在必修四《三角函數(shù)》中，《江蘇省普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》指出：了解三角函數(shù)的周期性，知道三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期為T=2π|ω|。關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)注意要根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義。面對各地模擬試卷中經(jīng)常出現(xiàn)難度較大的關(guān)于函數(shù)周期性的試題，學(xué)生解決起來頗有困難。因此，高三的數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解，超越原形就是要巧妙遷移，拓展延伸，使學(xué)生的能力得到提升。

一、立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解——把握文思

結(jié)合新授課的教學(xué)與課前的預(yù)習(xí)，學(xué)生會(huì)對函數(shù)周期性有如下理解：

感知層面：①對于值域中的每一個(gè)函數(shù)值總會(huì)不斷重復(fù)出現(xiàn)；②函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的“跨度”就是函數(shù)的周期；③函數(shù)的周期可能不止一個(gè)。

理解層面：①對定義域中只需存在一個(gè)值x不滿足f（x+T）=f（x），就不能說f（x）是周期函數(shù)；②周期性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)；③周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正數(shù)稱為最小正周期；④并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期。

在教學(xué)過程中，教師要抓住概念表述中的文思“函數(shù)值等距離重復(fù)出現(xiàn)”，進(jìn)行剖析：函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)能否用另一種形式表達(dá)，把學(xué)生的理解進(jìn)一步引向深入。

加強(qiáng)理解①（以相反數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=-f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

加強(qiáng)理解②（以倒數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=1f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

當(dāng)然可以將兩者結(jié)合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙遷移，拓展延伸——超越原形

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生若對周期性的理解止于此的話，那么函數(shù)周期性的概念復(fù)習(xí)才算完成了一半，甚至是一小半！我們必須讓學(xué)生思考：函數(shù)周期性，在求畫函數(shù)圖像、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有什么效用？使學(xué)生明白：因?yàn)槊恳粋€(gè)周期的圖像特征是一致的，因此只需研究一個(gè)特殊周期的圖像和性質(zhì)即可。這也點(diǎn)明了周期性的本質(zhì)功能是實(shí)現(xiàn)了圖像在不同區(qū)間上的轉(zhuǎn)移。再進(jìn)一步思考：函數(shù)周期性體現(xiàn)出來圖像轉(zhuǎn)移的方式是“橫向的平移”、圖像的基本形狀不改變。從這一點(diǎn)上來講，對數(shù)學(xué)概念的理解一定要超越原形

若改變圖像轉(zhuǎn)移的方式，函數(shù)周期性的概念就可以進(jìn)一步拓展遷移。基于這種理解，筆者與學(xué)生研究了如下兩種性質(zhì)并給出相應(yīng)的練習(xí)：

1.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x）+A，那么函數(shù)f（x）可以理解成雙等差周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

2.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=Af（x），那么函數(shù)f（x）可以理解成橫等差縱等比周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

通過兩個(gè)新概念的引入，學(xué)生會(huì)了解到函數(shù)圖像的“轉(zhuǎn)移”不僅可以沿x軸水平的“移”，還可以沿著x軸、y軸同時(shí)變化的移：橫向等差移，縱向等差移；橫向等差移，縱向等比移。學(xué)生自然就會(huì)提問：橫向是否可以等比移呢？在函數(shù)周期性概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生的思維一下子打開了，筆者連同學(xué)生接著研究下面兩道習(xí)題：

3.設(shè)函數(shù)f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，則方程xf（x）-1=0的根的個(gè)數(shù)為。

4.定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)f（x）=1-|x-3|。若函數(shù)所有的極大值點(diǎn)均落在通一條直線上，則c=。

兩道習(xí)題的順利解決促使學(xué)生思考對函數(shù)周期性定義的理解不應(yīng)僅僅停留在“函數(shù)值周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)”這樣簡單的理解水平上，對數(shù)學(xué)概念的理解應(yīng)重點(diǎn)在于對其本質(zhì)的理解、遷移與拓展。

有了上述的基礎(chǔ)，筆者給出了一道較難的習(xí)題，作為課后思考。

在復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對概念的文思做深入的理解，本質(zhì)的把握。若能在概念原有的基礎(chǔ)上有所拓展，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些遷移，概念的應(yīng)用空間可能會(huì)急劇地?cái)U(kuò)展，課堂教學(xué)可能會(huì)取得事半功倍的效果。endprint

摘要：函數(shù)的周期性在高中教學(xué)起點(diǎn)較低，但關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn)的解題能力要求較高，兩者在能力要求上相差較大。本文從概念課復(fù)習(xí)出發(fā)，從兩個(gè)層次上談如何有效地實(shí)現(xiàn)這一跨越。

關(guān)鍵詞：起點(diǎn)；理解；遷移；文思；原形

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）18-092-1蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的周期性這一概念出現(xiàn)在必修四《三角函數(shù)》中，《江蘇省普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》指出：了解三角函數(shù)的周期性，知道三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期為T=2π|ω|。關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)注意要根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義。面對各地模擬試卷中經(jīng)常出現(xiàn)難度較大的關(guān)于函數(shù)周期性的試題，學(xué)生解決起來頗有困難。因此，高三的數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解，超越原形就是要巧妙遷移，拓展延伸，使學(xué)生的能力得到提升。

一、立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解——把握文思

結(jié)合新授課的教學(xué)與課前的預(yù)習(xí)，學(xué)生會(huì)對函數(shù)周期性有如下理解：

感知層面：①對于值域中的每一個(gè)函數(shù)值總會(huì)不斷重復(fù)出現(xiàn)；②函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的“跨度”就是函數(shù)的周期；③函數(shù)的周期可能不止一個(gè)。

理解層面：①對定義域中只需存在一個(gè)值x不滿足f（x+T）=f（x），就不能說f（x）是周期函數(shù)；②周期性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)；③周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正數(shù)稱為最小正周期；④并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期。

在教學(xué)過程中，教師要抓住概念表述中的文思“函數(shù)值等距離重復(fù)出現(xiàn)”，進(jìn)行剖析：函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)能否用另一種形式表達(dá)，把學(xué)生的理解進(jìn)一步引向深入。

加強(qiáng)理解①（以相反數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=-f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

加強(qiáng)理解②（以倒數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=1f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

當(dāng)然可以將兩者結(jié)合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙遷移，拓展延伸——超越原形

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生若對周期性的理解止于此的話，那么函數(shù)周期性的概念復(fù)習(xí)才算完成了一半，甚至是一小半！我們必須讓學(xué)生思考：函數(shù)周期性，在求畫函數(shù)圖像、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有什么效用？使學(xué)生明白：因?yàn)槊恳粋€(gè)周期的圖像特征是一致的，因此只需研究一個(gè)特殊周期的圖像和性質(zhì)即可。這也點(diǎn)明了周期性的本質(zhì)功能是實(shí)現(xiàn)了圖像在不同區(qū)間上的轉(zhuǎn)移。再進(jìn)一步思考：函數(shù)周期性體現(xiàn)出來圖像轉(zhuǎn)移的方式是“橫向的平移”、圖像的基本形狀不改變。從這一點(diǎn)上來講，對數(shù)學(xué)概念的理解一定要超越原形

若改變圖像轉(zhuǎn)移的方式，函數(shù)周期性的概念就可以進(jìn)一步拓展遷移。基于這種理解，筆者與學(xué)生研究了如下兩種性質(zhì)并給出相應(yīng)的練習(xí)：

1.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x）+A，那么函數(shù)f（x）可以理解成雙等差周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

2.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=Af（x），那么函數(shù)f（x）可以理解成橫等差縱等比周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

通過兩個(gè)新概念的引入，學(xué)生會(huì)了解到函數(shù)圖像的“轉(zhuǎn)移”不僅可以沿x軸水平的“移”，還可以沿著x軸、y軸同時(shí)變化的移：橫向等差移，縱向等差移；橫向等差移，縱向等比移。學(xué)生自然就會(huì)提問：橫向是否可以等比移呢？在函數(shù)周期性概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生的思維一下子打開了，筆者連同學(xué)生接著研究下面兩道習(xí)題：

3.設(shè)函數(shù)f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，則方程xf（x）-1=0的根的個(gè)數(shù)為。

4.定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)f（x）=1-|x-3|。若函數(shù)所有的極大值點(diǎn)均落在通一條直線上，則c=。

兩道習(xí)題的順利解決促使學(xué)生思考對函數(shù)周期性定義的理解不應(yīng)僅僅停留在“函數(shù)值周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)”這樣簡單的理解水平上，對數(shù)學(xué)概念的理解應(yīng)重點(diǎn)在于對其本質(zhì)的理解、遷移與拓展。

有了上述的基礎(chǔ)，筆者給出了一道較難的習(xí)題，作為課后思考。

在復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對概念的文思做深入的理解，本質(zhì)的把握。若能在概念原有的基礎(chǔ)上有所拓展，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些遷移，概念的應(yīng)用空間可能會(huì)急劇地?cái)U(kuò)展，課堂教學(xué)可能會(huì)取得事半功倍的效果。endprint

摘要：函數(shù)的周期性在高中教學(xué)起點(diǎn)較低，但關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn)的解題能力要求較高，兩者在能力要求上相差較大。本文從概念課復(fù)習(xí)出發(fā)，從兩個(gè)層次上談如何有效地實(shí)現(xiàn)這一跨越。

關(guān)鍵詞：起點(diǎn)；理解；遷移；文思；原形

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）18-092-1蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的周期性這一概念出現(xiàn)在必修四《三角函數(shù)》中，《江蘇省普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》指出：了解三角函數(shù)的周期性，知道三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期為T=2π|ω|。關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)注意要根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義。面對各地模擬試卷中經(jīng)常出現(xiàn)難度較大的關(guān)于函數(shù)周期性的試題，學(xué)生解決起來頗有困難。因此，高三的數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解，超越原形就是要巧妙遷移，拓展延伸，使學(xué)生的能力得到提升。

一、立足起點(diǎn)，加強(qiáng)理解——把握文思

結(jié)合新授課的教學(xué)與課前的預(yù)習(xí)，學(xué)生會(huì)對函數(shù)周期性有如下理解：

感知層面：①對于值域中的每一個(gè)函數(shù)值總會(huì)不斷重復(fù)出現(xiàn)；②函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的“跨度”就是函數(shù)的周期；③函數(shù)的周期可能不止一個(gè)。

理解層面：①對定義域中只需存在一個(gè)值x不滿足f（x+T）=f（x），就不能說f（x）是周期函數(shù)；②周期性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)；③周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正數(shù)稱為最小正周期；④并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期。

在教學(xué)過程中，教師要抓住概念表述中的文思“函數(shù)值等距離重復(fù)出現(xiàn)”，進(jìn)行剖析：函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)能否用另一種形式表達(dá)，把學(xué)生的理解進(jìn)一步引向深入。

加強(qiáng)理解①（以相反數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=-f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

加強(qiáng)理解②（以倒數(shù)的形式重復(fù)出現(xiàn)）：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=1f（x），則f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函數(shù)f（x）為周期函數(shù)。

當(dāng)然可以將兩者結(jié)合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙遷移，拓展延伸——超越原形

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生若對周期性的理解止于此的話，那么函數(shù)周期性的概念復(fù)習(xí)才算完成了一半，甚至是一小半！我們必須讓學(xué)生思考：函數(shù)周期性，在求畫函數(shù)圖像、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有什么效用？使學(xué)生明白：因?yàn)槊恳粋€(gè)周期的圖像特征是一致的，因此只需研究一個(gè)特殊周期的圖像和性質(zhì)即可。這也點(diǎn)明了周期性的本質(zhì)功能是實(shí)現(xiàn)了圖像在不同區(qū)間上的轉(zhuǎn)移。再進(jìn)一步思考：函數(shù)周期性體現(xiàn)出來圖像轉(zhuǎn)移的方式是“橫向的平移”、圖像的基本形狀不改變。從這一點(diǎn)上來講，對數(shù)學(xué)概念的理解一定要超越原形

若改變圖像轉(zhuǎn)移的方式，函數(shù)周期性的概念就可以進(jìn)一步拓展遷移。基于這種理解，筆者與學(xué)生研究了如下兩種性質(zhì)并給出相應(yīng)的練習(xí)：

1.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x）+A，那么函數(shù)f（x）可以理解成雙等差周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

2.一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=Af（x），那么函數(shù)f（x）可以理解成橫等差縱等比周期函數(shù)，非零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。練習(xí)（略）。

通過兩個(gè)新概念的引入，學(xué)生會(huì)了解到函數(shù)圖像的“轉(zhuǎn)移”不僅可以沿x軸水平的“移”，還可以沿著x軸、y軸同時(shí)變化的移：橫向等差移，縱向等差移；橫向等差移，縱向等比移。學(xué)生自然就會(huì)提問：橫向是否可以等比移呢？在函數(shù)周期性概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生的思維一下子打開了，筆者連同學(xué)生接著研究下面兩道習(xí)題：

3.設(shè)函數(shù)f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，則方程xf（x）-1=0的根的個(gè)數(shù)為。

4.定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)f（x）=1-|x-3|。若函數(shù)所有的極大值點(diǎn)均落在通一條直線上，則c=。

兩道習(xí)題的順利解決促使學(xué)生思考對函數(shù)周期性定義的理解不應(yīng)僅僅停留在“函數(shù)值周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)”這樣簡單的理解水平上，對數(shù)學(xué)概念的理解應(yīng)重點(diǎn)在于對其本質(zhì)的理解、遷移與拓展。

有了上述的基礎(chǔ)，筆者給出了一道較難的習(xí)題，作為課后思考。

在復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對概念的文思做深入的理解，本質(zhì)的把握。若能在概念原有的基礎(chǔ)上有所拓展，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些遷移，概念的應(yīng)用空間可能會(huì)急劇地?cái)U(kuò)展，課堂教學(xué)可能會(huì)取得事半功倍的效果。endprint