向量投影的拓展學習

●任旭英 (杭州第九中學 浙江杭州 310020)

向量投影的拓展學習

●任旭英 (杭州第九中學 浙江杭州 310020)

平面向量在高考中的考查從粗淺轉向深入，向量投影的考查成為一個熱點.如：

A.∠ABC=90° B∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

首先回顧向量投影的概念和它的幾何性質：若θ是a與b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在a方向的投影.當b⊥a時，向量b在a方向的投影為0.當b與a不垂直時，向量b在a方向的投影就是有向線段(如圖1和圖2)，圖1中的有向線段是正的，而圖 2 中的有向線段是負的.

圖1

圖2

對于非零向量 a=(x1，y1)與 b=(x2，y2)，利用 a·b=|a|·|b|cosθ和 a·b=x1x2+y1y2，向量b在a方向的投影可用下面的2個公式計算：

下面舉例說明：

1 利用向量投影求三角形的高

利用投影來計算高線長，比通過列方程求垂足坐標的方法，步驟少，計算量少，可提高計算的準確率，同時使學生更進一步理解向量運算.

2 利用向量投影推導點到線的距離公式

例3已知直線l的方程為Ax+By+C=0，點Q(x0，y0)，求點Q到直線l的距離.

利用投影公式計算距離，比教科書中構造直角三角形利用勾股定理計算距離思路更清晰，計算量更少，可把繁瑣的計算推理轉化成巧妙的構思計算，從而感受到數學的簡潔美.

圖3

圖4

3 利用向量投影推導三角形面積公式

注以AB與AC為鄰邊構成的平行四邊形的面積為|x1y2－x2y1|.

如果用余弦定理和正弦定理來計算三角形的面積，估計很少有學生能給出答案.答案的簡潔和對稱，會給學生震撼和成就感.

4 利用向量投影解決解析幾何大題

例5已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡.l是過點Q(－1，0)的直線，M是C上(不在l上)的動點，A，B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸(如圖5).

圖5

(1)求曲線C的方程;

(2008年浙江省數學高考理科試題第20題)

3(x1+x2)(x1－x2)－4(y1+y2)(y1－y2)=0.因為直線AB不過原點，所以x1+x2≠0.當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故x1－x2≠0，于是

上述2個題目在高考中，因其煩瑣的運算，考生的得分很低.但利用向量的方法解決問題時，學生解題的正確率與速度都大大地提高了.

向量投影的學習，有助于學生更好地用代數方法處理幾何問題，也能從中感受到數學的魅力.本文從向量投影的角度來解決問題，使學生能初步感受向量投影在求距離或求面積時的通用性和優勢.