點運動的路徑長問題

●金 嶺 (湖州市第四中學教育集團 浙江湖州 313000)

點運動的路徑長問題

●金 嶺 (湖州市第四中學教育集團 浙江湖州 313000)

近年來，各地中考試題中不斷出現有關求點運動的路徑長問題，隱含了解析幾何“求點的運動軌跡方程”的雛形.這類題目中，條件點隨整個幾何圖形的運動而運動，其背景模糊，軌跡不明，計算繁雜，造成學生的解題思路受阻.而命題者常將其設計成填空、選擇、解答題中的壓軸題，顯得極為重要.從動點所經過的路徑來分類，常見的有線段和圓弧，本文擬通過典型中考試題加以解析，從中探究這類試題的解題思路.

1 線段型

例1如圖1，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=－x于點 N.若點 P是線段 ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，當點 P在線段 ON上運動時，點A不變，點B隨之運動，求點P從點O運動到點N時，點B 運動的路徑長是＿＿ .

(2013年浙江省湖州市數學中考試題)

圖1

圖2

例2在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的2邊分別交AB，BC于點E，F，聯結EF(如圖3).

(1)當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖4)，求PC的長.

(2)探究：將直尺從圖4中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否發生變化?請說明理由;②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長.

(2011年福建省三明市數學中考試題)

圖3

圖4

(2)①tan∠PEF的值不變.

圖5

圖6

例3如圖7，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止.聯結EM并延長交射線CD于點F，過點M作EF的垂線交射線BC于點G，聯結EG，FG.

圖7

圖8

(1)設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并填寫自變量x的取值范圍.

(2)P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線的長.

(2010年江蘇省南京市數學中考試題)

分析(1)y=2x2+2，其中0≤x≤2.

(2)如圖8，分析知：當起始位置點E與點A重合時，BG1=AM=1;當終點位置點E與點B重合時，由△AMB∽△MBG2，知 BG2=5，G1G2=4，于是點P到BC的距離始終保持不變(為1)，故P1P2(P1是P的起始位置，P2是P的終止位置)是點P運動的路線，得P1P2=2.

點評點運動路徑為線段類題型，可先尋找特殊位置(起點、終點)相對應的條件點所在的位置.再抓住圖形的幾何特征，運用圖形的平移、旋轉、翻折等變化，發現三角形的相似或全等等關系，找出運動之中的不變關系，從而知道運動軌跡的形狀是一條線段，再計算獲得解答.

2 圓弧型

例4如圖9，以G(0，1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于點A，B，與y軸交于點 C，D，點 E為⊙G上一動點，CF⊥AE于點F.當點E從點B出發逆時針運動到點C時，點F 所經過的路程長為＿＿.

分析(1)點E在起點B時，點F與點O重合;點E在終點C時，點F與點C重合.

(2)在點E的運動過程中∠CFA=90°始終不變，觀察∠CFA所對的邊為AC，得到點F在以AC為直徑的圓P上(如圖10)，點F形成的軌跡為

圖9

圖10

例5如圖11，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，M是BC的中點.P(0，m)是線段OC上一個動點(點C除外)，直線PM交AB的延長線于點D.

(1)求點D的坐標(用含m的代數式表示);

(2)當△ADP是等腰三角形時，求m的值;

(3)設過點P，M，B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖12)，當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動，請直接寫出點H所經過的路徑長(不寫解答過程).

(2011年浙江省湖州市數學中考試題)

圖11

圖12

分析(1)易得點D的坐標為(2，4－m).

(3)可先探求點H經過的路徑是什么圖形，通過觀察發現“過點O作直線ME的垂線，垂足為H”，直角始終存在，直角∠OHM對應的斜邊OM始終不變，這是運動之中的不變，因此點H在以OM為直徑的圓 G上(如圖13)，G是 OM的中點，再確定點H運動的起點和終點，可以發現當點P在點O時，H在運動的起點，此時易得∠COH=45°，則∠CGH=90°;當 H 接近點C時，H也無限接近點C，但不能達到點C.于是點H運動在以OM為直徑、圓心角為90°的弧上，路徑長為

點評當點運動路徑為圓弧類題型時，也要先尋找特殊位置(起點、終點)相對應的條件點所在的位置;再抓住圖形的幾何特征，條件點往往是直角的頂點，在運動過程中對應一條斜邊不變，這是運動中的不變關系，從而知道運動軌跡的形狀是一條弧，再計算半徑和圓心角獲得解答.

圖13

結束語點運動的路徑長問題是動態問題中的一種，也是近幾年數學中考的熱點，這類試題能很好地展示考生的分析、探究能力，考查數學綜合素養，因而備受青睞.解決這類問題的關鍵：(1)分析起點和終點，找到特殊位置;(2)分清運動形成的軌跡是線段還是圓弧.