抓“題根” 重變式 以不變應(yīng)萬變
——高三二輪復(fù)習(xí)的點滴思考

●耿道永 (蘇州市工業(yè)園區(qū)第二高級中學(xué) 江蘇蘇州 215121)

抓“題根” 重變式 以不變應(yīng)萬變
——高三二輪復(fù)習(xí)的點滴思考

●耿道永 (蘇州市工業(yè)園區(qū)第二高級中學(xué) 江蘇蘇州 215121)

以“全面掌握基礎(chǔ)知識、準確理解基本概念、深刻領(lǐng)悟基本思想、熟練運用基本方法”為主旨的的一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，高三數(shù)學(xué)進入了二輪復(fù)習(xí)階段.二輪復(fù)習(xí)是由“量的積累”到“質(zhì)的飛躍”即“由厚到薄”的過程，是形成知識網(wǎng)絡(luò)化、條理化以及全面提升能力的關(guān)鍵時期，素有“二輪看水平”之說.因此如何恰當選題、設(shè)計題目，如何提煉、總結(jié)解題方法是二輪復(fù)習(xí)的關(guān)鍵.

木有本，水有源，題有根.我們?nèi)裟軐⒑棋念}目分門別類，找出同一類試題的題祖，探索其常用解法，則能達到舉一反三、跳出題海的目的.所謂“題根”，可以是課本上的例題、習(xí)題，考卷上的考題，也可以是自己編輯的題目.這個題目首先要基礎(chǔ)，80%以上的學(xué)生能解決;其次這個題型是高考的熱點，由它可以生長成很多優(yōu)秀的試題;最后這道題的解法要有普遍的適用性，能解決一類的題目.二輪復(fù)習(xí)中利用題根教學(xué)有以下3個作用：

1 體現(xiàn)差異教學(xué)理念，滿足不同學(xué)生的需要

差異教學(xué)是指在班集體教學(xué)中，立足學(xué)生的個性差異，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，促進每個學(xué)生最大限度發(fā)展的教學(xué).差異教學(xué)尊重學(xué)生之間的差異，本著公平和和諧發(fā)展的原則，力爭讓每個學(xué)生都學(xué)有所獲，都能獲得更大發(fā)展.題根教學(xué)起點低，思維開闊，并且不斷向縱深發(fā)展，可以實現(xiàn)差異教學(xué)的目的.

題根1若正數(shù) a，b滿足 ab=a+b，求 a+b的最小值.

分析本題是一道很經(jīng)典的題目，大多數(shù)學(xué)生都能做出來，主要有以下幾種方法：

思路1題設(shè)中既有a+b，也有ab，而結(jié)果只含有a+b.利用基本不等式把ab放縮成和的形式，從而達到化異為同的目的.

思路2對于多元問題，一種通法就是消元轉(zhuǎn)化，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理.

思路3題設(shè)2邊同時除以ab，可得1，利用“1”的代換求解.

思路4一般求和的最小值，可以聯(lián)想設(shè)法拼湊積為定值.由

思路5題設(shè)中既有a+b，也有ab，聯(lián)想韋達定理，構(gòu)造方程求解.

精心預(yù)設(shè)多種方法，為學(xué)生的思維差異、認知差異作好鋪墊.針對每個學(xué)生的想法，教師都要善于挖掘其合理成分，最大限度地發(fā)揮其主觀能動性.當然，作為教師，必須指出思路1和思路2是適用性比較強的方法，也就是所謂的通法.

本題若是到此結(jié)束，雖然能提煉出思想方法，滿足了不同思維方式學(xué)生的需要，但是作為題根的功能還沒有提煉出來.思維能力強、基礎(chǔ)好的學(xué)生收獲不大，還未能最大限度地滿足不同層次學(xué)生的需要，為此作如下3個層次的變式：

改編層次1改變系數(shù)

這種改編最容易，上面提到的5種方法基本都能用.

變式 1.1若正數(shù) x，y滿足 x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

變式1.2已知 a ＞0，b＞0，a+b=2，則 y=的最小值是 ( )

(2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

變式1.3若正實數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy 的最小值是 .

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

改編層次2披上“神秘的面紗”

題根不刻意對學(xué)科內(nèi)容在形式上的覆蓋，但著重考慮題根與題根之間自然的、深刻的、縱橫的滲透.因為覆蓋的只是一個“平面”，而滲透將得到一個“三維立體”.該題根可以披上“圓錐曲線、指對數(shù)函數(shù)、數(shù)列、立體幾何”等神秘的面紗，有待我們發(fā)現(xiàn)其“廬山真面目”.

變式1.4已知f(x)=log2(x－2)，若實數(shù)m，n滿足 f(m)+f(2n)=3，則 m+n 的最小值是＿＿.

(江蘇省南京市2011屆高三第一次模擬考試題)

變式1.5已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足 a7=a6+2a5，若 存 在 項 am，an，使 得

(2012年上海市徐匯區(qū)高三第一次模擬考試題)

變式1.5在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且 PA=3，PB=2，PC=1.設(shè) M 是底面△ABC 內(nèi)一點，定義 f(M)=(m，n，p)，其中 m，n，p分別是三棱錐M-PAB，M-PCB，M-PAC的體積.若

改編層次3“元數(shù)”升級或者“次數(shù)”升級

題根具有生長性，通過增加變元或者升級“次數(shù)”，可以使簡單題目升級為中檔題，中檔題升級為難題.這些題目貌似新穎，解決的方法只要類比題根的解法即可.

變式1.6設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y 的最大值是 .

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

變式1.7設(shè) x，y是正實數(shù)，且 x+y=1，則

(2012～2013學(xué)年江蘇省揚州市高三數(shù)學(xué)期末試題)

變式1.8已知實數(shù) a，b，c滿足 a+b+c=9，ac+bc+ca=24，則 b 的取值范圍是 .

(江蘇省徐州市2011屆高三第一次調(diào)研試題)

2 構(gòu)建整體知識網(wǎng)絡(luò)，提煉通用思想方法

二輪復(fù)習(xí)時間短，很難做到面面俱到，應(yīng)抓住核心熱點問題重點復(fù)習(xí)，設(shè)法形成知識體系，注重知識的不斷深化，關(guān)注不同章節(jié)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓看似雜亂的知識聯(lián)系起來，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，完善認知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)應(yīng)當是立體的、交叉的，單一的線狀連接難以適應(yīng)變化;數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)應(yīng)當是可延伸的，應(yīng)隨時接納新的信息，不斷豐富、不斷完善.將這些知識有機聯(lián)系在一起的往往是思想方法，思想方法是一條暗線，需要師生共同提煉.題根1基本做到了強化熱點基礎(chǔ)知識，溝通不同知識聯(lián)系的目的，提煉思想方法(消元轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程、常數(shù)代換)的目的.

題根2已知圓C：(x－a)2+(y－b)2=r2和直線l：Ax+By+C=0相離，d為圓心C到直線l的距離，則圓上的點到直線l的最大距離為r+d，最小距離為r－d.

縱橫聯(lián)系1改變設(shè)問方式，建立直線與圓、數(shù)與形之間的知識體系

變式2.1已知點 P(x，y)是圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0上一點，求|x+y－12|的最大值.

變式2.2已知圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0和直線l：x+y－12=0，點P是直線l上一點，過點P作圓的切線PA(A為切點)，則PA 的最小值為.

變式2.3已知圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0和直線l：x+y－12=0，點P是直線l上一點，過點P作圓的切線 PA，PB(A，B為切點)，求四邊形PACB面積的最小值.

變式2.4已知圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0和直線l：x+y－12=0，點P是直線l上一點，過點P作圓的切線 PA，PB(A，B為切點).當∠APB最大時，點P 的坐標為 .

反思本題還可以加上一件華麗的外衣：條件不變的情況下求的最小值.注意到因此轉(zhuǎn)化為求cos∠ACB的最小值，也就相當于求∠APB的最大值.

變式2.5在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為 x2+y2－8x+15=0，若直線 l：y=kx－2 上至少存在一點，使得以該點為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點，則k 的最大值是 .

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

縱橫聯(lián)系2將直線換成點、圓，構(gòu)建點與圓、圓與圓的知識體系

變式2.6圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0上的點P到定點D(－2，－1)的最大距離與最小距離的差是 .

變式 2.7若實數(shù) a，b，c成等差數(shù)列，點P(－1，0)在動直線ax+by+c=0上的射影為M，點N(3，3)，則線段 MN 長度的最大值是 .

(2012年蘇州大學(xué)高考預(yù)測卷試題)

分析由題可知2b=a+c，故動直線ax+by+c=0 過定點 A(1，－2).設(shè)點M(x，y)，由MP⊥MA可求得點M的軌跡方程為圓.因此問題轉(zhuǎn)化為圓上的點M和定點N距離的最大值問題.

變式2.8已知圓 C：x2+y2－4x－4y－10=0上一點(x，y)，求x2+y2的最大值和最小值.

縱橫聯(lián)系3將圓換成拋物線、橢圓或者一些函數(shù)的圖像，溝通解析幾何、函數(shù)等知識之間的聯(lián)系

變式2.9定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線 l：y=x的距離等于曲線 C2：x2+(y+4)2=2到直線l：y=x的距離，則實數(shù)a=.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

變式2.10分別在曲線y=ex和直線y=ex－1上各取一點M和N，則MN 的最小值為 .

(2013年江蘇省蘇州市二模試題)

以上各題在構(gòu)建整體知識網(wǎng)絡(luò)的同時，還可以提煉數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、聯(lián)想構(gòu)造等通性通法，達到了整合熱點知識、提高學(xué)生解題能力的目的.

3 透析高考命題視角，知己知彼有的放矢

高考試題以改編為主，改編的原型多出于一些經(jīng)典的問題.了解一些命題視角，對于教師用活一些經(jīng)典的題目、提高課堂教學(xué)的針對性大有裨益.

題根3(阿波羅尼斯圓) 在平面上給定2個點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足當λ＞0且λ≠1時，點P的軌跡是圓，這個圓我們稱之為“阿波羅尼斯圓”，這個結(jié)論稱作“阿波羅尼斯軌跡”.

阿波羅尼斯圓的性質(zhì)在線段AB關(guān)于定比λ(λ≠1)的阿波羅尼斯圓上任意一點C，到點A，B距離的比都等于定比λ，即.若此圓與線段AB以及它的延長線交于點M，N，則CM，CN分別是∠ACB的內(nèi)角平分線和外角平分線.

也就是說，阿波羅尼斯圓的性質(zhì)和阿波羅尼斯軌跡定理是一組互逆命題，這是一些試題命制的依據(jù).

命題視角1演繹法

這是一種從一般真命題或一組條件出發(fā)，通過邏輯推理編制數(shù)學(xué)習(xí)題的方法.

圖1

變式3.1如圖1，在平面直角坐標系 xOy中，點 A(0，3)，直線 l：y=2x－4.設(shè)圓 C 的半徑為1，圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=

x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程;

(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

(2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題解決的難點在于探求動點M的軌跡方程，而點M的軌跡就是著名的阿波羅尼斯圓.

變式3.2已知定點 A( －2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡包圍的圖形面積等于 ( )

A.π B.4π C.8π D.9π

(2006年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

變式3.3設(shè) A( － c，0)，B(c，0)(c＞0)為 2個定點，動點P到點A的距離與到點B距離的比為定值a，求點P的軌跡方程及圖形.

(2003年北京市春季數(shù)學(xué)高考試題)

命題視角2改編法

就是直接將概念、定理、成題改編為題目，常用的方法有：仿造、推演、轉(zhuǎn)化、改變信息形態(tài)、改編條件和結(jié)論等.

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題解法較多，比較簡單的解法是發(fā)現(xiàn)點A的軌跡是阿波羅尼斯圓，從而以AB所在直線為x軸、AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，求出點C的軌跡方程，從而求得△ABC面積的最大值為

反思本題不是直接考查阿波羅尼斯圓，而是把它作為解決問題的一種手段，體現(xiàn)命題者思維的開闊性、創(chuàng)造性.

變式3.5如圖2，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點 P分別作圓 O1，圓 O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)，使得，試建立適當?shù)淖鴺讼担⑶髣狱cP的軌跡方程.

(2005年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

圖2

圖3

命題視角3倒推法

這是一種利用命題可逆性的命題方法，即知道命題的結(jié)論，探索命題的題設(shè).如在已知圓的前提下，探求定點和比值可以命制更為復(fù)雜的試題.

變式3.6如圖3，已知橢圓 E：(a＞b＞0)的離心率為，且過點，設(shè)橢圓的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，直線AB被以原點為圓心的圓O所截得的弦長

(1)求橢圓E的方程及圓O的方程.

(2)若M是準線l上縱坐標為t的點，求證：存在一個異于M的點Q，對于圓O上任意一點N，有為定值;且當M在直線l上運動時，點Q在一個定圓上.

(2011年3月蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三數(shù)學(xué)教學(xué)情況調(diào)查題)

分析對于第(2)小題，容易聯(lián)想到阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，解決這類題一般的方法是：設(shè)出點和定比，利用多項式恒等探求出點的坐標和定比的值.阿波羅尼斯圓涉及：1個圓、2個定點、1個定比，考題常常圍繞這5個量做文章.

命題視角4模型法

以阿波羅尼斯圓為模型，創(chuàng)設(shè)一個實際應(yīng)用背景，或者從實際問題中抽象出阿波羅尼斯圓模型，考查學(xué)生分析、綜合、概括、抽象的能力.

變式 3.7如圖 4，鐵路線上線段 AB=100 km，工廠C到鐵路的距離CA=20 km.現(xiàn)要在A，B之間某一點D處，向C修一條公路.已知每噸貨物運輸1 km的鐵路費用與公路費用之比為3∶5，為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的費用最少，點D應(yīng)選在何處?

圖4

分析先求到定點A，C的距離之比為的動點P(x，y)的軌跡方程(阿波羅尼斯圓)，所求圓的方程和線段AB的交點D即為所求，可以用平面幾何知識證明，這里從略.

以上考題提醒一線的教師和學(xué)生，要理解一些重要定理與結(jié)論產(chǎn)生的背景、發(fā)現(xiàn)過程以及蘊含的思想方法.體驗貌似不同的考題內(nèi)在的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的美，發(fā)掘考題的根，這樣才能在高考中以不變應(yīng)萬變，取得理想成績，也會使部分師生真正喜歡上數(shù)學(xué)，投入到數(shù)學(xué)研究中去.

二輪復(fù)習(xí)不是簡單地做一些綜合題，題成山，題成海，茫茫題海，尋“根“是岸.精選題根，合理變式，才能從茫茫題海中走出來，才能提高二輪復(fù)習(xí)的有效性，才能全面提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

［1］華國棟.差異教學(xué)策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

［2］耿道永.一類不等式的題根［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2013(3)：46-48.

［3］耿道永.茫茫題海 尋“根”是岸［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013(7/8)：86-88.

［4］耿道永.中學(xué)數(shù)學(xué)“有效備課”的探索［J］.數(shù)學(xué)通報，2006(9)：15-17.