構造局部不等式解決一類不等式問題

●宋紅軍 (富陽中學 浙江富陽 311400) ●楊樟松 (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

構造局部不等式解決一類不等式問題

●宋紅軍 (富陽中學 浙江富陽 311400) ●楊樟松 (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

不等式問題是中學數學代數問題的基礎和重點，在解決有些不等式問題時，特別是一些分式不等式和根式不等式，從整體上考慮往往難以下手，可以構造若干個結構完全相同的局部不等式來解決，只要局部不等式構造好了，解決這些不等式問題就方便得多了.下面結合一些具體例題談談如何利用局部不等式來解決問題.

首先看2個三元分式不等式問題，構造局部不等式來解決這類問題非常有效，當局部不等式構造得好時，既簡化計算又簡捷明了.

分析這類三元分式不等式看起來很簡單，通常都是構造局部不等式來證明.思考此類問題時，總是想著將右邊的常數也寫成3個分式之和的形式，且相應的每個分式比左邊的小，則問題就解決了.

例2設非負實數x，y，z滿足條件：x2+y2+z2=1，求代數式的取值范圍.

分析 這是一道IMO預選題的改編題，通常是在邊界點或是相等時取到取值范圍的最值，因此答案容易找到，但具體證明不太容易.初看可進行三角變換來計算，若真這么做，計算量可就大了，原題解答是通過函數分析來計算的，也不容易.筆者發現通過找局部不等式來解答比較容易.

在處理根式不等式時，通常不能直接平方，從而計算量非常大.如果能找到局部不等式來處理，那么就簡單多了.下面結合幾個具體例題來看局部不等式在含根式不等式中的應用.

分析對于這種類型的不等式，根據經驗常通過局部不等式進行證明，該題的局部不等式比較容易找到.

構造局部不等式證明不等式問題是一種常見的技巧，它常常能解決琴生不等式解決不了的問題，筆者希望本文能給讀者帶來一些啟發.