有思 有行 有味
——一節(jié)探究課的教學(xué)實踐與思考

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(鹽城市第一中學(xué) 江蘇鹽城 224005)

1 探究課的背景

自江蘇省鹽城市高三模擬考試實現(xiàn)網(wǎng)上閱卷以來，每次在閱卷前都要進(jìn)行閱卷大組長培訓(xùn)，期間命題組會就試卷的講評舉辦專題講座或課堂實驗教學(xué).筆者參加了南京、鹽城2013屆高三第一次模擬試卷的命制，在閱卷培訓(xùn)期間應(yīng)邀開設(shè)了一節(jié)以其中第18題第(2)小題為載體的探究課.之所以選擇該題，原因有這樣幾點：(1)該考題考查的思想方法具有典型的江蘇省數(shù)學(xué)高考解析幾何的特征，對高三復(fù)習(xí)有很好的導(dǎo)向作用；(2)本題的思路解法看似單一，實質(zhì)在研究的深入上可以得到更好的優(yōu)化；(3)該題的推廣、拓展、變式均有較大的空間，是一個開展探究性學(xué)習(xí)的好素材.在整節(jié)課中，筆者始終堅持從生成、引導(dǎo)、釋惑、“讓”“放”等角度思考教學(xué)策略，落實課堂行動，從而提升了探究品味，收到了意想不到的效果.現(xiàn)將這節(jié)課的探究實錄及個人思考呈現(xiàn)如下，期待與同仁們共同探討．

圖1

(1)求橢圓C的方程.

(2)過點M作2條直線與橢圓C分別交于相異點A，B,若∠AMB的平分線與y軸平行,試探究直線AB的斜率是否為定值？若是,請給予證明；若不是,請說明理由.

(2013屆江蘇省鹽城、南京第一次模擬考試第18題)

2 初步猜想，課堂生成不放過

探索性問題是教育改革倡導(dǎo)的一類熱點問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生全面而靈活的思維能力.遵循希爾伯特的解題指導(dǎo)思想“在討論未知數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.”筆者決定先引導(dǎo)學(xué)生從特殊情形入手，降低難度，簡化問題，有效激活學(xué)生的思維.

師：在用基本方法探索定值問題前，我們一般會做哪些前期工作？

生1：從特殊情形入手，先將可能存在的定值求出，這樣就有了一個明確的目標(biāo)和方向.

師：很好，具體說說你的步驟.

生2(迫不及待地)：如果從特殊情形思考，不一定要聯(lián)立方程解交點，想象一下，假如直線MA和MB無限趨近于與x軸垂直，點A和點B就接近重合，那么研究的直線斜率就是橢圓在重合點處的切線斜率，用導(dǎo)數(shù)知識就可以很快解決.

師(為之一振)：利用極限思想，轉(zhuǎn)化為切線斜率，非常有思想，請同學(xué)們一起動手來解一解.

巡視了一會，筆者將一解答比較完整的過程作了投影展示.

教學(xué)思考著名教育家蘇霍姆林斯基曾說,學(xué)生不僅是教學(xué)的對象,更是教育的重要資源．筆者認(rèn)為,課堂是一個資源生成器，隨著課堂探究的進(jìn)行,不時會有一些非預(yù)設(shè)的生成資源出現(xiàn)，學(xué)生的回答也往往會不經(jīng)意地出現(xiàn)一些亮點,這些亮點需要去捕捉、引導(dǎo)、升華,從而轉(zhuǎn)化為新的學(xué)習(xí)材料和新的課堂資源，進(jìn)而能有效地啟迪學(xué)生主動探究，創(chuàng)新探究，學(xué)生在課堂中便會找到屬于自己的樂趣和成就感．

3 基本方法，關(guān)鍵步驟引出路

代數(shù)運(yùn)算是研究解析幾何的基本工具，學(xué)生在使用此工具時往往程序過于簡單，即“設(shè)元—列式—解量”，然后是純運(yùn)算能力的大比拼，結(jié)果往往很不理想，久而久之便形成了對解析幾何的懼怕感.如何幫助學(xué)生擺脫這種狀態(tài)？筆者認(rèn)為，從教材、考試說明以及高考試題來看，要突破這類問題的瓶頸，復(fù)習(xí)時應(yīng)注意滲透巧用韋達(dá)定理、設(shè)而不解(整體代換)、參數(shù)法等思路，把握優(yōu)化代數(shù)工具、運(yùn)算避繁求簡的大方向，因此，筆者擬在課堂上以此為方向作點撥引導(dǎo).

師：特殊情形已經(jīng)明確，如何在其指引下作一般情況的研究呢？

生3：回到特殊情形的第一種思考，要探究直線AB的斜率是否為定值，需要表示出直線AB的斜率，因此首先應(yīng)該求出點A，B的坐標(biāo).

師：點A，B的坐標(biāo)怎么求？

生3：分別聯(lián)立直線MA，MB與橢圓的方程，即可求得點A，B的坐標(biāo).

生4(有點激動)：不需要都聯(lián)立，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)，只要求出一個點的坐標(biāo)，另一個用-k替換k就可以了.

師：很好，整體代換是解析幾何運(yùn)算簡化的一種常用手段.這樣說來，聯(lián)立方程組解出一交點是關(guān)鍵一步.

很快有學(xué)生給出了下列步驟.

整理得

108k-18=0.

至此，算或不算，怎么算的問題擺在了學(xué)生的面前.

生5：用求根公式能算，但運(yùn)算量比較大！

師：解析幾何中聯(lián)立方程組并不少見，但不是一定要用求根公式“強(qiáng)攻”.聯(lián)立方程的目的是求交點和未知量，聯(lián)系問題給定的條件，你對直線MA與橢圓的2個交點有何思考？

生6：2個交點中點M的坐標(biāo)已知，根據(jù)兩根之和與已知根可以很容易地解出另一個交點的橫坐標(biāo).

師：請具體說說你的思路.

生6：根據(jù)韋達(dá)定理得

師：非常好！知一根巧用韋達(dá)定理去求解另一根是解析幾何簡化運(yùn)算的另一種常用手段，值得同學(xué)們在平時的解題中嘗試.下面請同學(xué)們完善本題的解答.

有了上述關(guān)鍵步驟的突破，學(xué)生很快給出了其余的解答.

由題直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，知直線MB的斜率為-k，整體代換得

又

教學(xué)思考華羅庚先生說過,“把一個比較復(fù)雜的問題‘退’成最簡單、最原始的問題，把這個最原始的問題想通了，想透了，然后再來一個飛躍上升.”對于解析幾何題，學(xué)生感到困難的往往就是那關(guān)鍵的一步.筆者認(rèn)為，如果能在平時的教學(xué)中幫助學(xué)生理清進(jìn)而優(yōu)化這步關(guān)鍵思路，那么這樣的課堂就真正起到樹立信心、養(yǎng)成良好習(xí)慣的作用了.

4 參數(shù)思路，學(xué)生有疑釋其惑

很快有學(xué)生提出了新的思路.

生7：從簡化運(yùn)算的角度出發(fā)，我認(rèn)為參數(shù)方程應(yīng)該能夠達(dá)到這個效果，但不知怎么回事，解不下去了.

接著，他呈現(xiàn)了自己的思路.

由于提出的問題具有一定的挑戰(zhàn)性，頓時課堂出奇的安靜，很快又是一片討論聲，但沒有學(xué)生明確回答.

師：如果從結(jié)構(gòu)上思考，你們認(rèn)為上式有何不妥？

師：很有思考，你覺得如何統(tǒng)一才有可能解決？

師：參數(shù)法的本質(zhì)是換一個運(yùn)算空間，只有統(tǒng)一才能更好地使用同一空間的運(yùn)算律，因此，在選擇參數(shù)法受阻時，統(tǒng)一化可以作為前進(jìn)的助推手.

有了這些引導(dǎo)，學(xué)生的情緒立即亢奮起來，在筆者的指引下，有學(xué)生給出了完整的解答.

利用和差化積公式得

因此

即

則

從而

sinβ=-cosα，cosβ=-sinα，

教學(xué)思考學(xué)源于思，思源于疑.從學(xué)生的問題出發(fā)，應(yīng)該是一種行動，而不是一句口號.教師不僅要能引導(dǎo)學(xué)生找出問題和疑惑，還要能與學(xué)生一起解決.由“惑”到“獲”的過程有利于學(xué)生更高層次思維方法和解題能力的形成，同時對學(xué)生來說也是一個疑促學(xué)、學(xué)解疑的美妙歷程.

5 變式探討，教學(xué)“讓”“放”把握度

師：在平時的學(xué)習(xí)中，我們不能僅停留在問題的表象上，更重要的是要透過問題，認(rèn)識其背景和其他呈現(xiàn)形式.就本題而言，首先請同學(xué)們嘗試寫出它的推廣形式.

生(不好意思)：不確定，猜的.

學(xué)生齊笑，鼓掌.

師：能嘗試通過改變條件或結(jié)論，寫出它的一個變式嗎？

師：同樣，這個形式目前也還是一個猜想.著名數(shù)學(xué)家波利亞在其論著《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，在你證明一個數(shù)學(xué)定理之前，必須猜到這個定理.現(xiàn)在你們已經(jīng)邁出了猜想的一小步，相信你們也會走上成功的一大步.

學(xué)生群情激奮，躍躍欲試……

教學(xué)思考學(xué)之道在于悟，教之道在于度.筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)中要注意恰到好處地啟發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，要給學(xué)生留有一定的思維空間，要敢于放手、舍得讓位，學(xué)生能自己解決的問題絕不包辦代替.正如楊輝所言：“好學(xué)君子自相觸類而考，何必盡傳”，相信學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情會在這一“放”與一“讓”中被點燃.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 胡炯濤.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].廣西：廣西教育出版社，1996.

[2] 劉麗群，石鷗.課堂講授策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[3] 王弟成.高三數(shù)學(xué)教學(xué)中需改進(jìn)的四種教學(xué)行為[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2010(9)：7-9.