陳題再探

● (春暉中學 浙江紹興 312353)

證明(充分性)設x+y+z=1，則

故A,B,C,D共面.

整理后，得

由系數的唯一性，知

x=1-λ-μ，y=λ,z=μ，

從而

x+y+z=1．

則滿足x+y+z=1的動點P的軌跡是平面ABC．

簡記上述平面ABC為α1．沿著文獻[1]探究的心路，可將其中的各個結論推廣到空間如下：

則(1)滿足x+y+z=0的動點P的軌跡是過點O與平面α1平行的平面α0；(2)滿足x+y+z=-1的動點P的軌跡是α1關于點O對稱的平面α-1．

(證明過程此處從略．)

現稱定理1中由平面α0指向平面α1的空間區域為正向空間區域Ω+，由平面α0指向平面α-1的空間區域為負向空間區域Ω-，則

且x+y+z=k(k≠0)，則當k>0時，動點P的軌跡是在Ω+內與平面α0平行且與α0的距離為k的平面；當k<0時，動點P的軌跡是在Ω-內與平面α0平行且與α0的距離為|k|的平面(即動點P的軌跡總是一個與平面α0平行且與α0距離為|k|的一個平面，k的正、負性正好對應它所在區域的正、負向).

記定理2中的平面為αk，于是又有該定理的一個推論．

則滿足條件a

類似地，還有滿足條件a≤x+y+z≤b,x+y+z≤a,x+y+z≥b等時的一些結論．

讓我們換個角度，從空間基底的變換入手．

記由點Am,Bn,Cl確定的平面為αm,n,l,1，于是得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則

時光荏苒，距離小飛魚孵化出來已經快一年了。它們也已經長到了40厘米左右，翼狀的胸鰭也快長到30厘米長了。從4月初開始，飛魚群便會紛紛順著洋流南下，尋找溫暖的海域，而有些種類的飛魚會“固執”地前往它們的出生地，開始新一輪的繁衍。

(1)滿足x+y+z=1的動點P的軌跡是平面αm,n,l,1；

(2)滿足x+y+z=0的動點P的軌跡是過點O且與平面αm,n,l,1平行的平面αm,n,l,0；

(3)滿足x+y+z=-1的動點P的軌跡是αm,n,l,1關于點O對稱的平面αm,n,l,-1．

由引理1知結論(1)正確；由定理1知結論(2)和(3)正確.

我們仍記由平面αm,n,l,0指向平面αm,n,l,1的空間區域為Ω+，由平面αm,n,l,0指向平面αm,n,l,-1的空間區域為Ω-，則由引理2和定理2得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則滿足x+y+z=k(k≠0)的動點P的軌跡是在Ω內與平面αm,n,l,0平行且與αm,n,l,0的距離為|k|的一個平面αm,n,l,k.當k>0時,αm,n,l,k在Ω+內;當k<0時,αm,n,l,k在Ω-內.

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則滿足條件a

同樣地，仍有滿足條件a≤x+y+z≤b,x+y+z≤a,x+y+z≥b等時的各個結論.

以上結論極具應用價值，此處僅舉一例．

x+2y+2z=-1,

所以由定理3知點P的軌跡是平行于平面AB′C′的一個平面α，且這2個平面關于點O對稱．

圖1

參 考 文 獻

[1] 陳定昌．陳題新探[J].數學通訊,2013(3):16-17.