平面向量：數的外表、形的內涵

● (柯橋中學 浙江紹興 312030)

平面向量是數學中的一個重要概念，具有代數與幾何的特征，能做到數、形間的相互轉換.鑒于其幾何背景明顯，內涵深刻，能較好地考查學生思維的靈活性和創新性，因此自進入高中數學教材以來，平面向量受到各級各類考試命題專家的青睞，是競賽中的熱點問題之一,且常考常新.本文試圖對平面向量的性質及應用作一個較全面的概括，現分述如下：

1 平面向量的概念及重要結論

(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面內2個不共線的向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有1對實數λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2.平面向量坐標表示的理論基礎是平面向量基本定理.

(3)平面向量的數量積：如果2個非零向量a，b，它們的夾角為θ(0≤θ≤π)，我們把數量|a|·|b|cosθ叫做a與b的數量積(或內積)，記作：a·b，即a·b=|a|·|b|cosθ.

重要結論(1)a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的模|a|與b在a上的投影的積.b在a上的投影為|b|cosθ，它是一個實數.

已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的3個點，動點P滿足

其中λ∈(0,+∞)，則動點P的軌跡通過△ABC的重心.

已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的3個點，動點P滿足

其中λ∈(0,+∞),則動點P的軌跡通過△ABC的外心.

2 平面向量的應用

2.1 利用基本概念解決向量問題

(2006年全國高中數學聯賽浙江省預賽試題)

圖1

2 利用基本結論解決向量問題

圖2 圖3

記線段AB,AC的中點為M,N，因為O為△ABC的外心，則

(2012年全國高中數學聯賽一試試題)

解如圖3,取線段BC的中點，記作M,則由極化恒等式得

3 利用構造圖形解決向量問題

(2004年全國高中數學聯賽試題)

圖4

因此

S△ABC∶S△AOC=3∶1.

4 利用坐標解決向量問題

圖5

解建立如圖5所示的平面直角坐標系O-xyz，設|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z,∠AOC=α,∠AOB=β,∠BOC=γ,則α+β+γ=2π,從而

因為α+β+γ=2π，所以sinγ=-sin(α+β)，則

cosαsinγ+sinαcos(α+β)+sinβ= cosα[-sin(α+β)]+sinαcos(α+β)+sinβ=

sin[α-(α+β)]+sinβ=0，

得m=0,又

sinαsinγ+sinαsin(α+β)=sinα[sinγ+sin(α+β)]=0，

5 構造向量解決其他問題

圖6

|a·b|≤|a||b|,