“變”中找“定”
——淺析平面向量幾何法

● (云和中學 浙江云和 323600)

物質世界中的萬事萬物都處在相互作用的普遍聯系之中，都處在不斷產生、不斷消亡的運動、變化和發展的永恒過程之中，運動是永恒的、靜止是相對的，運動和靜止之間存在普遍的聯系.在數學中也是如此，我們經常會遇到一些變化和運動的問題，而合理的分析和利用變化中的不變性，讓“變”與“定”有機地結合起來，對于解決問題往往能起到一針見血的作用.下面結合平面向量幾何法的教學實踐淺析“變”與“定”之間的對立統一關系.

平面向量豐富了高中數學內容，同時作為工具性知識，可以與很多知識聯系.平面向量具有雙“二維”性，即本身有方向、大小，運算有代數、幾何，大大地提高了學生學習這塊知識的能力要求.在高考中大多以選擇題和填空題的形式出現，題目靈活、多變，部分題目以能力立意命題，要求學生有一定的數形結合思想和能力.教師在平面向量的課堂教學和復習中經常會用到向量的幾何法，滲透數形結合的思想，但學生對于數形結合能力的掌握卻不一定到位，“光有思想沒有能力”是很多學生在學習平面向量時的困惑.

在平面向量的幾何法中，緊扣向量運動變化中的定性，結合定值，合理作圖，可以使很多抽象的問題變得直觀、具體，易于切中要害，立竿見影.平面向量的幾何運算中往往涉及長度、夾角、和、差、數量積、投影等概念和知識點，如能把握上述量中的不變量，就可以輕松地在變化和運動中求解一類定值和最值問題.

1 向量的長度為定值問題

在平面向量的教學中，有這樣的問題：把平面內所有的單位向量移到同一起點，則終點構成什么樣的圖形？答案是單位圓.這類問題中向量的方向任意變化，而長度為定值，可以結合到定點的距離等于定值的點的軌跡為圓，數形結合幾何作圖，利用圓的性質解決問題.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

圖1 圖2

2 2個向量的夾角為定值問題

平面向量的方向一般不單獨考查，但2個或多個平面向量放在一起研究時，由于有了參照物，就可以研究2個向量的夾角問題.當2個向量的夾角為定值時，可以結合同弧(弦)所對的圓周角相等作出點的軌跡，數形結合解決問題.

例2(1)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

(2011年全國數學高考試題)

故

圖3 圖4

3 平面向量基本定理和三點共線問題

平面內任意2個非零不共線向量都可以作為一組基底，平面內任意一個向量都可以由這一組基底唯一線性表示，平面向量基本定理中蘊含著基底的思想和意識.特別是在一些數量積運算中，把已知信息最多的2個向量作為一組基底，先將要進行數量積運算的2個向量轉換成用基底線性表示，再用基底線性表示結果來進行數量積運算，可以起到以不變應萬變的效果.平面向量基本定理的一種特殊情況，當向量的起點相同，基底線性表示的系數和為1時，就有了3個向量的終點在同一直線上的三點共線問題.這類問題要求對線性表示的系數有敏銳的觀察力和簡單的處理技巧，只要方法到位，就可以將代數運算轉換成幾何運算，減少不必要的化簡過程，較好地從幾何角度理解和詮釋問題的背景.

圖5 圖6

4 向量數量積問題中投影為定值問題

向量的數量積運算包括幾何法和坐標法，在幾何法中，a·b=|a||b|cos，可以看出運算中需要知道2個向量的模和2個向量的夾角等基本量，但如果模或夾角不定時，就很難利用公式來解決問題了.在向量數量積的運算中,我們往往會忽略數量積的幾何意義，|b|cos的幾何意義為向量b在向量a方向上的投影，因此|a||b|cos的幾何意義便是向量a的模與向量b在向量a方向上投影的乘積.在部分模和夾角都是變量的問題中若能合理地運用數量積的幾何意義，則能使運動問題變得直觀、具體.

圖7 圖8

例4(1)已知a是平面內的單位向量，=，求a·b的值.

(2012年浙江省數學高考調研試題)

因此

5 數量積運算中2個向量的和或差為定值問題

極化恒等式是泛函分析中的知識，它表示內積可以由它誘導出的范數來表示.極化恒等式在高中平面向量中的簡化應用為恒等式

而這個公式可以更加形象地記憶為“積化和差”公式.在平面向量求數量積的問題中，若2個向量都是變量，而2個向量的和或差為定值，可以利用“積化和差”公式減少變量個數或轉化成為研究定值問題.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

圖9 圖10

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題)

“變”與“定”是對立的，“變”與“定”又是統一的.合理地處理好“變”與“定”之間對立統一的關系，能更深刻地理解數學，更科學地看待變化，更清晰地認識世界.