2014年“北約”自主招生壓軸題的證明與推廣

● (常熟市中學 江蘇常熟 215500)

時光飛逝，轉眼間一年一度的高校自主招生選拔考試已落下帷幕.縱觀2014年“北約、華約、卓越”三大聯盟的自主招生考試數學試題，無論是在知識方法，還是在試卷難度與解題技巧上都在向數學高考的模式理性回歸.另外，在試題的命制上，三大聯盟所推出的數學選拔試題都同高考試題一樣，均遵循源于教材而高于教材的命題原則，且大大減少了高考以外的內容，從而使2014年的自主招生試題更貼近考生，更能公正、公平、有效地選拔優秀學生.正因如此，2014年三大聯盟的自主招生數學考試很接地氣，獲得了社會各界和廣大師生的一致好評.同時，也為以后高校自主招生選拔考試引領了全新的方向.2014年“北約”自主招生數學考試的壓軸題就是一個源于教材而高于教材的不等式證明題.它結構簡潔、內涵豐富，對學生的思維能力和代數推理能力提出了較高的要求，很好地起到了“北約”試題的選拔功效.以下筆者將給出該優美試題的7種證法并作推廣，供讀者在學習和研究時參考.

試題呈現若n個正數x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1，求證：

(2014年“北約”聯盟理科試題第10題)

因此當n=2時，命題也成立.

(2)假設n=k時命題成立，即若正數x1,x2,…,xk滿足x1x2…xk=1，則

當n=k+1時，由xi>0(i=1,2,…,k+1)且x1x2…xkxk+1=1可知這k+1個正數中至少有1個不小于1，至少有1個不大于1.不妨設0

又因為

即當n=k+1時，命題也成立.

由數學歸納法原理可知原命題成立.

評注本題是一個與自然數有關的命題，并注意到二元時是一個簡單的柯西不等式，故采用數學歸納法應該是學生解答本題的首選.不過要順利完成證明，還需具有較高的變形能力和歸納技巧.

證法2結合條件和應用n元均值不等式，分別可得

評注采用n元均值不等式證明此題，流暢飄逸，給人以美的享受.但需要學生具有敏銳的觀察力和熟練的代數變形能力.

證法3利用柯西不等式的推廣，得

評注證法3運用了柯西不等式的一個n次推廣：若ai>0,bi>0，則

但因教材沒有介紹，考綱中也未列入這個不等式，若采用此法來證明,應先證明這一結論才能得滿分.

證法4由赫爾德不等式，得

評注由證法4可看出此不等式的本質是赫爾德不等式的一個應用，同時也說明柯西不等式的推廣其本質就是赫爾德不等式.

證法5由xi>0(i=1,2,…,n)，利用加權均值不等式，得

將這n個不等式相乘并注意到條件x1x2…xn=1，即證.

證法7考慮取對數，原命題等價于：若n個正數x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1，則

故原不等式成立.

現行的高中教材上有一個經典的不等式(1+a2)(1+b2)≥(1+ab)2，命題者匠心獨運、深謀遠慮，對這個熟知的不等式進行了n次推廣.學生普遍感覺似曾相識，但要完成它的證明還是相當不易.它入口較寬，解法多樣，能有效地檢測和區分出學生的數學素養和解題能力，起到了全套試題的壓軸功效.本題是一個源于教材而高于教材的典范,畫出了2014年自主招生數學試題的一道靚麗風景.

最后，筆者受命題者思路的啟發，給出這個優美試題的一個推廣.