《球面上的基本圖形》教學設計

劉婷+楊軍

摘 要： 本文為《普通高中數學課程標準（實驗）》選修系列3中的專題《球面上的幾何》起始內容的教學設計.《球面上的幾何》專題課程的開設有利于培養學生的空間想象力和幾何直觀能力，使學生體會類比方法在數學學習和研究中的重要作用.

關鍵詞： 球面幾何 教學設計 類比

一、教材分析

《球面上的幾何》是《普通高中數學課程標準（實驗）》選修系列3中的一個專題.誠如《課程標準》指出的那樣：“系列3和系列4是為對數學有興趣和希望進一步提高數學素養的學生而設置的.所涉及的內容反映了某些重要的數學思想，有利于擴展學生的數學視野，有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識.”在開展數學培優的第二課堂中，筆者將此內容進行了選講，發現學生對此很感興趣.通過對球面幾何和歐氏平面幾何的類比學習，學生對所學的立體幾何知識有了更進一步的理解.為此，下面進行了《球面上的幾何》的起始課“球面上的基本圖形”的教學設計，以期對這個專題的開設有所幫助.

二、教學目標

（一）知識與技能

1.認識球面上的基本圖形大圓劣弧（球面上的線段）、大圓（球面上的直線）、球面角、球面二角形、球面三角形及其特征；

2.知道球面上的兩條直線只有相交而沒有平行關系；

3.會計算簡單的球面三角形三個內角和三邊大小，從而了解球面三角形的內角和大于；

4.通過對球面上基本圖形的認識，進一步培養空間想象力和幾何直觀能力.

（二）過程與方法

通過平面上的線段、直線、角、三角形等圖形類比認識球面上的線段、球面上的直線、球面角、球面三角形的過程，體會類比方法在數學學習中的重要作用.

（三）情感態度與價值觀

通過對球面上基本圖形的認識，了解球面幾何與平面幾何的相同之處與不同之處，認識到球面幾何是一個重要的一個非歐幾何模型，從而改變對幾何的固有觀念.

三、教學重難點

教學重點：球面角、球面三角形相關量的計算；類比的研究方法.

教學難點：球面角、球面三角形的相關概念及特征的理解.

四、教學過程設計

（一）課題引入

問題1：我們以前學過平面幾何的內容，平面幾何是研究平面上的基本圖形及其性質的一門課程.但是，我們身處的地球及熟知的乒乓球、籃球等物體，卻并不是由平面圍成的幾何體，它們又有怎樣的特性呢？從這節課開始，我們就學習球面幾何的基本內容.仿照平面幾何的研究內容，你能說一說球面幾何是研究什么內容的？

問題2：在現實生活中，球面幾何知識有著廣泛的應用，大家能舉例說一說，現實生活中應用球面幾何的例子嗎？

【設計意圖】問題1：讓學生從平面幾何的研究內容類比聯想球面幾何的研究內容，充分考慮到了學生的認知基礎，同時也為后面通過平面幾何的基本圖形及其性質學習球面幾何的基本圖形及其性質奠定了知識與方法基礎.問題2：通過教師和學生共同舉例，使學生認識到數學源于生活、用于生活、高于生活.

（二）探究新知

1.球面上的大圓劣弧——“線段”

創設情境：球面上有兩點M、N（這兩點非直徑的兩個端點），一只螞蟻想從M點爬到N點，你能找到螞蟻爬行的最短路徑嗎？（動畫演示）

由此引出球面上過M、N兩點的大圓劣弧，就是球面上的線段.在平面上兩點確定一條線段，在球面上也有類似的結論.

【設計意圖】學生對球面幾何的認知基礎是球面距離這個概念，讓學生通過尋找在球面上螞蟻爬行的最短路徑，喚起學生的認知基礎，并在此基礎上順理成章地幫助學生形成球面上的大圓劣弧就是球面上的線段這個基本而又重要的概念，為后面進一步形成球面上的直線概念做好鋪墊.

2.球面上的大圓——“直線”

教師啟發：既然把平面上的線段向兩邊無限延伸形成的圖形稱為平面上的直線，那么是否也可以把球面上的大圓劣弧向兩邊延伸形成的大圓稱為球面上的直線呢？

【設計意圖】球面上的直線概念的建立是本節課的教學難點，如果學生對“球面上的直線就是球面上的大圓”不能有效認同，那么就會對整個球面幾何體系產生懷疑.這里通過平面上的線段向兩邊無限延伸形成一條直線類比建立“球面上的大圓劣弧向兩邊延伸形成的大圓就是球面上的直線”這個認識，有效地突破了這個難點.

類比2：平面上兩點定線，并且直線的長度無限，那么球面上的大圓，即球面上的直線是否也具有類似的性質？

師生發現：過非直徑兩端點的直線具有唯一性；過直徑兩端點的直線不唯一；球面上的直線長度固定.

【設計意圖】通過類比，學生發現球面上的大圓，即球面上的直線具有與平面相同的特征，也具有與平面完全不同的特征.

3.兩個大圓的位置關系

類比3：平面上兩條直線有相交與平行兩種位置關系，那么球面上的兩個大圓，即球面上兩條直線的位置關系是什么呢？

【設計意圖】通過類比，學生認識到球面上的兩個大圓只有相交而沒有平行關系.這一點顯然與平面上直線的特征完全不同，從而從根本上轉變學生對“兩條直線”位置關系的原有觀念.這種轉變是震撼性的，所以教師在此處可以介紹歐幾里得關于平面幾何的5個公設，特別是平行公設，從而使學生了解球面幾何是不同于歐氏幾何的一個重要非歐幾何模型.

4.球面角

（1）球面角的定義

類比4：平面上兩條直線的相交程度是用角度度量的，那么球面上兩條直線的相交程度是否也可以用角度度量？試著根據平面上角的概念類比定義球面上兩條直線相交所成的角.

【設計意圖】通過平面上的角類比定義球面上的角，進一步使學生體會類比方法在研究球面幾何中的作用.同時學生通過思考球面上的角與平面上的角的區別，能使球面角的概念作為相對獨立的新知識單獨保存下來.endprint

（2）球面角的度量與計算

【設計意圖】球面角的度量方法是本節課的另一個難點.通過動畫演示使學生發現球面角大小的變化其實與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現了化曲為直的思想.

熱身練習一：如圖3，已知球面上點A（北極）、B（經緯度均為0°）、M（東經20°、北緯45°）、N（東經100°、赤道），分別計算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設計意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個內角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習的目的一方面讓學生學會用上述兩種方法計算簡單的球面角大小，另一方面為學生以后認識“球面三角形的內角大于180°，過球面上直線外一點可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計算其三邊長和三個內角的大小.

【設計意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯系，使學生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些問題轉化為歐氏幾何問題，從而進一步培養學生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結與反思

在總結球面上的基本圖形及其研究方法的基礎上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質？

五、教學設計總結

（一）球面上兩點間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個概念是學習本專題的基礎.

（二）類比是學習球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進而在后續內容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內角和等使學生進一步認識到類比方法在數學學習中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些判定定理轉化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內角和大于π”認識到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學生認識到世界是豐富多彩的，不同的實際需要不同的數學模型來描述.

（五）通過球面幾何的學習，學生對所學的立體幾何內容有了更深的理解，進一步完善了所學的幾何知識結構，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內，但是通過球面幾何的學習最終學生能發展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學生終生受益.

參考文獻：

[1]李學軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學設計與思考[J].中國數學教育，2012（24）：19-22.

[2]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》[J].數學通報，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》（續）[J].數學通報，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量與計算

【設計意圖】球面角的度量方法是本節課的另一個難點.通過動畫演示使學生發現球面角大小的變化其實與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現了化曲為直的思想.

熱身練習一：如圖3，已知球面上點A（北極）、B（經緯度均為0°）、M（東經20°、北緯45°）、N（東經100°、赤道），分別計算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設計意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個內角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習的目的一方面讓學生學會用上述兩種方法計算簡單的球面角大小，另一方面為學生以后認識“球面三角形的內角大于180°，過球面上直線外一點可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計算其三邊長和三個內角的大小.

【設計意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯系，使學生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些問題轉化為歐氏幾何問題，從而進一步培養學生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結與反思

在總結球面上的基本圖形及其研究方法的基礎上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質？

五、教學設計總結

（一）球面上兩點間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個概念是學習本專題的基礎.

（二）類比是學習球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進而在后續內容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內角和等使學生進一步認識到類比方法在數學學習中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些判定定理轉化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內角和大于π”認識到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學生認識到世界是豐富多彩的，不同的實際需要不同的數學模型來描述.

（五）通過球面幾何的學習，學生對所學的立體幾何內容有了更深的理解，進一步完善了所學的幾何知識結構，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內，但是通過球面幾何的學習最終學生能發展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學生終生受益.

參考文獻：

[1]李學軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學設計與思考[J].中國數學教育，2012（24）：19-22.

[2]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》[J].數學通報，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》（續）[J].數學通報，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量與計算

【設計意圖】球面角的度量方法是本節課的另一個難點.通過動畫演示使學生發現球面角大小的變化其實與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現了化曲為直的思想.

熱身練習一：如圖3，已知球面上點A（北極）、B（經緯度均為0°）、M（東經20°、北緯45°）、N（東經100°、赤道），分別計算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設計意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個內角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習的目的一方面讓學生學會用上述兩種方法計算簡單的球面角大小，另一方面為學生以后認識“球面三角形的內角大于180°，過球面上直線外一點可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計算其三邊長和三個內角的大小.

【設計意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯系，使學生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些問題轉化為歐氏幾何問題，從而進一步培養學生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結與反思

在總結球面上的基本圖形及其研究方法的基礎上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質？

五、教學設計總結

（一）球面上兩點間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個概念是學習本專題的基礎.

（二）類比是學習球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進而在后續內容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內角和等使學生進一步認識到類比方法在數學學習中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個“腳手架”，可以把球面三角形的有關問題，如邊長、夾角、全等的一些判定定理轉化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內角和大于π”認識到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學生認識到世界是豐富多彩的，不同的實際需要不同的數學模型來描述.

（五）通過球面幾何的學習，學生對所學的立體幾何內容有了更深的理解，進一步完善了所學的幾何知識結構，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內，但是通過球面幾何的學習最終學生能發展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學生終生受益.

參考文獻：

[1]李學軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學設計與思考[J].中國數學教育，2012（24）：19-22.

[2]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》[J].數學通報，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長明.高中數學課程中的《球面幾何》（續）[J].數學通報，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint