一題多解帶給我們的啟示

劉璇

【摘 要】在實際的教學中，教師經常貪多，喜歡給學生留更多的習題。而事實上，很多東西其實是相通的，一道題如果反復思考透了，想出多個解題方法，會打開思路，帶給我們更多啟示。

【關鍵詞】菱形；解題方法；轉化

在一次考試中，有這樣一道題：

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF.

（1）如圖1，若E是線段AC的中點，求證：BE=EF；

（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明。

第（1）問，思路很順暢，有一定基礎知識的學生都能想到解題的關鍵：菱形的對角線性質以及特殊的60°角。而且一般情況下，證明兩個線段相等，采用的通法是：等角對等邊。通過兩個底角相等來得到兩邊相等。

對于第（2）問，通過觀察，能夠猜想得到BE=EF仍然成立，但是如何證明？困擾了許多學生。其實，受第（1）問的啟發，想延續此思路，證明∠EBF=∠EFB，但顯然不太好證，因為第（1）問通過∠EBF=30°得到兩角相等，而這里的∠EBF不再是特殊角度。所以需要另辟蹊徑：

方法一：將角進行“轉化”。（這是經常使用的方法）關鍵如何轉化？轉化哪個角？結合已知平行，想到可以將∠EBF轉化成與之相等的角，從而延長BE到M，（如下圖2）則∠EBF=∠BMA。下面需要做的是：證明∠BMA=∠F。有圖形意識的同學會想到，要證明ΔBMA∽ΔEFC。顯然有兩角∠BAM=∠ECF=120°，再找什么條件？只能是對應邊成比例，也就是AM-AB = CF-EC。記住，還有一個關鍵的條件：AE=CF。再者，進一步發現AM-AB = AM-BC= AE-EC，從而建立了聯系。得證。

顯然，上面的方法一不太好想，很多同學在有限的時間內，可能發現不了相似三角形，從而放棄此方法，再來探尋新方法。

方法二：此方法是比較容易想到的，同樣用到“轉化”思想：直接轉化線段。很容易看出BE=DE（ΔABE≌ΔADE），所以，做了如下的輔助線：連接DE，如下圖左。那接下來，就要證明DE=EF，自然的，連接DF，如下圖右。從而，需要證明ΔDEF為等邊三角形。結合已知AE=CF，再觀察圖形，顯然ΔAED≌ΔCFD，則DE=DF，再加上60°角，等邊三角形得證，從而結論得證。

再來探一探，已知條件是否能讓我們想到其它方法？顯然還有，介紹如下：

方法三：菱形提供了平行的邊，所以不妨過點E作平行線試試，如下圖左，過點E作EN∥BC，交AB于點N，作了此輔助線，還要發現ΔAEN是等邊三角形，則CF=AE=NE，再觀察圖形，需有ΔBNE≌ΔECF，顯然，通過AB=AC，AN=AE，得BN=CE，再加上120°，則全等得證。BE=EF得證。由此方法，再聯想到，過點E作EP∥BC，交BC于點P，如下圖右，則通過證明ΔBEP≌ΔFEC（或ΔBEC≌ΔFEP），可得BE=EF。

可以過E作平行線，還能過別的點嗎？點F也是可以的，從而有了

方法四：過點F作FQ∥AB，交AC的延長線于點Q，易得ΔCQF為等邊三角形，與方法三類似，再證ΔABE≌ΔQEF，則結論得證。

方法五：再來看一個特別又一般的方法，說特別是因為不容易想到，說一般是因為題目中的條件還能得到這種方法的必然性：要證明BE=EF，那就直接證，因為是60°的菱形，所以，可以通過設邊的長度，表示出BE、EF的長度，通過長度相等，得到兩邊相等。下面的工作就是表示BE、EF的長度。而對于這樣的三角形，要表示長度，自然而然的輔助線：過E作EG⊥BF，交BF于點G，設AB為a，GC為x，則BG=a-x，又因為∠ECG=60°，所以EC=2x，則AE=a-2x=CF，從而FG=a-2x+x=a-x，做到這里，發現，不再需要表示BE、EF了，因為BG=FG，再加上作的垂直，從而全等得BE=EF。

尤其最后一個方法五，又給我們提供了證明線段相等的新方法。把這道題吃透，想必學生的收獲會非常大。

從這一道題目來看，如果在課堂上專攻此題，把課堂時間還給學生，讓學生從多種角度考慮，會讓學生有更大的樂趣，更能激發學生的創新性和積極性。 一題多解，確實不錯。