二階遞推數列的常用處理策略及其應用

宣培霞

摘 要：本文對近幾年數學競賽中二階線性遞推數列的常見題型進行了總結，得出二階線性遞推數列的通項公式的求法以及幾個常見的變化.

關鍵詞：二階線性遞推數列；特征根法；整除問題

求遞推數列的通項，是數學競賽中最為常見的考查內容之一，其中二階線性遞推數列在競賽題的設置中是一個比較常用的選擇，因此在競賽輔導中對這一內容要重點突破. 以下是本人針對此內容在近幾年競賽中的考查進行了一些歸納，以期在競賽輔導中能夠對學生掌握這一知識點做一些參考.

特征根法求二階線性遞推數列的通項公式

例1 （2009年全國數學聯賽）已知p，q（q≠0）是實數，方程x2-px+q=0有兩個實根α，β，數列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2（n=3，4，…）.

（1）求數列{an}的通項公式（用α，β表示）；

（2）若p=1，q=，求{an}的前n項和.

解：（1）an=pan-1-qan-2，可化為an=（α+β）·an-1-αβ·an-2，

an-α·an-1=β·（an-1-α·an-2）和an-β·an-1=α·（an-1-β·an-2），

所以數列{an-α·an-1}，{an-β·an-1}是等比數列.

由a1=p，a2=p2-q，得a2-α·a1=β2，a2-β·a1=α2，

所以an-α·an-1=βn，an-β·an-1=αn.

所以①若α≠β，從上二式中消去an-1得an=；

？搖②若α=β，則an-α·an-1=αn可化為-=1，

即數列為等差數列. 由a1=p=2α，所以=n+1，即an=（n+1）αn.

（2）若p=1，q=，得α=β=，所以an=（n+1）n，

用錯位相減法求得前n項和為Sn=3-.

一般地，在線性二階遞推數列中，在一些參考書中通常用特征根法：

由an=pan-1-qan-2，寫出特征方程：x2=px-q，得到兩特征根：α、β. ①若α≠β，則an=Aαn+Bβn；

②若α=β，則an=（An+B）·αn.

再由a1，a2的值來確定其中的系數A，B.

或者結合轉化的思想，對上面的遞推式an-α·an-1=βn再轉化為-=n，再用累加法得到通項公式.

而上面這個問題的設置，一方面強調了在處理二階遞推數列中的轉化思想，讓學生能夠掌握這個基本方法；另一方面在解法上用上面的解法可以簡化求出通項的過程，其中對初始項的選擇也有其獨到之處，當然，在……