高中數(shù)學(xué)排列組合推理的教學(xué)思考

排列組合在高中課程中充當(dāng)著概率部分的基礎(chǔ)的重要角色，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維分析能力以及數(shù)學(xué)的建模能力起著不可忽視的作用。我們需要針對(duì)排列組合推理的教學(xué)進(jìn)行了認(rèn)真探討。

一、解決排列組合問題要時(shí)有正確的思維

在解決排列與組合問題要時(shí)應(yīng)有的思維方式是：將需要解答的問題不要當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算看待，而是當(dāng)作一件事情，要找到使這件事情得到解決的方法，而該方法又要滿足題中的條件。該方法的具體思維，可見例題1。

例1：有10雙鞋，尺碼不同，隨機(jī)的取出6只，要求：不存在2只能配成雙的鞋在這6只中；有4只能配成兩雙的鞋在這6只中。求兩種情況下取法各多少種。

怎么可以取出6只不成雙的寫在這10雙尺碼不同的鞋中，這是解決本題時(shí)需要首先加以思考的問題。解決方法有很多，取出的6只鞋可能都是10只左鞋中的，還有可能這6只都是10只右鞋中的，還有可能是5只在10只右鞋中選取，而另1只在另外的5只左鞋中選取，還有可能是4只在10只右鞋中選取，而另2只在另外的6只左鞋中選取，還有可能是3只在10只右鞋中選取，而另3只在另外的7只左鞋中選取，還有可能是2只在10只右鞋中選取，而另一只在另外的8只左鞋中選取，還有可能是1只在10只右鞋中選取，而另5只在另外的9只左鞋中選取。因此可以得出在尺碼不同的10雙鞋中隨機(jī)的從中取出6只，其中不存在2只能夠配成雙的鞋的取法數(shù)量為：2C610+C510C15+C410C26+C310C37+C210C48+C110C59=13440(種)

但是這并不是最好的解決問題的方法。如果要做到?jīng)]有2只能配成雙的鞋在取出的6只當(dāng)中，先要做的是從這10雙中隨機(jī)的取出6雙，取法有C610 種，接著從這6雙的每1雙當(dāng)中都取出1只（隨機(jī)取出，共26種可能性），如此就能夠使題目的要求得到滿足了。得出的不同取法共：26×C610=13440(種)

當(dāng)解決了第一問后，解決第二問也就變得十分容易，如果要使4只能配成雙的鞋恰好在取出的6只中，思考問題時(shí)可以考慮先取出2雙鞋在10雙當(dāng)中，這就使4只鞋能配成雙的條件得到保證，然后在剩余的8雙鞋中隨意選出2雙，接著在這2雙鞋中各隨機(jī)選取1只，再加上一次取出的2雙鞋，就能夠符合題目的要求。因此任意的從尺碼不同的10雙鞋中選取6只，其中正好有4只能配成2雙的取法共有：

C210C28×22=5040(種)

二、解決排列組合問題的原則

1.優(yōu)先考慮排列或組合中有特殊要求或限制的元素

在排列組合的題目中通常有一些特殊的要求或?qū)δ承┰剡M(jìn)行限制，例如：8個(gè)人站在一排照相，甲不可以站在兩邊，共有多少種不同的排列方法？這考慮這類題目時(shí)，先要考慮的就是不能甲站在兩邊這個(gè)特殊因素，如果先把甲排列好，那么剩余的人進(jìn)行普通排列就簡(jiǎn)單多了，甲出了兩邊之外有6個(gè)位置可以選擇，另外7個(gè)人就可以在剩下的7個(gè)位置上隨意排列，即排列方式共C15P66=25200(種)。

2.正難則反

在解答排列組合問題時(shí)可能會(huì)遇到較為復(fù)雜的情況，如果正向思考的話會(huì)有很多可能性，因而可能導(dǎo)致一些組合方式被忽略，導(dǎo)致問題被錯(cuò)誤解答。同時(shí)，這些問題的相反方向往往很簡(jiǎn)單，因此可以從這個(gè)相反的方向出發(fā)，用總的排列方式減去相反的排列方式，這樣就能滿足題目的要求，也使思考和計(jì)算過程變得簡(jiǎn)單易懂。

3.無重復(fù)無遺漏

在思考滿足題目要求的排列組合種類時(shí)，很可能因?yàn)橐粫r(shí)疏忽而導(dǎo)致沒注意到一些方法其實(shí)是重復(fù)的，或者遺漏了一些方法。例如上面提到的例題１中的第一問，如果按照第一種解答方法思考，因?yàn)橛泻芏喾N可能性，那么同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行解答時(shí)，稍有不慎思路就會(huì)混亂，很可能出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，這就要求思考問題時(shí)必須考慮全面，這樣問題才能夠被正確解答。

三、解決排列組合的方法

1.捆扎法

有時(shí)候題目中會(huì)有讓一些元素相鄰排列的要求，此時(shí)可以把他們當(dāng)成一個(gè)整體，當(dāng)成一個(gè)元素之后再放入其他元素當(dāng)中，就能夠進(jìn)行隨意排列，這樣會(huì)使排列變得簡(jiǎn)單明了。

2.插空法

當(dāng)題目中要求幾個(gè)元素不能相鄰時(shí)，可以先忽略這些元素，將其他元素進(jìn)行隨意排列，接著在完成排列元素的元素間的空隙以及兩端的位置插入那些有特殊要求的元素。

3.插板法

當(dāng)需要分組的對(duì)象是完全相同的元素時(shí)，可以利用數(shù)量適當(dāng)?shù)摹案舭濉卑雅帕谐梢慌诺脑剡M(jìn)行分隔，這樣需要求解的分組數(shù)就能輕易得出了。

4.合并法

對(duì)ｎ個(gè)元素進(jìn)行分組時(shí)，組數(shù)為m組（n＞m），沒有空白組，合并法可以在此應(yīng)用，先將元素分成n組，在從中選取兩組進(jìn)行合并，剩n-1組后以此類推，進(jìn)行k次后，當(dāng)組數(shù)n-k=m時(shí)即完成。

5.基本原理法

乘法原理和加法原理是解決排列組合問題以及計(jì)算其種數(shù)時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)基本原理，當(dāng)問題中的元素可以重復(fù)排列時(shí)，不應(yīng)該套用公式，應(yīng)當(dāng)合理運(yùn)用基本原理。

6.對(duì)稱法

當(dāng)排列組合問題中有條件限制時(shí)，如果可以求出無條件限制時(shí)元素排列組合的種類數(shù)目，那所求的排列組合可由總數(shù)求出。

（作者單位：河南省泌陽(yáng)縣泌陽(yáng)中學(xué)）