例談數(shù)列中幾種常見數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

吳燕梅

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，已日益引起人們的注意，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)，能使學(xué)生從煩瑣的解題中找到“竅門”，真正做到觸類旁通，達(dá)到舉一反三的效果.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)列；運(yùn)用

數(shù)列知識的考查在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要部分，其問題中蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，而數(shù)學(xué)思想是認(rèn)識、理解和掌握數(shù)學(xué)的意識. 在解決數(shù)列問題時如果能夠充分運(yùn)用這些思想，可以使很多數(shù)列問題變得直觀、簡潔與巧妙，筆者選取幾例說明高中幾種數(shù)學(xué)思想在數(shù)列問題上的應(yīng)用.

[?] 函數(shù)與方程思想

問題1.1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+kn+2，若對n∈N*，都有an+1>an成立，則k的取值范圍是______.

分析：因?yàn)閍n+1=（n+1）2+k（n+1）+2，所以?n∈N*，an+1>an，即k>-（2n+1）恒成立，得k>-3.

點(diǎn)評：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量n∈N*，本題考查數(shù)列中的單調(diào)性和恒成立問題.類比函數(shù)中的方法，問題迎刃而解. 從數(shù)列的通項(xiàng)公式思考，容易發(fā)現(xiàn)，其可視為二次函數(shù)的單調(diào)性來研究，考慮到定義域的特殊性，應(yīng)該滿足-<，即k>-3.

問題1.2 已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3=S6，則數(shù)列

的前5項(xiàng)和為________.

分析：因?yàn)?S3=S6，所以q≠1，則9=，得q=2；

由{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列得

是以=1為首項(xiàng)、以=為公比的等比數(shù)列，所以

的前5項(xiàng)和為=.

點(diǎn)評：在求解等差（等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和問題中，一般都先根據(jù)已知條件列方程或方程組解出數(shù)列的基本量，方程思想在這里起了主導(dǎo)作用.

[?] 數(shù)形結(jié)合思想

在解決數(shù)列問題時，一方面要考慮數(shù)列其特殊的函數(shù)身份，可以幫助我們想到借助函數(shù)圖象處理復(fù)雜的問題；另一方面……